河北省衡水中学2021届高三第一学期中考试数学试卷（理科）

河北省衡水中学2021届高三第一学期中考试数学试卷（理科）

‎2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。‎ ‎1．（5分）集合M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，N＝{x|2x+a＞0}，U＝R，若M∩∁UN＝∅，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1‎ ‎2．（5分）若直线y＝kx与双曲线x‎2‎‎9‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎相交，则k的取值范围是（　　）‎ A．‎(0，‎2‎‎3‎)‎ B．‎(-‎2‎‎3‎，0)‎ ‎ C．‎(-‎2‎‎3‎，‎2‎‎3‎)‎ D．‎‎(-∞，-‎2‎‎3‎)∪(‎2‎‎3‎，+∞)‎ ‎3．（5分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BD‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎BC‎→‎，则AD‎→‎•BD‎→‎的值为（　　）‎ A．‎-‎‎5‎‎2‎ B．‎5‎‎2‎ C．‎-‎‎5‎‎4‎ D．‎‎5‎‎4‎ ‎4．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2＝a3，bn+3bn﹣1＝4bn2（n≥2）n∈N+，则log2bn＝（　　）‎ A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n ‎5．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）‎ A．‎1‎‎7‎或-1‎ B．﹣1 C．1或﹣1 D．1‎ ‎6．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2+b2＝2014c2，则‎2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)‎的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2013 D．2014‎ 第11页（共11页）‎ ‎7．（5分）已知点M（a，b）（ab≠0）是圆C：x2+y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx﹣ay＝r2，那么（　　）‎ A．l⊥m且m与圆C相切 B．l∥m且m与圆C相切 ‎ C．l⊥m且m与圆C相离 D．l∥m且m与圆C相离 ‎8．（5分）若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（　　）‎ A．y2﹣4x+4y+8＝0 B．y2﹣2x﹣2y+2＝0 ‎ C．y2+4x﹣4y+8＝0 D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0‎ ‎9．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AB‎→‎•AD‎→‎‎=-‎1，点M在边CD上，则MA‎→‎•MB‎→‎的最大值为（　　）‎ A．2 B．2‎2‎‎-‎1 C．5 D．‎3‎‎-‎1‎ ‎10．（5分）已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[π‎6‎，π‎4‎]，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）‎ A．[‎2‎‎2‎，‎3‎‎2‎] B．[‎2‎‎2‎，1） C．[‎2‎‎2‎，‎3‎‎-‎1] D．[‎3‎‎3‎，‎6‎‎3‎]‎ ‎11．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎5‎‎-1‎‎2‎ B．‎2‎‎+1‎‎2‎ C．‎2‎‎+‎1 D．‎5‎‎-‎1‎ ‎12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝0；③当x∈[0，2]时．f（x）＝x；④函数f（n）（x）＝f（2n﹣1•x），n∈N*，若过点（﹣1，0）的直线l与函数f（4）（x 第11页（共11页）‎ ‎）的图象在[0，2]上恰有8个交点．则直线l斜率k的取值范围是（　　）‎ A．（0，‎8‎‎11‎） B．（0，‎11‎‎8‎） C．（0，‎8‎‎19‎） D．（0，‎19‎‎8‎）‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知sin(2A+π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎，b＝1，△ABC的面积为‎3‎‎2‎，则b+csinB+sinC的值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知平面上有四点O，A，B，C，向量OA‎→‎，OB‎→‎，OC‎→‎满足：OA‎→‎‎+OB‎→‎+OC‎→‎=‎‎0‎‎→‎，OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=OB‎→‎⋅OC‎→‎=OC‎→‎⋅OA‎→‎=-‎1，则△ABC的周长是　 　．‎ ‎15．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2‎=‎π‎3‎，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为　 　．‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分。17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m‎→‎‎=‎（cos‎3A‎2‎，sin‎3A‎2‎），n‎→‎‎=‎（cosA‎2‎，sinA‎2‎），且满足|m‎→‎‎+‎n‎→‎|‎=‎‎3‎．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b+c‎=‎‎3‎a，试判断△ABC的形状．‎ ‎18．（12分）已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y＝2x﹣8相切于点P（4，0）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y＝kx﹣1对称，且以线段MN 第11页（共11页）‎ 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（12分）（理科）各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2pan2+pan﹣p（p∈R）．‎ ‎（1）求常数p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记bn‎=‎‎4‎Snn+3‎2n，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的离心率e=‎‎3‎‎2‎，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是‎4‎‎5‎‎5‎．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如果直线y＝kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．‎ ‎21．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．‎ ‎22．（12分）设函数f(x)=lnx-‎1‎‎2‎ax‎2‎-bx．‎ ‎（Ⅰ）当a=b=‎‎1‎‎2‎时，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）令F(x)=f(x)+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx+‎ax（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k‎≤‎‎1‎‎2‎恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．‎ 第11页（共11页）‎ 第11页（共11页）‎ ‎2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。‎ ‎1．（5分）集合M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，N＝{x|2x+a＞0}，U＝R，若M∩∁UN＝∅，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1‎ ‎【答案】B ‎2．