西南名校联盟2020届高三高考备考诊断性联考卷（三）数学（理）试题

西南名校联盟2020届高三高考备考诊断性联考卷（三）数学（理）试题

西南名校联盟高考诊断性联考卷 秘密★启用前 2020 届“3+3+3” 高考备考诊断性联考卷(三) 理科数学 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.若复数 z 满足 ,则在复平面上复数 z 所对应的点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已 知 集 合 , 集 合 ( 其 中 z 表 示 整 数 集 ), 则 A. {1，2, 3} B. {-1, 1} C. {1, 2} D. {1} 3.已知数列 既是等差数列又是等比数列，首项 a1=1,则它的前 2020 项的和等于 A. B. C.2020 D.0 4.任取满足 的一对实数 x，y，下列选项中，事件“x2+y2≥1”发生的概率最接近的百 分数是 A.20% B.30% C.70% D.80% 5. (1+2x2)(1-x)5 的展开式中 x 的系数等于 ( )(1 )z i i i− − = { }4log 1xA x= < { }2 3 0,B x x x z= − ≥ ∈ ( )ZA C B = { }na 20201 1 q q − − 12021 2021 1010a d+ × 2x y+ ≤ A.3 B. 4 C. -5 D. -6 6.函数 的图象在点 T(0, f(0))处的切线 l 与坐标轴围成的三 角形面积等于 A. B. C. D. 7.方程 的图形大致形状为 8.已知 .其中 a，b 表示直线， 、β 表示平面,给出如下 5 个命题:①若 // ,则 // ②若 a⊥b，则 ⊥ :③ 与 不垂直，则 a⊥b 不可能成立:④若 . 则 ⊥β;⑤ ⊥β, ∩β=l, a⊥l,则 a⊥b.其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.已知非负实数 x，y 满足: ,则 2x-3y 的取值范围是 A. [-2, B. C. [-3, 0] D. [-2, 0] 10.已知 O 是线段 KF 的中点，|KF|=4. 直线 l 经过点 K 且与 KF 垂直，PH⊥l(垂足是 H), PO=PF=PH,则∆POF 的外接圆半径等于 A. B. C. D. 11.已知函数 ，则 A. B. C. D. 12.已知函数 ,对 ∈[0, π]，都有 ,满足 f(x2)=0 的实数 x 有且只有 3 个，给出下述四个结论: ①满足题目条件的实数 x0 有且只有 1 个; ②满足题目条件的实数 x1 有且只有 1 个; ( ) 3sin 4cosf x x x= + 4 3 5 3 7 3 8 3 2x y+ = ,a bα β⊂ ⊂ α α β a β α β α β = , ,l a l b lα β ⊥ ⊥ α α α 2 2 0,3 2 2 0x y x y− + ≥ − − ≤ 4]3 4[ 3, ]3 − 9 3 8 9 2 8 8 3 9 8 2 9 ( ) cos 2 2x xf x x −= − − 1 33 4(log ) ( 2) ( 3)f f f> − > 1 3 2 3( 3) (log ) ( 2)f f f− > > 1 3 5 6( 3) ( 2) (log )f f f> − > 1 3 4 5( 2) ( 3) (log )f f f> > 0 1 2( ) 2sin( )( 0), , , [0, ]6f x x x x x πω ω π= − > ∈ x∀ 0 1( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ ③f(x)在 上单调递增; ④ 的取值范围是 其中所有正确结论的编号是 A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④ 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.如图 1,在∆MBC 中，D, E 是 BC 的两个三等分点，若 ，则 14.已知等差数列| 满足: 表 示 的前 n 项之和，则 15.设 F1，F2 是双曲线 C: 的左、右焦点，M 是 C 上的第一象限的一点，若∆MF1F2 为直角三角形，则 M 的坐标为_____________. 16.如图 2 的几何体，是在用密度等于 8g/cm3 的钢材铸成的底面直径和高都等 于 cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在 圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入 进行取整). 三、解答题(共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据 表明 2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒)，人传人，传播快，传播广，病亡率高， 对人类生命形成巨大危害。在中华人民共和国，在中共中央、国务院强有力的组织领导下， 全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制(累计病亡 人数 3869 人)。