2019届二轮复习 概 率学案（全国通用）
第 2 讲 概 率
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典
概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．
热点一 古典概型和几何概型
1．古典概型的概率
P(A)＝m
n
＝A 中所含的基本事件数
基本事件总数 .
2．几何概型的概率
P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
例 1 (1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育
事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有 4 名男生和 2 名女生主动申请毕业后到
两所偏远山区小学任教．将这 6 名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排 2 名毕业生，则
每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( )
A. 4
25 B.2
5 C.14
25 D.4
5
答案 C
解析 由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少 2 名毕业生，
基本事件的总数为 N＝ C26＋C36C33
A22 ×A22＝50，
每所学校男女毕业生至少安排一名共有 2 种情况．
一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有 C12C14A22＝16(种)，
二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两男，有 C12C24＝12(种)，
共有 16＋12＝28(种)．所以概率为 P＝28
50
＝14
25.
(2)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，过 C，M，D 三点的抛物线与 CD
围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )
A.1
6 B.1
3
C.1
2 D.2
3
答案 D
解析 以 M 为原点，BA 所在直线为 y 轴，BA 的垂线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则过 C，
M，D 的抛物线方程为 y2＝1
2x，则图中阴影部分面积为 2ʃ20
1
2xdx＝ 2×2
3
3
2x |20＝8
3
，所以落
在阴影部分的概率为 P＝
8
3
4
＝2
3
，故选 D.
思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含
的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基
本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．
(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求
解．
跟踪演练 1 (1)(2017·山东)从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每
次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. 5
18 B.4
9 C.5
9 D.7
9
答案 C
解析 方法一 ∵9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝5
9
×4
8
＝ 5
18
，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝4
9
×5
8
＝ 5
18
，
∴P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同)＝ 5
18
＋ 5
18
＝5
9.
方法二 依题意，得 P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4
C29
＝5
9.
(2)(2018·咸阳模拟)在区间 －π
2
，π
2 上随机选取一个实数 x，则事件“sin x≥ 3
2
”发生的概率
为( )
A．1 B.1
4 C.1
3 D.1
6
答案 D
解析 因为 x∈ －π
2
，π
2 ，sin x≥ 3
2
，所以π
3
≤x≤π
2
，
所以由几何概型的概率公式得事件“sin x≥ 3
2
”发生的概率为
π
2
－π
3
π
2
－ －π
2
＝1
6.
热点二 条件概率与相互独立事件
1．条件概率
在 A 发生的条件下 B 发生的概率
P(B|A)＝PAB
PA .
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
例 2 (1)(2018·衡水调研)电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是1
3
，
整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是( )
A.10
27 B.448
729 C.100
243 D.40
81
答案 B
解析 由题图可知，AC 之间未连通的概率是
1
3 2＝1
9
，连通的概率是 1－1
9
＝8
9.EF 之间连通的
概率是
2
3 2＝4
9
，未连通的概率是 1－4
9
＝5
9
，故 CB 之间未连通的概率是
5
9 2＝25
81
，故 CB 之
间连通的概率是 1－25
81
＝56
81
，故 AB 之间连通的概率是8
9
×56
81
＝448
729.
(2)(2018·新余模拟)从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A＝“第一次取到的是
奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则 P(B|A)等于( )
A.1
2 B.2
5
C. 3
10 D.1
5
答案 A
解析 由题意得 P(A)＝C15C18
A29
＝5
9
，
P(AB)＝C15C14
A29
＝ 5
18
，
∴P(B|A)＝PAB
PA
＝
5
18
5
9
＝1
2.
思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点
(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事
件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情
况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．
跟踪演练 2 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红
灯的概率为1
2
，两次闭合后都出现红灯的概率为1
5
，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二
次闭合后出现红灯的概率为( )
A. 1
10 B.1
5 C.2
5 D.1
2
答案 C
解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“第二次闭合后出现红灯”为事件 B，
由题意得 P(A)＝1
2
，P(AB)＝1
5.由条件概率的定义可得 P(B|A)＝PAB
PA
＝
1
5
1
2
＝2
5.
