2013届人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理
课时作业(六十六) [第66讲 合情推理与演绎推理]
[时间:45分钟 分值:100分]
1. 在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )
A.b4+b8>b5+b7
B.b4+b8
b5+b8
D.b4+b70,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m、n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=( )
A. B.
C. D.
4.有下列推理:
①A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P的轨迹为椭圆;
②由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式;
③由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab;
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.
以上推理不是归纳推理的序号是________.
(把所有你认为正确的序号都填上)
5.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),n∈N,则f2 013(x)=( )
A.sinx B.-sinx
C.cosx D.-cosx
6.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人
C.由平面正三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,
利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面的方程为( )
A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0
C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0
8.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=x是指数函数(小前提),所以y=x是增函数(结论)”,上面推理的错误是( )
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提错都导致结论错
9.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2 009,则i与j的和为( )
A.105 B.106 C.107 D.108
10.对于命题:
若O是线段AB上一点,则有||·+||·=0.
将它类比到平面的情形是:
若O是△ABC内一点,则有S△OBC·+S△OCA·+S△OAB·=0.
将它类比到空间的情形应该是:
若O是四面体ABCD内一点,则有________.
11.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看做(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为R的球,若将R看做(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:________________②,②式可以用语言叙述为:________________.
12. 在计算“++…+(n∈N*)”时,某同学学到了如下一种方法:
先改写第k项:=-,
由此得=-,=-,…,=-,
相加,得++…+=1-=.
类比上述方法,请你计算“++…+(n∈N*)”,其结果为________.
13.如图K66-1,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……
图K66-1
试用n表示出第n个图形的边数an=________.
14.(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图K66-2为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.
(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);
(2)证明:+++…+<.
图K66-2
15.(13分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图K66-3为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)求+++…+的值.
图K66-3
16.(12分)规定C=,其中x∈R,m是正整数,且C=1,这是组合数C(m,n是正整数,且m≤n的一种推广).
(1)求C的值;
(2)组合数的两个性质:①C=C.②C+C=C.是否都能推广到C(x∈R,m是正整然)的情形?若能推广,请写出推广的形式,并给出证明;若不能,则说明理由.
(3)已知组合数C是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,C∈Z.
课时作业(六十六)
【基础热身】
1.A [解析] 在等差数列{an}中,由于4+6=3+7时有a4·a6>a3·a7,所以在等比数列{bn}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b81,bn>0,∴b4+b8>b5+b7.故选A.
2.D [解析] 显然每5秒前进一个单位,且P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1,
∴P(2 007)=P(5×401+2)=401+2=403,
P(2 008)=404,P(2 009)=403,P(2 010)=402,故选D.
3.B [解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,等差数列中的bn-am可以类比等比数列中的,等差数列中的可以类比等比数列中的.故bm+n=.
4.①③④ [解析] ①为演绎推理,②为归纳推理,③④为类比推理.
【能力提升】
5.C [解析] f1(x)=(sinx)′=cosx,
f2(x)=(cosx)′=-sinx,
f3(x)=(-sinx)′=-cosx,
f4(x)=(-cosx)′=sinx,
f5(x)=(sinx)′=cosx=f1(x),
f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x),
fn+4(x)=…=…=fn(x),
故可猜测fn(x)以4为周期,有
f4n+1(x)=f1(x)=cosx,f4n+2(x)=f2(x)=-sinx,
f4n+3(x)=f3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f4(x)=sinx,
所以f2 013(x)=f503×4+1(x)=f1(x)=cosx,故选C.
6.A [解析] 两条直线平行,同旁内角互补——大前提,
∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提,
∠A+∠B=180°——结论.
故A是演绎推理,而B、D是归纳推理,C是类比推理.故选A.
7.A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0即x+2y-z-2=0.
8.A [解析] y=ax是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错.
9.C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 009=2×1005-1,所以2 009为第1 005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1 024,故2 009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2×962-1=1 923,2 009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.
10.VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积,类比到空间就是几何体的体积.
11.′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
12. [解析] ∵=,依次裂项,求和得
.
13.3×4n-1 [解析] a1=3,a2=12,a3=48,可知an=3×4n-1.
14.[解答] (1)f(4)=37,f(5)=61.
由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,f(4)-f(3)=37-19=3×6,f(5)-f(4)=61-37=4×6,…
因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)
=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.
(2)证明:当k≥2时,=<=.
所以+++…+<1+
=1+<1+=.
15.[解答] (1)f(5)=41.
(2)由题图可得f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4.
由上式规律,可得f(n+1)-f(n)=4n.
因为f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n+1)=f(n)+4n,
所以f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
…
=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
=2n2-2n+1.
(3)当n≥2时,
+++…+
=+++…+
=+++…+
=+×
=1+×
=1+=-.
【难点突破】
16.[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C==-11 628.
(2)性质①不能推广.反例:当x=,m=1时,C有意义,但C无意义.性质②能推广,且推广形式不变:C+C=C(x∈R,m是正整数).
证明如下:C+C=+
=·(x+1)=
·(x+1)[(x+1)-1][(x+1)-2]…[(x+1)-m+1]=C.
(3)需要就x与m的大小做出逻辑划分并进行严密的论证.
当x≥m时,x,m都是正整数,C就是组合数,结论显然成立;
当0≤x0,∴C是正整数,
故C=(-1)mC∈Z.
综上所述,当x∈Z,m是正整数时,C∈Z.