然而，国外因国家体制、思想观念与中国的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越 来越严重。据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午 6 时公布的统计数据，选取 5 月 6 日至 5 月 (0, )9 π ω 13 19[ , )6 6 , ,BC mAD nAE m n R= + ∈   ___m n− = { }na 1 2019 20200,2020 2019 , na a a S≠ ⋅ = ⋅ { }na 2019 2020 _____S S = 2 2 12 x y− = 2( 2 1)+ 10 日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中 t 表示时间变量，日期“5 月 6 日”、“5 月 7 日”对 应于“t=6"、“t=7"， 依次下去): 由上表求得累计病亡人数与时间的相关系数 r=0.98. (1) 在 5 月 6 日~10 日,美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性? (2)选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为 0 的近似数，求每日累计病亡人数 y 随时 间 t 变化的线性回归方程; (3)请估计美国 5 月 11 日新冠肺炎病亡累计人数，请初步预测病亡人数达到 9 万的日期 附:回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 18. (本小题满分 12 分) 已知∆ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别等于 a, b, c,列举如下五个条件: ① ② ;③cosA+cos2A=0; ④a=4;⑤∆ABC 的面积等 于 . (1)请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角 A 大小的条件来求角 A; (2)在(1)的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求∆ABC 周长的取值范围 y a bt ∧ ∧ ∧ = + 1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i t t y y b a y bt t t ∧ ∧ ∧ = = − − = = − − ∑ ∑ sin sin 2 B Ca B b += 3 cos sin 3A A+ = 4 3 19. (本小题满分 12 分) 如图 3 甲，E 是边长等于 2 的正方形的边 CD 的中点，以 AE、BE 为折痕将∆ADE 与△BCF 折起， 使 D，C 重合(仍记为 D),如图乙。 (1) 探索:折叠形成的几何体中直线 DE 的几何性质(写出一条即可，不含 DE⊥DA, DE⊥ DB， 说明理由); (2)求二面角 D-BE-A 的余弦值 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 (1) 若 f(x)在[0, 2]上是单调函数，求 a 的值; (2) 已知对 ∈[1, 2], f(x)≤1 均成立，求 a 的取值范围 2 1( ) [ ( 2) 1] xf x x a x e −= − + + x∀ 21. ( 本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 关于 x 轴、y 轴都对称，并且经过两点 4(0, ), B(1, ) (1)求椭圆 C 的离心率和焦点坐标; (2) D 是椭圆 C 上到点 A 最远的点，椭圆 C 在点 B 处的切线 l 与 y 轴交于点 E,求△BDE 外接圆 的圆心坐标. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做， 则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中，方程 C: 表示的曲线被称作“四叶玫瑰线”( 如图 4). : 3 3 2 − =sin 2 ( )Rρ θ ρ ∈ (1)求以极点为圆心的单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标和直角坐标; . (2)直角坐标系的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合.求直线 l: 上的点 M 与四叶攻瑰线上的点 N 的距离的最小值 23. (木小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 . (1)若 ,解不等式 f(x)≤1; (2)已知当 x>0 时， 的最小值等于 m,若 使不等式 成立，求实数 a 的取值范围. 