四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学(文)试题

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四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学(文)试题

‎2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若,则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知实数、满足约束条件,则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎4.“”是“直线的倾斜角大于”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1丈=10尺), 现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米 ‎7.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是 ‎ A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎8.函数(其中,,)的图象如图,则此函数表达式为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知sin(π‎6‎+α)=cos(π‎6‎−α)‎,则cos2α=‎ ‎ A. 1 B. C. ‎0‎ D. ‎‎−1‎ ‎10.已知向量=,.若,则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若关于的不等式在内恒成立,则满足条件的整数的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.求值:_________.‎ ‎14.若等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且S‎3‎‎=7‎,S‎6‎‎=63‎,则S‎9‎‎=‎____.‎ ‎15.函数的图像可由的图像至少向右平移 个单位长度得到.‎ ‎16.已知抛物线:的焦点为,且到准线的距离为2,直线:与抛物线交于,两点(点在轴上方),与准线交于点,若,则________.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照‎(0.0.5),(0.5,1),⋯(4,4.5]‎分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)求直方图的a的值;‎ ‎(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.‎ ‎(III)估计居民月用水量的中位数.‎ ‎18.(12分)在中,是上的点,平分,.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(II)若,求的长.‎ ‎19.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,,分别为,的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.‎ ‎20.(12分)已知,动点在:上运动.线段的中垂线与交于.‎ ‎(Ⅰ)求点的轨迹的方程;‎ ‎(II)设、、三点均在曲线上,且,(为原点),求的范围.‎ ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的导函数的单调性;‎ ‎(II)若函数在处取得极大值,求a的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(II)设P(0,-1),直线l与C的交点为M,N,线段MN的中点为Q,求.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知,,;‎ ‎(Ⅰ)若,,求的解集.‎ ‎(II)若最小值为1,求最大值.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 文科数学答案 ‎1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C 10.D 11.D 12.C ‎13.1 14.511 15.π‎3‎ 16.‎ ‎17.(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.‎ 由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,‎ 解得a=0.30.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000.‎ ‎(Ⅲ)设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×(x–2)=0.5–0.48,解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎18.解:(1)由正弦定理可得在中,,‎ 在中,,‎ 又因为,.‎ ‎(2),由正弦定理得,‎ 设,则,则.‎ 因为,‎ 所以,解得. .‎ ‎19.(Ⅰ)连接,∴,,∴为正三角形.‎ ‎∵为的中点,∴.‎ ‎∵,平面,∴.‎ 又平面,平面,∴平面.‎ ‎∵,分别为,的中点,∴.‎ 又平面,平面,∴平面.‎ 又平面,,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)中已证.‎ ‎∵平面平面,平面,∴平面.‎ 又,,∴.‎ 在中,∵,,∴.‎ ‎∵,分别为,的中点,‎ ‎∴的面积,‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎20.(1)‎ 点轨迹是以、为焦点椭圆.,,,.‎ ‎(2)当斜率存在时,设 ‎,令两根为,.‎ 由.‎ ‎,.‎ 代入,,即.‎ 故.‎ ‎,,‎ ‎.‎ 当轴时,易求,范围是.‎ ‎21.(1)∵,∴,∴,‎ ‎①当时,,∴函数在上单调递增;‎ ‎②当时,若,则;若,则,‎ ‎∴函数在上单调递增,在上单调递减.‎ 综上所述,当时.函数在上单调递增,‎ 当时,函数在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)∵,∴.‎ ‎①由(1)知,当时,在上单调递增,‎ 若,则;若,则,‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极小值;不合题意;‎ ‎②当时,在上单调递增,在上是单调递减,∴,‎ ‎∴在上单调递减.∴无极值,不合题意;‎ ‎③当时,,由(1)知,在上单调递增,∵,‎ ‎∴若,则;若,则,‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极小值,不合题意;‎ ‎④当时,,由(1)知,在上单调递减,∵,‎ ‎∴若,则;若,则.∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极大值,符合题意.综上所述,a的取值范围是.‎ ‎22.(1)直线l的参数方程为(t为参数).消去参数t可得直线l的普通方程为 ‎ 由,得,则有,即,‎ 则曲线C的直角坐标方程为 ‎ ‎(2)将l的参数方程代入,得,设两根为, ‎ 则,为M,N对应的参数,且 所以,线段MN的中点为Q对应的参数为,所以,‎ ‎23.(1),时,,‎ 解不等式: 解得答案为:.‎ ‎(2)当时,,.‎ ‎.当即时. 最大值为.‎
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