山东省章丘市第四中学2020届高三3月模拟考试数学试题

山东省章丘市第四中学2020届高三3月模拟考试数学试题

‎2020年高考模拟高考数学模拟试卷（3月份）‎ 一、选择题 ‎1.若集合，，则集合中的元素个数为（ ）‎ A. 9 B. ‎6 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 的数对共9对，其中满足，所以集合中的元素个数共3个．‎ ‎2.若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则复数的模等于（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，因为是纯虚数，所以 ，那么 ，所以模等于3，故选C.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性，将a，b，c分别与1和0比较，得到结论.‎ ‎【详解】因为 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎4.已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得即为函数，排除，，显然存在使得，所以在上单调递增，在上单调递减．所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，如本题先利用图像对称性，考虑奇偶性．再利用图像的单调性变化，从而讨论导数．‎ ‎5.已知，且，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 且，可知，所以．‎ ‎，当且仅当 时等号成立．故选A．‎ ‎6.将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于．‎ ‎7.设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，利用，可得，从而可得，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．‎ ‎【详解】取的中点，则，，.‎ ‎，是的中点，，，‎ ‎，，‎ ‎，，.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，确定是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。‎ ‎8.已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出导数，分类讨论，进而得到，可得，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．‎ ‎【详解】令，则，‎ 若，则恒成立，时函数递增，无最值．‎ 若，由得，‎ 当时，，函数递增；当时，，函数递减．‎ 则处取得极大值，也为最大值，‎ ‎，，，‎ 令，，上，，上，，‎ 时，，的最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 二、多项选择题 ‎9.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）‎ A. 已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必同一直线上 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解.‎ ‎【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；‎ 对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；‎ 对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；‎ 对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.‎ 故选BC ‎【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．‎ ‎10.对于二项式，以下判断正确的有（ ）‎ A. 存在，展开式中有常数项；‎ B. 对任意，展开式中没有常数项；‎ C. 对任意，展开式中没有的一次项；‎ D. 存在，展开式中有的一次项.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．‎ ‎【详解】设二项式展开式的通项公式为，‎ 则，‎ 不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；‎ 令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．‎ 故答案选AD ‎【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题能力，属于中档题．‎ ‎11.已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（   ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义和题设条件， 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.‎ ‎【详解】由椭圆的定义，可得，又由， 解得，‎ 又由在中，，可得，所以，‎ 即椭圆的离心率的取值范围是.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 当时，‎ B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，则由题意得，‎ ‎∵ 函数是奇函数，‎ ‎∴ ，且时，，A错；‎ ‎∴ ，‎ ‎（2）当时，由得，‎ 当时，由得，‎ ‎∴ 函数有3个零点，B对；‎ ‎（3）当时，由得，‎ 当时，由得，‎ ‎∴ 的解集为，C对；‎ ‎（4）当时，由得，‎ 由得，由得，‎ ‎∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴函数在上有最小值，且，‎ 又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，‎ ‎∴当时，函数的值域为，‎ 由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，‎ ‎∴ 对，都有，D对；‎ 故选：BCD．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若的展开式中第项为常数项，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用二项展开式的通项公式，求得，从而得到 的值.‎ ‎【详解】解：的展开式中第项为 ‎ ‎，再根据它为常数项， 可得，求得， 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.‎ ‎14.设是数列的前项和，且，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得，即是等比数列，然后求出的值 ‎【详解】，，，，‎ 是首项为1，公比为2的等比数列，则，.‎ ‎【点睛】本题考查了求数列的前项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果 ‎15.若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_______，如果双曲线上存在一点到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为______．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，可知双曲线渐近线的倾斜角为，即 ‎，所以，因为，从而．所以虚轴长为.