2020 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三） 理科数学参考答案 1 1 x t y t = −  = + ( ) 2f x x x a= + + 1a = − 2 3 1 2 3( )( )x x x x x x− − −+ + + + 0x R∃ ∈ 0 0( ) ( )f x a f x m− > + 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A C D A C B B A D 【解析】 1． ，故选 B． 2． ， ， ，则 ，故选 D． 3． 既是等差数列又是等比数列， ，则 (常数数列)，前 2020 项的和等 于 2020，故选 C． 4．考虑用几何概型，如图 1， 表示边长等于 2 的正方 形区域， 表示半径等于 1 的单位圆的外部，两个区 域 的 中 心 重 合 ， 事 件 “ ” 发 生 的 概 率 21.5%，对比四个选项，故选 A． 5 ． 其 中 的 展 开 式 中 含 的 项 是 ， 的展开式中没有含 的项，故选 C． 6 ． 则 切 线 的 方 程 为 取 解得切线 在 轴上的截距 取 解得切线 在 轴上 的截距 则直线 与坐标轴围成的三角形面积 ，故选 D． 7．取 得 ，图形在 轴上的截距等于 ；取 得 ，图形在 轴上的 截距等于 ；取 得 ，则点 在图形上，排除 B，C，D，故选 A． 另解：当 时， ，将抛 物线弧（凹的） 上移 2 个单位得到 的图象，再因 的图形关于两条坐标轴对称，选 A，或者排除 B，C，D，故选 A． i i (1 i) 1 1i i1 i 2 2 2z +− = = = − +−  ， 1 3 i2 2z = − + (0 4)A = ， { || | 3 }B x x x= ∈Z≥ ， ( ) { 1 0 1}BZ = − ， ， ( ) {1}A BZ =  { }na 1 1a = *1( )na n= ∈N | | | | 2x y+ ≤ 2 2 1x y+ ≥ 2 2 1x y+ ≥ P = 4 π π14 4 − = − ≈ 2 5(1 2 )(1 )x x+ − 5 2 51 (1 ) 2 (1 )x x x= − + −  ， 51 (1 )x− x 1 1 5C ( ) 5x x− = − 2 52 (1 )x x− x ( ) 3sin 4cosf x x x= + ， ( ) 3cos 4sinf x x x′ = − ， (0) 4f = ， (0) 3f ′ = ， l 4 3( 0)y x− = − ， 0x = ， l y 4b = ， 0y = ， l x 4 3a = − ， l 1 8| || |2 3S a b= =△ 0x = ， 2y = ± y 2± 0y = ， 4x = ± x 4± 1x = ， 1y = ± (1 1)±， 0 0x y≥ ， ≥ 2| | | | 2 2 ( 2) ( 0 0 2)x y x y y x x y+ = ⇔ = − ⇔ − = ≥ ， ≤ ≤ 2 ( 0 2 0)y x x y= −≥ ， ≤ ≤ 2( 2) ( 0 0 2)y x x y− = ≥ ， ≤ ≤ | | | | 2x y+ = 图 1 8．命题①⑤是真命题，其它是假命题，故选 C． 9．设 作出四个不等式 ， ， ， 组合后表 示的可行域（四边形），解得可行域的四个顶点： ， ， ， ， 一一代入计算，比较得 ， ，所以 的取值范围是 ，故选 B． 10．已知 则点 位于以 为焦点、直线 为准线的抛物线上，以 的中点 为原 点、直线 为 轴建立直角坐标系（ 在正半轴上），依据 ，求得抛物线方程为 ，焦点 ，作 轴( 是垂足)，由 知 平分 ，求得 ， 由 对 称 性 ， 只 需 取 ， 设 外 接 圆 的 方 程 为 ，将点 ， ， 的坐标代入求得 ， ， ，所以 外接圆的半径 ，故选 B． 11．设 ，求得 ，当 时， ，则 在 上 递 增 ， 易 知 是 上 的 偶 函 数 ， 且 在 上 递 减 ， ， ，故选 A． 12． ， ，设 进 行 替 换 ， 作 的 图 象 如 图 2 ， 在 上 满 足 的 实 数 有 且 只 有 3 个 ， 即 函 数 在 上 有 且 只 有 3 个 零 点 ， 由 图 象 可 知 ， ，结论④正确；由图象知， 在 上 只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论① 正确，结论② 错误；当 时 ， ， 由 知 ， 所 以 在 上递增，则 在 上单调递增，结论③正确，故选 D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 3x y z− = ， 0x≥ 0y≥ 2 2 0x y− + ≥ 3 2 2 0x y− − ≤ (0 0)O ， 2 03A    ， (2 2)B ， (0 1)C ， min 3z = − max 4 3z = z 43 3  −  ， PF PH= ， P F l KF O KF x F | | 4KF = 2 8y x= (2 0)F ， PM x⊥ M PO PF= ， M OF (1 2 2)P ±， (1 2 2)P ， POF△ 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = (0 0)O ， (2 0)F ， (1 2 2)P ， 0F = 2D = − 7 2 4E = − POF△ 