2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念
4．4 对数函数
4．4.1 对数函数的概念
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实
际中的简单应用．
知识点 对数函数的概念
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，
＋∞)．
思考 函数 y＝logπx，y＝log2
x
3
是对数函数吗？
答案 y＝logπx 是对数函数，y＝log2
x
3
不是对数函数．
1．由 y＝logax，得 x＝ay，所以 x>0.( √ )
2．y＝log2x2 是对数函数．( × )
3．若对数函数 y＝logax，则 a>0.( √ )
4．函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．( × )
一、对数函数的概念及应用
例 1 (1)下列给出的函数：
①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且 a≠1)；③ ( 3 1)log ;y x
④y＝log3
x
2
；⑤y＝logx 3(x>0，且 x≠1)；
⑥ 2
π
log .y x 其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点 M(8,3)，则 f
1
2 ＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加 1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量 x，所以不是对数
函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自
变量 x，而非常数 a，所以不是对数函数，故③⑥正确．
(2)设 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，由图象过点 M(8,3)，则有 3＝loga8，解得 a＝2.所以对数函
数的解析式为 f(x)＝log2x，所以 f
1
2 ＝log2
1
2
＝－1.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如 y＝logax(a>0，且 a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)对数式系数为 1.
(2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数．
(3)对数的真数仅有自变量 x.
跟踪训练 1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案 B
(2)若对数函数 f(x)的图象过点(4，－2)，则 f(8)＝________.
答案 －3
二、与对数函数有关的定义域
例 2 求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)；
(3)y＝log1－x5.
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)由 3－x>0，
3＋x>0，
得－3
0，得 4x<16＝42，
由指数函数的单调性得 x<2，
∴函数 y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2)．
(3)依题意知 1－x>0，
1－x≠1，
得 x<1 且 x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．
反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.如需对函数式
变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变．
跟踪训练 2 求下列函数的定义域．
(1)y＝ x2－4
lgx＋3
；
(2)y＝ 1
2－x
＋ln(x＋1)．
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)要使函数有意义，需
x2－4≥0，
x＋3>0，
x＋3≠1，
即
x≤－2 或 x≥2，
x>－3，
x≠－2，
即－30，
x＋1>0，
即 x<2，
x>－1，
∴－10 且 a≠1)
B．y＝loga(2x)(a>0 且 a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a>1 且 a≠2)
D．y＝2logax(a>0 且 a≠1)
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 C
2．函数 y＝log2(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 C
3．函数 f(x)＝ 3－x＋lg(x＋1)的定义域为( )
A．[－1,3) B．(－1,3) C．(－1,3] D．[－1,3]
答案 C
4．对数函数 f(x)过点(9,2)，则 f
1
3 ＝________.
答案 －1
解析 设 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，loga9＝2，
∴a2＝9，∴a＝3(舍 a＝－3)，
∴f(x)＝log3x，∴f
1
3 ＝log3
1
3
＝－1.
5．函数 f(x)＝logax＋a2－2a－3 为对数函数，则 a＝________.
答案 3
解析 依题意有
a2－2a－3＝0，
a>0，
a≠1，
解得 a＝3.
1．知识清单：
(1)对数函数的定义．
(2)对数函数的定义域．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．
1．给出下列函数：
①y＝ 2
2
3
log x ；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 A
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量 x；③不是对数函数，因为对数
的底数不是常数；④是对数函数．
2．已知函数 f(x)＝ 1
1－x
的定义域为 M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N 等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－10}＝{x|x<1}，
N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－10，
a≠1，
解得 a＝5.
7．函数 y＝ 1
2
log 3x a 的定义域是
2
3
，＋∞ ，则 a＝________.
答案 2
解析 由 y＝ 1
2
log 3x a 知，3x－a>0，即 x>a
3.
∴a
3
＝2
3
，即 a＝2.
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x 万元时，奖励 y
万元．若公司拟定的奖励方案为 y＝2log4x－2，某业务员要得到 5 万元奖励，则他的销售额
应为________万元．
答案 128
解析 由题意得 5＝2log4x－2，
即 7＝log2x，得 x＝128.
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝ 2x＋3
x－1
＋log2(3x－1)．
解 (1)由题意知
3－x>0，
x－1>0，
x－1≠1，
解得 10，
解得 x>1
3
，且 x≠1.
故 f(x)的定义域是
1
3
，1 ∪(1，＋∞)．
10．20 世纪 70 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地
震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里
氏震级 M，其计算公式为 M＝lg A－lg A0.其中 A 是被测地震的最大振幅，A0 是“标准地震”
的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标
准地震的振幅是 0.002，计算这次地震的震级；
(2)5 级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最
大振幅的多少倍？
解 (1)M＝lg A－lg A0＝lg A
A0
＝lg 20
0.002
＝lg 104＝4.
即这次地震的震级为 4 级．
(2)由题意得 5＝lg A5－lg A0，
8＝lg A8－lg A0，
所以 lg A8－lg A5＝3，
即 lgA8
A5
＝3.
所以A8
A5
＝103＝1 000.
即 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍．
11．函数 y＝log2x－1
2－x
的定义域是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 B
解析 由 x－1>0，
2－x>0，
得 x>1，
x<2，
∴10，
且 a＋1≠1，所以 a＝1.
14．函数 f(x)＝lg 2kx2－kx＋3
8 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是________．
答案 [0,3)
解析 依题意，2kx2－kx＋3
8>0 的解集为 R，
即不等式 2kx2－kx＋3
8>0 恒成立，
当 k＝0 时，3
8>0 恒成立，∴k＝0 满足条件．
当 k≠0 时，则
k>0，
Δ＝k2－4×2k×3
8<0， 解得 0
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