黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三下学期第一次调研考试数学(理)试题 Word版含解析

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黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三下学期第一次调研考试数学(理)试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三学年第一次调研考试数学科试卷(理工类)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为(  )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可确定集合中元素一定有的元素,然后列出满足题意的情况,得到答案.‎ ‎【详解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4种情况,所以选A项.‎ ‎【点睛】考查集合并集运算,属于简单题.‎ ‎2.已知的共轭复数是,且(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,整理得到方程组,解方程组即可解决问题.‎ ‎【详解】设,‎ 因为,所以,‎ 所以,解得:,‎ 所以复数在复平面内对应的点为,此点位于第四象限.‎ - 24 -‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识,考查了方程思想,属于基础题.‎ ‎3.设a,b,c为正数,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不修要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】解:,,正数,‎ 当,,时,满足,但不成立,即充分性不成立,‎ 若,则,即,‎ 即,即,成立,即必要性成立,‎ 则“”是“”的必要不充分条件,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键.‎ ‎4.已知数列的前项和为,且,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.‎ ‎【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以 - 24 -‎ ‎,所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.‎ ‎5.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解.‎ ‎【详解】函数可化为:,‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后,‎ 得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,‎ 所以,解得:,即:,‎ 又,所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题.‎ ‎6.函数的大致图象是( )‎ - 24 -‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用排除B,C;用排除;可得正确答案.‎ ‎【详解】解:当时,,,‎ 所以,故可排除B,C;‎ 当时,,故可排除D.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象,属基础题.‎ ‎7.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )‎ A. 20 B. 27 C. 54 D. 64‎ ‎【答案】B - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设大正方体的边长为,从而求得小正方体的边长为,设落在小正方形内的米粒数大约为,利用概率模拟列方程即可求解.‎ ‎【详解】设大正方体的边长为,则小正方体的边长为,‎ 设落在小正方形内的米粒数大约为,‎ 则,解得:‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎8.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.‎ ‎【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,‎ 所以,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立 - 24 -‎ 三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.‎ ‎9.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.‎ ‎【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:‎ 在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;‎ 在B中,若,,则或,故B错误;‎ 在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;‎ 在D中,若,,则与平行或,故D错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.‎ ‎10.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为( )‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于 - 24 -‎ 对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.‎ ‎【详解】由偶函数满足,‎ 可得的图像关于直线对称且关于轴对称,‎ 函数()图像也关于对称,‎ 函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,‎ 可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,‎ 则与的图像所有交点的横坐标之和为4.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:设,由题意,显然时不符合题意,故,则 ‎,可得:‎ - 24 -‎ ‎,当且仅当时取等号,故选C.‎ 考点:1.抛物线的简单几何性质;2.均值不等式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程,均值不等式的灵活运用,属于中档题.解题时一定要注意分析条件,根据条件,利用向量的运算可知,写出直线的斜率,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.‎ ‎12.已知函数且,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,判断出的单调性和奇偶性,由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】构造函数,由解得,所以的定义域为,且,所以为奇函数,而,所以在定义域上为增函数,且.由得,即 - 24 -‎ ‎,所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线定理得A,B,C三点共线,再根据点斜式得结果 ‎【详解】因为,且α+β=1,所以A,B,C三点共线,‎ 因此点C的轨迹为直线AB:‎ ‎【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎14.满足约束条件的目标函数的最小值是 . ‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】可行域是如图的菱形ABCD,‎ 代入计算,‎ 知为最小.‎ - 24 -‎ ‎15.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目,每人限报其中一项,记事件为“4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件概率的求法,分别求得,再代入条件概率公式求解.‎ ‎【详解】根据题意得 所以 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查条件概率的求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎16.四面体中,底面,,,则四面体的外接球的表面积为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形,补形为长方体,求其对角线长,可得四面体外接球的半径,则表面积可求.‎ ‎【详解】解:如图,在四面体中,底面,,,‎ 可得,补形为长方体,则过一个顶点的三条棱长分别为1,1,,‎ - 24 -‎ 则长方体的对角线长为,则三棱锥的外接球的半径为1.‎ 其表面积为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,补形是关键,属于中档题.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.在平面四边形中,已知,.‎ ‎(1)若,求的面积;‎ ‎(2)若求的长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的长,进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.‎ ‎(2)利用诱导公式求得,进而求得,利用两角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在三角形中利用余弦定理求得的长.