2 21 9 2 2 8r D E= + = ( ) 2 2x xg x −= + ( ) (2 2 )ln 2x xg x −′ = − 0x > ( )>0g x′ ( )g x [0 )+ ∞， ( ) cos 2 2x xf x x −= − − R π0 2     ， 3 3 4 5 6 π2 3 log 2 log 3 log 4 log 5 0 2  ∈   ， ， ， ， ， ， 3 4log 3 2 3< < 0ω > [0 π]x∈ ⇒， π π ππ6 6 6xω ω − ∈ − −  ， π 6x tω − = siny x= [0 π]， 2( ) 0f x = 2x siny x= π ππ6 6 ω − −  ， π2π π 3π6 ω − <≤ 13 19 6 6 ω <≤ siny x= π ππ6 6 ω − −  ， π0 9x  ∈  ， π π π π 6 6 9 6x ωω  − ∈ − −  ， 13 19 6 6 ω <≤ 2π π π 5π π0 27 9 6 27 2t ω< = − < <≤ siny x= π π π 6 9 6 ω − −  ， ( )f x π0 9     ， 图 2 题号 13 14 15 16 答案 或 【解析】 13．已知 是 的两个三等分点，则 ，已知 ，则 ， ． 1 4 ． 已 知 是 等 差 数 列 ， 设 其 公 差 为 则 的 前 项 和 ． 15 ． 设 当 是 的 直 角 顶 点 时 ， 联 立 与 解 得 ； 当 是 的 直 角 顶 点 时 ， 轴 ， 代 入 解 得 ， 所 以 的 坐 标 是 或 ． 16．如图 3，设被挖去的正方体的棱长为 ，由（半）轴截面中的 直角三角形相似，得 该模型的 体积 ，所以制作该模 型所需材料质量约为 ．（因四舍五入误差，考生答 171，172，173 时都给满分） 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 6− 2019 2021 2 6 3 3 3       ， 23 2       ， 172(171 172 173 )， ， 均给满分 D E， BC 3 3( )BC DE AE AD= = − =    3 3AD AE− +    BC mAD nAE= +   3 3m n= − =， 6m n− = − { }na d， 2019 20202020 2019a a= ⇒  12020( 2018 )a d+ = 12019( 2019 )a d+ 1 0a d⇒ = ≠ ， { }na n 1 1 ( 1)2nS na n n d= + − = 1 ( 1) 02 n n d+ ≠ ， 2019 2020 1 2019 2020 20192 1 20212020 20212 S S = =    0 0 0 0( )( 0 0)M x y x y> >， ， ， M 1 2MF F△ 2 2 0 0 3x y+ = 2 20 0 12 x y− = ， 0 0 2 6 3 3 3x y= =， 2F 1 2MF F△ 2MF x⊥ 0 3x c= = 2 20 0 12 x y− = ， 0 2 2y = M 2 6 3 3 3       ， 23 2       ， cmx 2 22 2( 2 1) 22 x r x x rr r −= ⇒ = − = ， 2 31 3.14 ( 2 1) 2( 2 1) 2 21.453V ≈ × × + × + − ≈ 21.45 8 172m V ρ= ≈ × ≈ 图 3 解 ： （ 1 ） 每 日 累 计 病 亡 人 数 与 时 间 的 相 关 系 数 ，…………………………………（1 分） （建议 ，或者比 0.75 大的也可给分，没有说明的但是答案正确扣一分） 所 以 每 日 病 亡 累 计 人 数 与 时 间 呈 现 强 线 性 相 关 性，…………………………………………（2 分） （可以建立线性回归方程 来进行估计）可以删掉． （2）5 天 5 个时间的均值 ． ………………………………（3 分） 5 天 5 个病亡累计人数的均值 ． ……………………（4 分） 计算 5 个时间与其均值的差 ，计算 5 个累计病亡人数与其均值的差 ，制作下表： 日 期 5 月 6 日 5 月 7 日 5 月 8 日 5 月 9 日 5 月 10 日 均值 时间 6 7 8 9 10 新冠肺炎 累计病亡人数 72300 75500 76900 78500 80000 −2 −1 0 1 2 −4340 −1140 260 1860 3360 用公式 进行计算： （可以不用列表，照样给分） ，…………………（6 分） ．