(2)如图，ABCD 是以 O 为圆心、半径为 2 的圆的内接正方形，EFGH 是正方形 ABCD 的内接
正方形，且 E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点．将一枚针随机掷到圆 O 内，用
M 表示事件“针落在正方形 ABCD 内”，用 N 表示事件“针落在正方形 EFGH 内”，则 P(N|M)
等于( )
A.1
π B. 2
2 C.1
2 D.1
4
答案 C
解析 由题意得，圆 O 的半径为 2，
所以内接正方形 ABCD 的边长为 AB＝2 2，
则正方形 ABCD 的面积为 S1＝(2 2)2＝8，
因为 E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，
所以 EF＝1
2
×2R＝2，
所以正方形 EFGH 的面积为 S2＝22＝4，
所以 P(N|M)＝4
8
＝1
2
，故选 C.
热点三 离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
2．独立重复试验、二项分布
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
率为 Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的
概率为 p，则 P(X＝k)＝Cknpkqn－k，其中 0
37.1×104，故建议企业选择方案 2.
真题体验
1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1
张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．
答案 2
5
解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：
基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，
∴所求概率 P＝10
25
＝2
5.
2．(2017·浙江改编)已知随机变量ξi 满足 P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若 0，<或＝)
答案 < <
解析 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵00，
根据 00.5，
所以 p＝0.6.
押题预测
1．某校在 2016 年的中学数学挑战赛中有 1 000 人参加考试，数学考试成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，
试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的3
5
，
则此次数学考试成绩不低于 110 分的考生人数约为( )
A．200 B．400 C．600 D．800
押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注．
答案 A
解析 依题意得 P(70≤ξ≤110)＝0.6，
P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，
于是此次数学考试成绩不低于 110 分的考生约有
0．2×1 000＝200(人)．
2．位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向
上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2.质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是____．
押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的
热点．
答案 5
16
解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所
以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C35
1
2 3·
1
2 2＝C35
1
2 5＝ 5
16.
3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是
每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部
分按 1 小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过
两小时还车的概率分别为1
4
，1
2
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1
2
，1
4
；两人租车
时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望 E(ξ)．
押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散
型随机变量的期望．
解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为1
4
，1
4.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，
则 P(A)＝1
4
×1
2
＋1
2
×1
4
＋1
4
×1
4
＝ 5
16.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 5
16.
(2)ξ的可能取值为 0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝1
4
×1
2
＝1
8
，P(ξ＝2)＝1
4
×1
4
＋1
2
×1
2
＝ 5
16
，
P(ξ＝4)＝1
4
×1
4
＋1
2
×1
4
＋1
2
×1
4
＝ 5
16
，
P(ξ＝6)＝1
4
×1
4
＋1
2
×1
4
＝ 3
16
，
P(ξ＝8)＝1
4
×1
4
＝ 1
16
，
故ξ的分布列为
ξ 0 2 4 6 8
P 1
8
5
16
5
16
3
16
1
16
E(ξ)＝0×1
8
＋2× 5
16
＋4× 5
16
＋6× 3
16
＋8× 1
16
＝7
2.
A 组 专题通关
1．(2018·邯郸模拟)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 0.8,0.7,0.6，只有
通过前一关才能进入下一关，且每关通过与否相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯
过前两关的概率为( )
A．0.56 B．0.336 C．0.32 D．0.224
答案 D
解析 该选手只闯过前两关的概率为 0.8×0.7×(1－0.6)＝0.224.
2．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑
色部分的概率是( )
A.1
4 B.π
8 C.1
2 D.π
4
答案 B
解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑＝S 白＝1
2S 圆＝π
2
，所以由
几何概型知，所求概率 P＝ S 黑
S 正方形
＝
π
2
4
＝π
8.
3．(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴
赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数
中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
A. 1
12 B. 1
14 C. 1
15 D. 1
18
答案 C
解析 不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，
共有 C210＝45(种)情况，而和为 30 的有 7＋23,11＋19,13＋17 这 3 种情况，∴所求概率为 3
45
＝
1
15.故选 C.
4．盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不放回地依次摸出 2 个球使用，在第
一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )
A.3
5 B.5
9
C.2
5 D. 1
10
答案 B
解析 设“第一次摸出新球”为事件 A，“第二次摸出新球”为事件 B，则 P(A)＝ C16C19
C110C19
＝3
5
，
P(AB)＝ C16C15
C110C19
＝1
3
，
P(B|A)＝PAB
PA
＝5
9.
