江苏省淮安市淮阴区2020届高三下学期期初模拟训练（一）数学试题 Word版含解析

江苏省淮安市淮阴区2020届高三下学期期初模拟训练（一）数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练一 数学 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）‎ ‎1.设集合，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解出集合的范围，再由交集的计算求解即可.‎ ‎【详解】由题意，因为，所以集合，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，‎ ‎∴|z|==．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎3.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】(－2，2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 根据对数真数大于零，解一元二次不等式求得函数的定义域.‎ ‎【详解】由于对数的真数要大于零，故，解得，即函数的定义域为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑：一个是对数的真数大于零，一个是分母不能为零，一个是偶次方根被开方数要为非负数，一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.‎ ‎4.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有______辆 ‎【答案】80‎ ‎【解析】‎ 试题分析：时速在区间内的汽车有 考点：频率分布直方图 ‎5.如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．‎ - 25 -‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ 分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.‎ 详解：程序执行如下 ‎1‎ ‎5‎ 输出 ‎ 故不成立时，‎ 故答案为25.‎ 点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 - 25 -‎ ‎6.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．‎ ‎【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；‎ 其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，‎ ‎∴2名都是女同学的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值．‎ ‎【详解】∵ 中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1‎ ‎∴右焦点坐标为（1，0）‎ ‎∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，‎ - 25 -‎ 根据抛物线中焦点坐标为（，0），‎ ‎∴，则p=2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．‎ ‎8.在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．‎ ‎【详解】∵在正四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA=2，高SO=2，‎ ‎∴底面中心到顶点的距离AO==2‎ 因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB2=16‎ 该棱锥的体积为V=SABCD•SO=×16×2=．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题．‎ ‎9.等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.‎ - 25 -‎ ‎【详解】由于数列为等比数列，故，解得，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件.‎ ‎10.函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，‎ 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为 考点：本题考查基本不等式求最值 点评：解决本题的关键是求出A点坐标，注意利用基本不等式的条件 ‎11.在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a＋3b的值是_______．‎ ‎【答案】﹣8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．‎ ‎【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，‎ ‎∴切线的斜率为﹣，‎ 曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，‎ ‎∴y′=2ax﹣，‎ ‎∴，‎ 解得：a=﹣1，b=﹣2，‎ 故2a＋3b =﹣8，‎ 故答案为﹣8‎ ‎【点睛】本题考查知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，是解答的关键．‎ ‎12.已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，再代入求解..‎ ‎【详解】∵已知 所以，‎ - 25 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎13.如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出， ，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．‎ ‎【详解】如图所示：‎ 以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，‎ 过点作轴，过点作轴，‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设，则，，‎ - 25 -‎ 故，故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．‎ ‎14.已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若，则在上递增， 有最小值，不合题意， ，要使在的最大值为，如果，即，则，得矛盾，不合题意；如果，则， ， ，若有四个零点，则与有四个交点，只有开口向上，即，当与有一个交点时，方程有一个根， 得，此时函数有三个不同的零点，要使函数 - 25 -‎ 有四个不同的零点， 与有两个交点，则抛物线的开口要比的开口大，可得， ，即实数的取值范围为，故答案为.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.如图，在四面体中，，点E是的中点，点F在线段上，且.‎ ‎（1）若平面，求实数的值；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面平行的性质得出，可以判断点F为的中点，从而求出的值；‎ ‎（2）由，点E是的中点，得到，，由面面垂直的判断定理即可证明平面平面.‎ ‎【详解】（1）因为平面，得平面，‎ 平面平面，‎ 所以，‎ 又点E是的中点，点F在线段上，‎ 所以点F为的中点，‎ 由，得；‎ - 25 -‎ ‎（2）因为，点E是的中点，‎ 所以，，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.‎ ‎16.已知为坐标原点，，，，若.‎ ‎⑴ 求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎⑵ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到，进而可得函数周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到，根据的范围得到的取值范围，然后可得的最小值．‎ ‎【详解】(1)由题意，，‎ 所以， ‎ - 25 -‎ 所以函数的最小正周期为， ‎ 由，‎ 得，‎ 所以的单调递增区间为. ‎ ‎(2)由(1)得，‎ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为 ‎，‎ ‎∴， ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当，即时，有最小值，且，‎ ‎∴函数在上的最小值为2．‎ ‎【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为的形式，然后将作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．‎ ‎（2）求函数在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到的范围，然后结合函数的图象求解．‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆 - 25 -‎ 和轴正半轴分别交于点，．‎ ‎(1)若，求直线的斜率；‎ ‎(2)过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设直线,代入椭圆方程得由，有，可得出直线的斜率；‎ ‎（2）设直线l斜率为k，联立方程组分别求出AP，AQ，MN，代入计算化简即可得出结论．‎ 试题解析：（1）依题意，椭圆的左顶点，‎ ‎ ‎ 设直线的斜率为 ，点的横坐标为，‎ ‎ 则直线的方程为．