‎ ‎16.在中，为钝角，，且，函数的最小值为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，为钝角，，函数的最小值为．利用数量积的性质可得，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】在中，为钝角，，函数的最小值为．‎ ‎∴函数 ‎，化为恒成立．‎ 当且仅当时等号成立，，．‎ ‎，当且仅当时，取得最小值，的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.‎ 四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知，‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC内角A满足，而，求边BC的最小值．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得 ‎ ‎（1）令，解不等式可得答案；（2）由 及0＜A＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中，从而可求 试题解析：（1）= ‎ 由得，‎ 故所求单调递增区间为．‎ ‎（2）由得，‎ ‎∵，即，∴bc=2，‎ 又△ABC中， =，当且仅当b=c=等号成立 ‎∴‎ ‎18.已知数列的前项和为，，（且），数列满足：，且（且）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由得，所以．（2） （） （）‎ 所以（）且．所以得证．（3）‎ ‎（Ⅱ）得所以 ，所以是递增数列 和最小，即所有的负数项的和，只需求到．‎ 试题解析：（Ⅰ）由得 即（且）‎ 则数列为以为公差的等差数列 因此 ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为（）‎ 所以（）‎ ‎ （）‎ ‎ （）‎ 所以（）‎ 因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得 所以 ‎ ‎ （）‎ 所以是递增数列.‎ 因为当时，，当时，‎ 当时，‎ 所以数列从第3项起的各项均大于0，故数列的前2项之和最小.‎ 记数列的前项和为，则 .‎ ‎19.如图，在三棱锥中，底面分别是的中点，在，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；(2)存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可； ‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，由，所以，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由二面角的大小为，得，化简得，又，求得即.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，‎ 是的中点，得，‎ 因为底面，所以，‎ 在中，，所以，‎ 因此，又因为，‎ 所以，‎ 则，即，因为底面，‎ 所以，又,‎ 又，所以平面.‎ ‎(2)假设满足条件的点，存在，‎ 并设，以为坐标原点，分别以为轴建立空间之间坐标系，‎ 则，‎ 由，所以，所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则 ，取，得，‎ 即，设平面的法向量为，‎ 则 ，取，得，‎ 即，‎ 由二面角的大小为，得，‎ 化简得，又，求得，于是满足条件的点存在，且.‎ 点睛：本题考查空间几何图形中线面关系平行或垂直的证明，考查空间想象能力，利用空间向量法求解空间角，注意计算的准确性.‎ ‎20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且△PF‎1F2的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的面积求得的值，再利用椭圆过点及，求得的值，从而求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，由直线和圆、椭圆都相交，求得，再利用弦长公式分别计算，，从而建立的函数关系式，当取得最小值时，可求得的值，从而得到直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）由的面积可得，即，∴．①‎ 又椭圆过点，∴．②‎ 由①②解得，，故椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，‎ 由弦长公式可得． ‎ 将代入椭圆方程，得，‎ 由判别式，解得．‎ 由直线和圆相交的条件可得，即，也即，‎ 设，，则，，‎ 由弦长公式，得．‎ 由，得． ‎ ‎∵，∴，则当时，取得最小值，‎ 此时直线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将与建立联系，从而使问题得到解决.‎ ‎21.某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20-40岁 大于40岁 合计 ‎（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （2）分布列见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由茎叶图能完成列联表，由列联表求出，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．‎ ‎（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】（1）由茎叶图可得：‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20～40岁 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 大于40岁 ‎10‎ ‎12‎ ‎22‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由列联表可得：，‎ 所以没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．‎ ‎（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在20～40岁的抽取了2‎ 人，年龄大于40岁的抽取了3人，则的可能取值为0，1，2，‎ ‎，，，‎ 所以分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 数学期望为．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎22.设函数，其中为正实数.‎ ‎(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(2)当时，证明.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)讨论研究函数的单调性，求出函数在上的最大值．要不等式恒成立，只需最大值小于零，即可求出．‎ ‎(2)将原不等式等价变形为，由(1)可知，试证在时恒成立，即可由不等式性质证出．‎ ‎【详解】（1）由题意得 设，则，‎ ‎①当时，即时， ， ‎ 所以函数在上单调递增，，满足题意；‎ ‎②当时，即时，则的图象的对称轴 因，‎ 所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 此时，不合题意．‎ 综上可得，实数的取值范围是．‎ ‎（2）等价于 因为，所以，所以原不等式等价于，‎ 由(1)知当时，在上恒成立，整理得 令，则，‎ 所以函数在区间上单调递增，‎ 所以，即在上恒成立.‎ 所以，当时，恒有，‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．‎