…………………（7 分） 所以每日累计病亡人数 随时间 变化的线性回归方程是 ． ………………………………………………………………………………………（8 分） （3）日期 5 月 11 日对应时间 ， ， 0.98 0.7r ≈ > 0.98 0.75r ≈ > y t ˆˆ ˆy b t a= + 6 7 8 9 10 85t + + + += = 23 55 69 85 10070000 100 766405y + + + += + × = t t− y y− t 8t = 76640y = t t− y y− 1 2 1 ( )( ) ˆ ˆ ( ) n i i i n i i t t y y b a y bt t t - - - - å å ，= = = = 2 2 2 2 2 ( 2)( 4340) ( 1)( 1140) 0 260 1 1860 2 3360ˆ 1840( 2) ( 1) 0 1 2b − − + − − + × + × + ×= =− + − + + + ˆˆ 76640 1840 8 61920a y b t= − = − × = y t ˆ 1840 61920y t= + 11t = ˆ 1840 11 61920 82160y = × + = 所以，估计 5 月 11 日累计病亡人数是 82160． ………………………………………………………………………………………（10 分） 令 ，解得 ，…………………………（11 分） 病亡人数要达到或超过 9 万，必须且只需 ， 对应于 5 月 16 日， 因此预测 5 月 16 日美国新冠肺炎病亡人数超过 9 万人． ………………………………………………………………………………………（12 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）选择① 作为依据， 由正弦定理得 ，……………………………（2 分） 由 得 ，……………………………（3 分） ……………………………（4 分） ，……………………………（5 分） ， ．………………………………………………（6 分） （2）选择添加条件⑤ 的面积等于 ， 则 ， ．……………………………（8 分） 由余弦定理和基本不等式： 周长 ，……………………………（9 分） 当且仅当 时取等号，……………………………（10 分） 所以 的周长 的最小值等于 12．……………………………（11 分） ， ，可以让 ，此时周长 ． 的周长 的取值范围是 ．……………………………………………（12 分） 若选择添加“④ ”作为条件，用余弦定理和基本不等式， ˆ 1840 61920 90000y t= + ≥ 15.26t ≥ 16t ≥ 16t = sin sin 2 B Ca B b += πsin sin sin sin 2 2 AA B B  = −   sin 0B ≠ ， sin cos 2 AA = π2sin cos cos 02 2 2 2 2 A A A A = < <  ， 1 πsin 02 2 2 2 A A = < <   π 2 6 A = π 3A = π 3A Aæ ö÷ç = ÷ç ÷çè ø 选择② ③ 难 ④ ⑤ 边长或 均可确定 ，并且 度更低； 与 都涉及 ，不能唯一确定角 . ABC△ 4 3 1 3sin 4 32 4ABCS bc A bc= = =△ 16bc = ABC△ 2 2 2 cos ( )L a b c b c bc A b c= + + = + − + + π2 2 cos 2 3 123bc bc bc bc− + = =≥ 4b c= = ABC△ L π 3A = 16bc = 16+ 0b c b → ∞ = →， +L → ∞ ABC△ L [12 + )∞， 4a = ， ……………………………（9 分） 则 ， 时取等号．……………………………（10 分） 又 ，则 ．……………………………（11 分） 所以 的周长 的取值范围是 ．（与选择⑤结果不同） ………………………………………………………………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 解：（1）性质 1： 平面 ．………………………………………（2 分） 证明如下：翻折前， ， 翻折后仍然 ，………………………………………（3 分） 且 ，………………………………………（4 分） 则 平面 .………………………………………（5 分） 性质 2： ．………………………………………（2 分） 证明如下： 与性质 1 证明方法相同，得到 平面 ．………………………………………（4 分） 又因 平面 ，则 ．………………………………………（5 分） 性质 3： 与平面 内任一直线都垂直．…………………………（2 分） 证明如下： 与性质 1 证明方法相同，得到 平面 ，………………………（4 分） 从而 与平面 内任一直线都垂直．………………………………………（5 分） 性质 4：直线 与平面 所成角等于 ．………………………（2 分） 证明如下： 2 2 2 2 2 2 2116 2 cos ( ) 3 ( ) 3 = ( )2 4 b ca b c bc A b c bc b c b c + = = + − = + − + − +   ≥ 8b c+ ≤ 4b c= = 4b c a+ > = 8 12a b c< + + ≤ ABC△ L (8 12]， DE ⊥ ABD DE DA DE BC⊥ ⊥， DE DA DE DB⊥ ⊥， DA DB D= DE ⊥ ABD DE AB⊥ DE ⊥ ABD AB ⊂ ABD DE AB⊥ DE ABD DE ⊥ ABD DE ABD DE ABE π 3 如图 4，取 的中点 ，连接 ， ， 由 得 ， 与性质 2 证明相同，得 ， …………（3 分） 再因 ，则 平面 ，进而平面 平面 ． 作 于 ，则 平面 ， 即 就是直线 与平面 所成的角．