5.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口
(如图所示 1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从 3 号出口
出来，那么你取胜的概率为( )
A. 5
16 B. 5
32
C.1
6 D．以上都不对
答案 A
解析 我们把从 A 到 3 的路线图(图略)单独画出来：分析可得，
从 A 到 3 共有 C25＝10(种)走法，每一种走法的概率都是
1
2 5，所以珠子从出口 3 出来的概率
是 C25
1
2 5＝ 5
16.
6．(2018·上海黄浦区模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 5 次，则恰好有 3 次出现正面向上
的概率是________．(结果用数值表示)
答案 5
16
解析 一枚硬币连续抛掷 5 次，则恰好有 3 次出现正面向上的概率 P＝C35
1
2 3·
1
2 2＝ 5
16.
7．(2018·日照模拟)在
x－y≤1，
x＋2y≤7，
x≥0
的可行域内任取一点(x，y)，则满足 2x－3y≥0 的概率
是_____．
答案 2
9
解析 绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，
由 x－y＝1，
x＋2y＝7，
解得 x＝3，
y＝2，
即 A(3,2)，
且 B 0，7
2 ，C(0，－1)，
故 S△ABC＝1
2
×
7
2
＋1 ×3＝27
4 .
作出直线 2x－3y＝0，
则 2x－3y≥0 表示的区域为△OAC，
即不等式 2x－3y≥0 所表示的区域为△OAC，面积为 S△AOC＝1
2
×1×3＝3
2
，
所以满足 2x－3y≥0 的概率是 P＝S△AOC
S△ABC
＝
3
2
27
4
＝2
9.
8．(2018·洛阳联考)已知随机变量 X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，若 P(X≥1)＝0.64，P(04)＝________.
答案 0.1
解析 ∵随机变量服从 X～B(2，p)，
∴P(X≥1)＝1－C02(1－p)2＝0.64，解得 p＝0.4.
又 Y～N(2，σ2)，
∴P(Y>4)＝P(Y<0)＝0.5－P(0E(Z)，
所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．
B 组 能力提高
11．某同学用“随机模拟方法”计算曲线 y＝ln x 与直线 x＝e，y＝0 所围成的曲边三角形的
面积时，用计算机分别产生了 10 个在区间[1，e]上的均匀随机数 xi 和 10 个在区间[0,1]上的
均匀随机数 yi(i∈N*,1≤i≤10)，其数据如下表的前两行.
x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22
y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10
ln x 0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( )
A.3
5(e－1) B.2
5(e－1)
C.3
5(e＋1) D.2
5(e＋1)
答案 A
解析 由表可知，向矩形区域 1≤x≤e，
0≤y≤1
内随机抛掷 10 个点，其中有 6 个点在曲边三角形
内，其频率为 6
10
＝3
5.
∵矩形区域的面积为 e－1，
∴曲边三角形面积的近似值为3
5(e－1)．
12．记“点 M(x，y)满足 x2＋y2≤a(a>0)”为事件 A，记“M(x，y)满足
x－y＋1≥0，
5x－2y－4≤0，
2x＋y＋2≥0
”
为事件 B，若 P(B|A)＝1，则实数 a 的最大值为( )
A.1
2 B.4
5
C．1 D.1
3
答案 A
解析 要使得 P(B|A)＝1，则不等式 x2＋y2≤a 所表示的区域在不等式组
x－y＋1≥0，
5x－2y－4≤0，
2x＋y＋2≥0
所表示的平面区域内，
又圆 x2＋y2＝a 的圆心为(0,0)，半径为 a，
圆心(0,0)到直线 x－y＋1＝0 的距离为 d1＝ 1
2
≥ a⇒a≤1
2
；
圆心(0,0)到直线 5x－2y－4＝0 的距离为 d2＝ 4
29
≥ a⇒a≤16
29
；
圆心(0,0)到直线 2x＋y＋2＝0 的距离为 d3＝ 2
5
≥ a⇒a≤4
5.
因为 d1
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