2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(五)

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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(五)

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(五)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 设.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)在锐角中,角,,,的对边分别为,,,若,,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)单调递增区间是,单调递减区间是;‎ ‎(2).‎ ‎【解析】(1)由题意 ‎,‎ 由,可得,‎ 由,可得,‎ 所以的单调递增区间是,单调递减区间是 ‎;‎ ‎(2),,‎ 由题意是锐角,所以;由余弦定理:,‎ 可得,,且当时成立,‎ ‎,面积最大值为.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,,,点E,F分别在AD,CD上,,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到的位置..‎ ‎(1)证明:平面ABCD;‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)证明:由已知得,.‎ 又由得,故.‎ 因此,从而.‎ 由,得.‎ 由得.‎ 所以,.‎ 于是,故.‎ 又,而,‎ 所以平面.‎ ‎(2)解:如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,,‎ ‎,,.‎ 设是平面的法向量,则,即,‎ 所以可取.‎ 设是平面的法向量,则,即,‎ 所以可取.‎ 于是..‎ 因此二面角的正弦值是.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)若要求,确定n的最小值;‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)19;(3).‎ ‎【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知,,故n的最小值为19.‎ ‎(3)记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).‎ 当时,‎ ‎(元).‎ 当时,‎ ‎(元).‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆有且只有一个公共点.‎ ‎(1)求椭圆的方程及点的坐标;‎ ‎(2)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点.证明:存在常数,使得,并求的值.‎ ‎【答案】(1)椭圆的方程为.点的坐标为;(2).‎ ‎【解析】(1)由已知,,则椭圆的方程为.‎ 由方程组,得①.‎ 方程①的判别式为,由,得,‎ 此时方程①的解为,所以椭圆的方程为.点的坐标为.‎ ‎(2)证明:由已知可设直线的方程为,‎ 由方程组,可得,所以P点坐标为,.‎ 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由方程组,可得.②‎ 方程②的判别式为,‎ 由,解得.‎ 由②得,.‎ 所以,‎ 同理.‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数,使得.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知函数,,.‎ ‎(1)证明:当,;‎ ‎(2)证明:时,存在,使得对,恒有;‎ ‎(3)确定的所有可能取值,使得存在,对,恒有.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).‎ ‎【解析】(1)令,,‎ 则有,‎ 当,,所以在上单调递减,‎ 故当时,,即当时,.‎ ‎(2)令,,‎ 则有,‎ 当,,所以在上单调递增,,‎ 故对任意正实数均满足题意.‎ 当.令,得,‎ 取,所以,恒有,所以在上单调递增,,即.‎ 综上,当时,总存在,使得对,恒有.‎ ‎(3)当时,由(1)知,对于,,故,‎ ‎,‎ 令,,‎ 则有,‎ 故当时,,‎ 在上单调递增,故,‎ 即,所以满足题意的不存在.‎ 当时,由(2)知存在,使得当,恒有.‎ 此时,‎ 令,则有,‎ 故当时,,‎ 在上单调递增,故,‎ 即,记与中较小的为,‎ 则当,恒有,故满足题意的不存在.‎ 当,由(1)知,当时,,‎ 令,,则有,‎ 当时,,所以在上单调递减,故,‎ 故当时,恒有,此时,任意正实数满足题意.‎ 综上,.‎
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