- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题:8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( ) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误; 圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B错误; 球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2, ∴C正确; ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3, ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,∴D正确. 答案CD 2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( ) A.4 B.8 C.8 D.8 解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴x=2R=2, ∴x=,∴S正=6x2=6×=8. 答案B 3.(2019广东高二期末)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( ) A.12 B.18 C.24 D.54 解析如图所示, 点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点, 当DM⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大, 此时,OD=OB=R=4. ∵S△ABC=AB2=9,∴AB=6. ∵点M为△ABC的中心, ∴BM=BE=2. ∴Rt△OMB中,有OM==2. ∴DM=OD+OM=4+2=6. ∴(VD-ABC)max=×9×6=18. 故选B. 答案B 4. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析设底面圆半径为R,米堆高为h. ∵米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=. ∴体积V=·πR2h=×π××5. ∵π≈3,∴V≈(立方尺). ∴堆放的米约为≈22(斛). 答案B 5.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( ) A.18π B.9(1+2)π C.9π D.9(1+)π 解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1, ∴h=2r,又圆锥的体积V=18π, 即πr2h==18π,解得r=3. ∴h=6,母线长为l==3, 则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π. 答案D 6. 圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 . 解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4. 答案4 7. 如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 . 解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=. 答案 8.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 . 解析由底面边长为, 可得OC=1.设M为VC的中点,O1M=OC=,O1O=VO, VO==2, ∴O1O=1. V柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=. 答案 9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积. 解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=. 10. 如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积. 解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π. 能力提升练 1.(2020青海西宁二中高二期末)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析根据题意可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上、下底面中心连线的中点就是球心,如图, 则其外接球的半径为 R=, 球的表面积为S球=4π×πa2. 故选B. 答案B 2.(多选题)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D.下列说法正确的是( ) A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π 解析以BC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥, ∴侧面积为π×3×5=15π,体积为×π×32×4=12π,∴A正确,B错误; 以AC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥, 侧面积为π×4×5=20π,体积为×π×42×3=16π,∴C错误,D正确. 答案AD 3.(2020全国高一课时练习)设矩形边长分别为a,b(a>b),将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是( ) A.Va>Vb B.Va=Vb C.Va查看更多