……………………………（4 分） ， ， ， ． ………………………………………………………………………………………（5 分） 说明：写出一条并且只需写出一条正确的性质（允许在以上 4 条之外），给 3 分，完成正确的 证明后合计给 5 分． （2）与（1）之性质 4 证明相同，得到 ， 平 面 ， ， 平面 内，则平面 平 面 ．以 为坐标原点、 为 轴建立如图 5 所示的空 间直角坐标系．………………………………………（6 分） ， ，则平面 的一个法向量 ， ， ， ，………………………………………（7 分） ， ．设 是平面 的法向量， 则 ………………………………………（8 分） AB F DF EF DA DB= ， DF AB⊥ DE AB⊥ DE DF⊥ ， DE DF D= AB ⊥ DEF DEF ⊥ ABE DH EF⊥ H DH ⊥ ABE DEF∠ DE ABE 1DE = 2EF = 1cos 2 DEDEF EF ∠ = = π 3DEF∠ = DE DF⊥ AB ⊥ DEF AB EF⊥ AB ⊂ ABE DEF ⊥ ABE E EF x 3 2 DE DFDH EF ×= = 1 2EH = ABE 30 0 2HD  =      ， ， (0 0 0)E ， ， (2 1 0)B ，， 1 302 2D       ， ， 1 302 2ED  =      ， ， ( )n x y z= ， ， BDE 2 0 1 3 02 2 n EB x y n ED x z  = + = = + =       ， ， 图 4 图 5 取 ，求得一个法向量 ……………………………（9 分） 记二面角 的大小为 ，则 与 相等或互补， ，…………………（11 分） 因 是锐角，则 ．…………………………………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 解：（1） ， ………………………………………（1 分） 令 解得 ， ．………………………………………（2 分） 若 即 ， 则 对 成立，函数 在 上单调，符合题目要 求；………………………………………（3 分） 若 即 ， 当 时， ，当 时， ， 函数 在 上不单调，不符合题目要求；……………………………（4 分） 若 即 ， 当 时， ，当 时， ， 函数 在 上不单调，不符合题目要求．……………………………（5 分） 综上，若 在 上是单调函数，则 取唯一值： ． …………………………………………………………………………………（6 分） （2）解法一：已知“对 ， 均成立”， 取 得 ，………………………………………（7 分） 1z = ( 3 2 3 1)n = − ， ， ， D BE A− − θ θ n HD〈 〉 ， 33 0 2 3 0 1 2| | 1| cos | | cos | 4| | | | 34 2 n HDn HD n HD θ − × + × + × = 〈 〉 = = = ×       ， θ 1cos 4 θ = 2 1( ) [ ( 2) 1]e xf x x a x −= − + + ， 1( ) ( 1)[ ( 3)]e ( )xf x x x a x−′ = − − − + ∈R ( ) 0f x′ = ， 1 1x = 2 3x a= + 3 1a + = ， 2a = − ( ) 0f x′ ≤ x∀ ∈R ( )f x [0 2]， 3 1a + < ， 2a < − ( 3 1)x a∈ + ， ( ) 0f x′ > (1 + )x∈ ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [0 2]， 3 1a + > ， 2a > − ( 1)x∈ −∞， ( ) 0f x′ < (1 3)x a∈ +， ( ) 0f x′ > ( )f x [0 2]， ( )f x [0 2]， a 2a = − [1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤ 1x = ， (1) 1f a= − ≤ 则 ， ，则 时， ， 在 上增，……………（8 分） “对 ， 均成立”等价于 ，………………………………………（9 分） ，………………………………………（10 分） 与 取交集，仍然得 ，所求 的取值范围是 ………（12 分） 解法二：根据（1）， 若 ，则 在 上单减， “在区间 上， 恒成立”等价于 ，不成立； ………………………………………（7 分） 若 即 ，则 时， ，函数 在 上单减， 在区间 上， ，“在区间 上， 恒成立”不成立； ………………………………………（8 分） 若 即 ，则 时， ，函数 在 上单增， 在区间 上， ，………………………………………（9 分） “在区间 上， 恒成立” ， 解得 ，与 相交取交集，得 ；…………………………（10 分） 若 即 ，则 时， ， 时， ，函数 在 上递增，在 上递减， 在区间 上， ， “在区间 上， 恒成立” ． ………………………………………（11 分） 构造辅助函数处理，设 ， 则 ， 在 上递增， ， 1a −≥ 3 2a + ≥ (1 2)x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]， [1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤ max 1 2( ) (2) 1e af x f −= = ≤ 1 e 2a −≥ 1a −≥ 1 e 2a −≥ a 1 e 2 − + ∞ ， ． 