北京市第四中学2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

北京市第四中学2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 数 学 试 卷 ‎（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ 1. 已知全集，集合，，则 A． B． ‎ C． D． ‎ 2. 下列命题中的假命题是 A. B. ‎ C. D. ‎ 3. 已知向量，，若与共线，则实数 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 4. 已知是上的奇函数，当时,,则的解集是 A． B． C． D． ‎ 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 6. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 1. 已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 2. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 A．105倍 B．108倍 C. 1010倍 D．1012倍 3. 函数，的大致图象是 ‎ A． B． C. D．‎ 4. 已知函数 给出下列三个结论：‎ ‎① 当时，函数的单调递减区间为；‎ ‎② 若函数无最小值，则的取值范围为；‎ ‎③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. ‎ 其中，所有正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ 11. 函数的定义域是_________．‎ 12. 已知，且. 则=_________，=_________． ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 11. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________． ‎ 12. 圆与直线相切于点，则圆的半径为_________，直线的方程为_________． ‎ 15. 关于的方程的实根个数记为．‎ 若，则=_________；‎ 若，存在使得成立，则的取值范围是_________． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在中，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）从①，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，‎ 求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知：函数．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．‎ ‎21．（本小题满分15分）‎ 对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合. 已知，.‎ ‎（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；‎ ‎（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）有多少个集合对，满足，且？‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 参考答案 一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B A D C C D B B D C 二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答案 ‎ ‎ ‎1，‎ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）‎ ‎16.解：（Ⅰ），∴由余弦定理，‎ ‎∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；‎ ‎（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，∴，‎ ‎∵，∴，∴C为锐角，∴，‎ ‎∴ ．‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由，得 , ‎ ‎ 所以，又 ‎ 所以曲线在点处的切线方程为：，‎ 即： . ‎ ‎（Ⅱ）令，得 .‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎ 与在区间的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎ ‎ 因为 ‎ 所以函数在区间上的最大值为6. ‎ ‎（Ⅲ）证明：设=，‎ 则， ‎ 令，得.‎ 与 随x的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 则的增区间为，，减区间为. ‎ 又，，所以函数在没有零点， ‎ 又，‎ 所以函数在上有唯一零点. ‎ 综上，在上存在唯一的，使得. ‎ ‎18. 解：（Ⅰ）. ‎ ‎（Ⅱ）选择条件①.的一个周期为. ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎. ‎ 因为,所以.所以.所以.‎ 当时，即时，在取得最小值. ‎ 选择条件②.的一个周期为. ‎ ‎. ‎ 因为,所以.‎ 所以 当时，即时，在取得最小值. ‎ ‎19. 解： ‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）令，则， ‎ 当时，设，则 所以在单调递减，‎ 即，所以 所以在上单调递减，所以， ‎ 所以．‎ ‎（Ⅲ）原题等价于对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，则．‎ 易知，即在单调递增，‎ 所以，所以， ‎ 故在单调递减，所以． ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 综上所述，的最大值为 ． ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎20. 解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，‎ 因为 直线过点，可设直线：． ‎ 因为 两点在圆上，所以 ，‎ 因为 ，所以 ‎ 所以 所以 到直线的距离等于．‎ 所以 ， ‎ ‎ 得，‎ 所以 直线的方程为或．‎ ‎（Ⅱ）（解法一）因为与的面积相等，所以，‎ 设 ，，所以 ，．‎ 所以 即　　（*）；‎ 因为　，两点在圆上，‎ 所以 把（*）代入，得 ，‎ 所以 ‎ 所以 直线的斜率， 即． ‎ ‎（解法二）因为与的面积相等，所以， ‎ 设，，所以 ，．‎ 所以 ，即　　①；‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 联立 　消去y得． ‎ 由韦达定理知　　② 　　　③‎ 由①②可知，， ， ‎ 带入③得 ， 所以 ． ‎ ‎21. 解：（Ⅰ），，. ‎ ‎（Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则.‎ 所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.‎ 所以 当为{1,6,10,16}的子集与{2,4,8}的并集时，取到最小值4. …8分 ‎（Ⅲ）因为 ，‎ 所以 .‎ 由定义可知：.‎ 所以 对任意元素，，‎ ‎ .‎ 所以 .‎ 所以 . ‎ 由 知：.‎ 所以 .‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 所以 .‎ 所以 ，即.‎ 因为 ，‎ 所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.‎ 11‎