（5分）若直线y＝kx与双曲线x‎2‎‎9‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎相交，则k的取值范围是（　　）‎ A．‎(0，‎2‎‎3‎)‎ B．‎(-‎2‎‎3‎，0)‎ ‎ C．‎(-‎2‎‎3‎，‎2‎‎3‎)‎ D．‎‎(-∞，-‎2‎‎3‎)∪(‎2‎‎3‎，+∞)‎ ‎【答案】C ‎3．（5分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BD‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎BC‎→‎，则AD‎→‎•BD‎→‎的值为（　　）‎ A．‎-‎‎5‎‎2‎ B．‎5‎‎2‎ C．‎-‎‎5‎‎4‎ D．‎‎5‎‎4‎ ‎【答案】C ‎4．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2＝a3，bn+3bn﹣1＝4bn2（n≥2）n∈N+，则log2bn＝（　　）‎ A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n ‎【答案】D ‎5．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）‎ 第11页（共11页）‎ A．‎1‎‎7‎或-1‎ B．﹣1 C．1或﹣1 D．1‎ ‎【答案】C ‎6．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2+b2＝2014c2，则‎2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)‎的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2013 D．2014‎ ‎【答案】C ‎7．（5分）已知点M（a，b）（ab≠0）是圆C：x2+y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx﹣ay＝r2，那么（　　）‎ A．l⊥m且m与圆C相切 B．l∥m且m与圆C相切 ‎ C．l⊥m且m与圆C相离 D．l∥m且m与圆C相离 ‎【答案】C ‎8．（5分）若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（　　）‎ A．y2﹣4x+4y+8＝0 B．y2﹣2x﹣2y+2＝0 ‎ C．y2+4x﹣4y+8＝0 D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0‎ ‎【答案】C ‎9．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AB‎→‎•AD‎→‎‎=-‎1，点M在边CD上，则MA‎→‎•MB‎→‎的最大值为（　　）‎ A．2 B．2‎2‎‎-‎1 C．5 D．‎3‎‎-‎1‎ ‎【答案】A 第11页（共11页）‎ ‎10．（5分）已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[π‎6‎，π‎4‎]，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）‎ A．[‎2‎‎2‎，‎3‎‎2‎] B．[‎2‎‎2‎，1） C．[‎2‎‎2‎，‎3‎‎-‎1] D．[‎3‎‎3‎，‎6‎‎3‎]‎ ‎【答案】C ‎11．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎5‎‎-1‎‎2‎ B．‎2‎‎+1‎‎2‎ C．‎2‎‎+‎1 D．‎5‎‎-‎1‎ ‎【答案】C ‎12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝0；③当x∈[0，2]时．f（x）＝x；④函数f（n）（x）＝f（2n﹣1•x），n∈N*，若过点（﹣1，0）的直线l与函数f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点．则直线l斜率k的取值范围是（　　）‎ A．（0，‎8‎‎11‎） B．（0，‎11‎‎8‎） C．（0，‎8‎‎19‎） D．（0，‎19‎‎8‎）‎ ‎【答案】A 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知sin(2A+π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎，b＝1，△ABC的面积为‎3‎‎2‎，则b+csinB+sinC的值为　2　．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎14．（5分）已知平面上有四点O，A，B，C，向量OA‎→‎，OB‎→‎，OC‎→‎满足：OA‎→‎‎+OB‎→‎+OC‎→‎=‎‎0‎‎→‎，OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=OB‎→‎⋅OC‎→‎=OC‎→‎⋅OA‎→‎=-‎1，则△‎ 第11页（共11页）‎ ABC的周长是　3‎6‎　．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎15．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2‎=‎π‎3‎，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　‎4‎‎3‎‎3‎　．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为　4　．‎ ‎【答案】见试题解答内容 三、解答题：本大题共6题，共70分。17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m‎→‎‎=‎（cos‎3A‎2‎，sin‎3A‎2‎），n‎→‎‎=‎（cosA‎2‎，sinA‎2‎），且满足|m‎→‎‎+‎n‎→‎|‎=‎‎3‎．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b+c‎=‎‎3‎a，试判断△ABC的形状．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎18．（12分）已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y＝2x﹣8相切于点P（4，0）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y＝kx﹣1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎19．（12分）（理科）各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n 第11页（共11页）‎ 项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2pan2+pan﹣p（p∈R）．‎ ‎（1）求常数p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记bn‎=‎‎4‎Snn+3‎2n，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎20．（12分）已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的离心率e=‎‎3‎‎2‎，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是‎4‎‎5‎‎5‎．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如果直线y＝kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎21．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎22．（12分）设函数f(x)=lnx-‎1‎‎2‎ax‎2‎-bx．‎ ‎（Ⅰ）当a=b=‎‎1‎‎2‎时，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）令F(x)=f(x)+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx+‎ax（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k‎≤‎‎1‎‎2‎恒成立，求实数a的取值范围；‎ 第11页（共11页）‎ ‎（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．‎ ‎【答案】见试题解答内容 第11页（共11页）‎