① ‎ 又椭圆：， ②‎ 由①②得，，‎ - 25 -‎ ‎ 则，从而． ‎ 因为，所以．‎ 所以，解得（负值已舍）． ‎ ‎（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③‎ 由②③得，． ‎ 从而 ，即证．‎ ‎18.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．‎ ‎（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；‎ ‎（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2‎ - 25 -‎ ‎≤25，三种情况的交集得8＜v≤．‎ 试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米． ‎ 由题可知 解得．‎ ‎（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．‎ 由于乙先到达D地，故＜2，即v＞8．‎ ‎①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，‎ f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－v＋36) t2．‎ 因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，‎ 所以(v2－v＋36)×()2≤25，解得v≥．‎ ‎②当5＜vt≤13，即＜t≤时，‎ f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－)2＋9．‎ 因为v＞8，所以＜，(v－6)2＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，‎ 所以(v－6)2(－)2＋9≤25，解得≤v≤．‎ ‎③当13≤vt≤16，≤t≤时，‎ f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，‎ 因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，‎ ‎(12－6×)2＋(16－v×)2≤25，解得≤v≤．‎ 因为v＞8，所以 8＜v≤．‎ 考点：实际应用题，分段函数求函数最值 ‎19.设函数，其中，.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ - 25 -‎ ‎（2）若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入后求导，判断的单调性，进而可以求得极值；‎ ‎（2）将公共点转化为零点问题，构造函数，求导判断的单调性，结合零点定理即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，‎ 令，解得，或；‎ 当变化时，，的变化情况如下表；‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ‎∴的极大值为，‎ 极小值为；‎ ‎（2）由题意，曲线与直线有三个互异的公共点，‎ 可转化为 - 25 -‎ 令，可得；‎ 设函数，‎ 即函数有三个不同的零点；‎ ‎，‎ 当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意 当时，令，解得，；‎ ‎，解得，或，‎ ‎，解得，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴的极大值为；‎ 极小值为 若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；‎ 若，即，解得 此时，，‎ ‎，‎ 从而由零点定理知，‎ 在区间，，内各有一个零点，符合题意；‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.‎ ‎20.设数列的前项和为．已知，设 - 25 -‎ ‎.‎ ‎⑴ 求证：当时，为常数；‎ ‎⑵ 求数列的通项公式；‎ ‎⑶ 设数列是正项等比数列，满足：，，求数列的前n项的和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求出，然后通过作差可得，故结论成立；（2）根据（1）中的结论，即是常数列且，可得；（3）由题意得，所以，故利用错位相减法求和．‎ ‎【详解】（1）证明：由题意知，当n=1时，，‎ ‎∴； ‎ 当时，， ‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ - 25 -‎ ‎，‎ ‎∴当时，为常数0. ‎ ‎（2）由（1）得，是常数列.‎ ‎∵，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ ‎（3）由（2）知，‎ ‎∵数列是正项等比数列，‎ ‎∴公比为2，‎ ‎∴．‎ ‎∴……③，‎ ‎∴……④，‎ ‎③④得：， ‎ 设……⑤，‎ ‎∴……⑥，‎ ‎⑤⑥得：， ‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ - 25 -‎ ‎【点睛】用错位相减法求和的注意事项 ‎（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；‎ ‎（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；‎ ‎（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ 数学（附加卷）‎ 注：本卷共三大题共4小题，共计40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.‎ 两小题，每题10分，共计20分. ‎ ‎[选修4—2：矩阵与变换] ‎ ‎21.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点，写出题目的关系式，列出关于a,b的等式，解方程即可,‎ ‎（2）计算，从而得到矩阵的逆矩阵.‎ ‎【详解】（1）因 ， ‎ 所以,所以 ． ‎ - 25 -‎ ‎（2）， ‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本题考查二阶矩阵与逆矩阵，属于基础题.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在直角坐标系中，已知直线的参数方程是（t是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数即可求直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化求解曲线C的直角坐标方程,利用直线与圆的位置关系，通过点到直线的距离以及圆的半径以及半弦长的关系求解|AB|．‎ ‎【详解】消去参数，得直线的普通方程为， ‎ 即，两边同乘以得， ‎ 所以， ‎ 圆心到直线的距离， ‎ 所以弦长为．‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程以及圆的极坐标方程的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎23.将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习． ‎ ‎（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；‎ - 25 -‎ ‎（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法，记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，则事件A包含=24个基本事件，由此能求出4名大学生恰好在四个不同公司的概率；‎ ‎（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．‎ ‎【详解】（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法．‎ 记“4个人恰好在四个不同公司”为事件A，‎ 事件A共包含个基本事件，‎ 所以，‎ 所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率． ‎ ‎（2）方法1：X的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，，，‎ ‎，． ‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为：．‎ 方法2：每个同学分到B公司的概率为，． ‎ - 25 -‎ 根据题意～，所以，4，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎24.设且，集合的所有个元素的子集记为．‎ ‎（1）当时，求集合中所有元素之和；‎ ‎（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．‎ ‎【答案】（1）30；（2）2019.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当n=4时，因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，从而得到结果；‎ ‎（2）分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，‎ 于是所求元素之和为； ‎ ‎（2）集合的所有个元素的子集中：‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；‎ - 25 -‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；‎ ‎ ‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个． ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．‎ - 25 -‎ - 25 -‎