‎ ‎【详解】(1)在中,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎.‎ - 24 -‎ ‎(2)‎ 在中,,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于中档题.‎ ‎18.如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连结BM,推导出BC⊥BB1,AA1⊥BC,从而AA1⊥MC,进而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推导出四边形AMNP是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.‎ ‎(2)推导出△ABA1是等腰直角三角形,设AB,则AA1=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M为坐标原点,MA1,MB,MC为x,y,z - 24 -‎ 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.‎ ‎【详解】(1)如图1,在三棱柱中,连结,因为是矩形,‎ 所以,因为,所以, ‎ 又因为,,所以平面,‎ 所以,又因为,所以是中点,‎ 取中点,连结,,因为是的中点,则且, ‎ 所以且,所以四边形是平行四边形,所以,‎ 又因平面,平面,所以平面.‎ ‎(图1) (图2)‎ ‎(2)因为,所以是等腰直角三角形,设,‎ 则,.在中,,所以.‎ 在中,,所以,‎ 由(1)知,则,,如图2,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,‎ 则,,.‎ 所以,则,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则即 - 24 -‎ 取得.故平面的一个法向量为,‎ 因为平面的一个法向量为,‎ 则.‎ 因为二面角为钝角,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明,考查了利用空间向量法求解二面角的方法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:‎ 等级 不合格 合格 得分 频数 ‎6‎ ‎24‎ ‎(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?‎ - 24 -‎ ‎ 是否合格 ‎ 性别 ‎ 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 ‎(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;‎ ‎(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?‎ 附表及公式:,其中.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)不需要调整安全教育方案.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据题目所给数据填写好列联表,计算出的值,由此判断出在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.(II)利用超几何分布的计算公式,计算出的分布列并求得数学期望.(III)由(II)中数据,计算出,进而求得 - 24 -‎ 的值,从而得出该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,得分在的频率为,故抽取的学生答卷总数为,.‎ 性别与合格情况的列联表为:‎ ‎ 是否合格 ‎ 性别 ‎ 不合格 合格 小计 男生 女生 小计 即在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.‎ ‎(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人数比例为,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值为,‎ ‎ .‎ 的分布列为:‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ - 24 -‎ 所以. ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知: .‎ 故我们认为该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验,考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算,所以中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴,垂足为,与抛物线交于不同的两点,且过的直线与椭圆交于两点,设且 .‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)求取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出的坐标,代入,结合在抛物线上,求得两点的横坐标,进而求得点的坐标.‎ ‎(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,结合,求得的表达式,结合二次函数的性质求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)可知,‎ - 24 -‎ 设 则,‎ 又,‎ 所以 解得 所以.‎ ‎(2)据题意,直线的斜率必不为 所以设将直线方程代入椭圆的方程中,‎ 整理得,‎ 设 则①‎ ‎②‎ 因为 所以且 将①式平方除以②式得 所以 又解得 又,‎ 所以 令,‎ - 24 -‎ 则 ‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线和椭圆的位置关系,考查向量数量积的坐标运算,考查向量模的坐标运算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于难题.‎ ‎21.某公司欲投资一新型产品的批量生产,预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.‎ ‎(1)求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数);‎ ‎(2)记每日生产平均成本求证:;‎ ‎(3)若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减,连续注入天,求证:这天的总投入资金大于亿元.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得函数的导函数,由此求得求当日产量为吨时的边际成本.‎ ‎(2)将所要证明不等式转化为证明,构造函数,利用导数证得,由此证得不等式成立.‎ ‎(3)利用(2)的结论,判断出,由此结合对数运算,证得.‎ - 24 -‎ ‎【详解】(1)因为 所以 当时,‎ ‎(2)要证,‎ 只需证,即证,‎ 设 则 所以在上单调递减,‎ 所以 所以,即;‎ ‎(3)因为 又由(2)知,当时,‎ 所以 所以 所以 ‎【点睛】本小题主要考查导数的计算,考查利用导数证明不等式,考查放缩法证明数列不等式,属于难题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 - 24 -‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.‎ ‎(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;‎ ‎(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;‎ ‎(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.‎ ‎【详解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2=1,‎ 设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,),‎ 所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,‎ 所以点P的直角坐标为(1,1).‎ ‎(2)将代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,‎ 因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,‎ 则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,‎ 依题意,点M对应的参数为,‎ - 24 -‎ 所以|PM|=||.‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知函数的最大值为,其中.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若求证:.‎ ‎【答案】(1)1;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用零点分段法将表示为分段函数的形式,由此求得的最大值,进而求得的值.‎ ‎(2)利用(1)的结论,将转化为,求得的取值范围,利用换元法,结合函数的单调性,证得,由此证得不等式成立.‎ ‎【详解】(1)‎ 当时,取得最大值.‎ ‎(2)证明:由(1)得,,‎ ‎,当且仅当时等号成立, ‎ - 24 -‎ 令,‎ 则在上单调递减 当时,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法,考查利用基本不等式进行证明,属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎
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