2a = − ( )f x R [1 2]， ( ) 1f x ≤ max( ) (1)f x f= 2 1= ≤ 3 1a + < ， 2a < − (1 )x∈ + ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [1 2]， [1 2]， max( ) (1) 2f x f a= = − > [1 2]， ( ) 1f x ≤ 3 2a + ≥ ， 1a −≥ [1 2]x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]， [1 2]， max 1 2( ) (2) e af x f −= = [1 2]， ( ) 1f x ≤ max( ) 1f x⇔ ≤ 1 2(2) 1e af −⇔ = ≤ 1 e 2a −≥ 1a −≥ 1 e 2a −≥ 1 3 2a< + < ， 2 1a− < < − (1 3)x a∈ +， ( ) 0f x′ > ( 3 2)x a∈ + ， ( ) 0f x′ < ( )f x (1 3)a +， ( 3 2)a + ， [1 2]， max 2 4( ) ( 3) ea af x f a + += + = [1 2]， ( ) 1f x ≤ 2 4 1ea a + +⇔ ≤ 2e 4 0a a+⇔ − − ≥ 2( ) e 4( 2 1)xg x x x+= − − − < < − 2( ) e 1xg x +′ = − ( )g x′ ( 2 1)− −， ( ) ( 2) 0g x g′ > − = 则函数 在 上递增， ， 因此 时， 均不成立． 综上，所求 的取值范围是 ……………………………………………………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）已知椭圆 C 关于 轴、 轴都对称，设其方程为 （这样设可回避 焦点在哪条轴上的分类讨论）．…………………………………………（1 分） 由 在椭圆上，得 ，联立解得 ， ，…………………………………………（3 分） 得椭圆 C 的方程是 ．…………………………………………………………（4 分） 用 依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距， 则 ， ，则 ， ， ．…………………（5 分） 所以，椭圆 C 的离心率 ，焦点坐标为 …………………………………………………………………………………（6 分） （2）设 ，则 ，即 ， ．…………………………………………（7 分） 函数 在区间 上递减， 则 取最大时， ，此时 ， 所以，椭圆 C 上到点 最远的点是 ……………………………（8 分） 设椭圆 C 在点 处的切线 的方程为 ，即 ， 与 联立消去 后整理得 ， ( )g x ( 2 1)− −， ( ) ( 1) e 3 0g x g< − = − < 2 1a− < < − ( )g a = 2e 4 0a a+ − − ≥ a 1 e 2 − + ∞ ， ． x y 2 2 1mx ny+ = 3(0 3) 1 2A B −  ， ， ， 93 1 14n m n= + =， 1 4m = 1 3n = 2 2 14 3 x y+ = a b c， ， 2 24 3a b= =， 2 2 2 1c a b= − = 2a = 3b = 1c = 1 2 ce a = = 1 2( 1 0) (1 0)F F− ， ， ， ． ( )D x y， 2 2 14 3 x y+ = 2 244 ( 3 3)3x y y= − − ≤ ≤ 2 2 2| | ( 0) ( 3)DA x y= − + − 2 244 ( 2 3 3)3 y y y = − + − +   21 ( 3 3) 163 y= − + + 21| | ( ) ( 3 3) 163DA f y y= = − + + [ 3 3]− ， | |DA 3y = − 0x = A (0 3)D −， ． 31 2B −  ， l 3 ( 1)2y k x+ = − 3 2y kx k = − +   2 2 14 3 x y+ = y 2 2 2(3 4 ) 4 (2 3) (2 3) 12 0k x k k x k+ − + + + − = 判别式 ， 由相切条件得 ， ，……………………………………（9 分） 所以椭圆 C 在点 处的切线 的方程是 ， 令 得 ，得切线 与 轴的交点坐标 ．……………………（10 分） 设 外接圆的方程为 ， 由三点 都在圆上， 得 解得 …………………………………（11 分） ， ， 所以 外接圆的圆心坐标是 ………………………………………………………………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（1） ……………………………………（2 分） 所以 ， ，…………………………………………（3 分） 取 ，得 ，…………………………………………（4 分） 从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为 ， 化成直角坐标就是 ………………………………………………………………………………………（5 分） （2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线 对称． 2 2 2 2 216 (2 3) 4(4 3)[(2 3) 12] 36(2 1)k k k k k∆ = + − + + − = − 236(2 1) 0k∆ = − = 1 2k = 31 2B −  ， l 1 22y x= − 0x = ， 2y = − l y (0 2)E −， BDE△ 2 2 0x y mx ny p+ + + + = 31 (0 3)2B D − −  ， ， ， ， (0 2)E −， 3 13 02 4 3 3 0 2 4 0 m n p n p n p  − + + = − + + = − + + =  ， ， ， 1 2 3 4 2 3 2 3 m n p  += −  = +  =  ， ， ， 1 2 3 2 8 m +− = 312 2 n− = − − BDE△ 1 2 3 318 2  + − −    ， ． sin 2 ( ) | sin 2 | ( 0)Rρ θ ρ ρ θ ρ= ∈ ⇔ = ≥ ． | sin 2 | | sin 2 | 1 sin 2 11 ρ θ θ θρ = ⇒ = ⇒ = ± = ， ， π2 π( )2 k kθ = + ∈Z π π 4 2 kθ = + 0 1 2 3k = ，， ， π 3π 5π 7π 4 4 4 4 θ = ， ， ， π 3π 5π 7π1 1 1 14 4 4 4A B C D                      ， ， ， ， ， ， ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A B C D        − − − −                      ， ， ， ， ， ， ， ． y x= 事实上，将极坐标方程 化作直角坐标方程得 ， 将 互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线 对称； ………（6 分） 将 换作 ， 换作 后方程不变，说明四叶玫瑰线关 于直线 对称；………………………………………（7 分） 直线 的普通方程是 ，………………………………（8 分） 直线 与直线 垂直，且玫瑰线在直线 的同侧， 故 的最小值等于点 到直线 的距离：………………（9 分） ．……………………………………………………（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 解：（1）当 时， ………………………（1 分） 或 或 ………………（3 分） 或 ，……………………………（4 分） 所以，当 时，不等式 的解集是 ． ………………………………………………………………………………………（5 分） （2）当 时，利用柯西不等式， ， ………………………………………（6 分） sin 2 ( )ρ θ ρ= ∈R 2 2 2 2( ) 2x y x y xy+ + = x y， y x= x y− y x− y x= − 1 1 x tl y t = −  = + ，： 2 0x y+ − = l y x= l | |MN 2 2 2 2A       ， 2 0x y+ − = min 2 2 22 2 | | 2 1 2 MN + − = = − 1a = − ( ) 1f x ≤ 2 | 1| 1x x⇔ + − ≤ 1 2 ( 1) 1 x x x ⇔  + − ≥ ， ≤ 1 2 (1 ) 1 x x x <  + − ， ≤ 1 2 3 x x ⇔   ≥ ， ≤ 1 0 x x <   ， ≤ x⇔ ∈∅ 0x ≤ 0x⇔ ≤ 1a = − ( ) 1f x ≤ { | 0}x x ≤ 0x > 2 2 3 1 2 3 3 3 1 1 1( )( ) 9x x x x x x x x xxx x − − −  + + + + + + =     ≥ 当且仅当 时取等号，所以 ．………………………………………（7 分） . ………………………………………（8 分） ， 时取等号， 则 ．………………………………………（9 分） 所以，“ 使 成立”等价于 ， 解得 所以 的取值范围是 ………………………………（10 分） 1x = 9m = ( ) ( )f x a f x m− > + 2( ) | | 2 | | 9x a x x x a⇔ − + > + + + 2 9 | | | |a x x a⇔ + < − + | | | | | ( ) | | |x x a x x a a− + − + =≤ ( 0) ( 0)2 2 a ax a x a< − > > − <或 max(| | | |) | |x x a a− + = 0x∃ ∈R， 0 0( ) ( )f x a f x m− > + max2 9 (| | | |) | |a x x a a+ < − + = 3a < − ， a { | 3}a a < − ．