数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二下学期5月月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二下学期5月月考数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（下）5月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．定义运算，若（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．在（，﹣2）处的切线方程是（　　）‎ A．y=4x B．y=4x﹣4 C．y=4x+4 D．y=2x﹣4‎ ‎3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（　　）‎ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎4．等于（　　）‎ A．1 B． C． D．π ‎5．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（　　）‎ A．（n≥2）‎ B．1+（n≥2）‎ C．1+（n≥2）‎ D．1+（n≥2）‎ ‎6．已知某校在暑假组织社会实践活动，将8名高三年级学生平均分配到甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀的学生不能分配给同一家公司，另三名电脑特长的学生不能都分给同一个公司，则不同的分配方案有（　　）‎ A．38 B．36 C．108 D．114‎ ‎7．下列四个说法：‎ ‎①若向量{、、}是空间的一个基底，则{+、﹣、}也是空间的一个基底．‎ ‎②空间的任意两个向量都是共面向量．‎ ‎③若两条不同直线l，m的方向向量分别是、，则l∥m⇔∥．‎ ‎④若两个不同平面α，β的法向量分别是、，且=（1，2，﹣2）、=（﹣2，﹣4，4），则α∥β．‎ 其中正确的说法的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知P是椭圆上任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线，两垂线交于点C，过P作AC，BC的平行线交BC于点M，交AC于点N，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，则=（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（　　）‎ A．0 B．l C．2 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数为　 　．‎ ‎14．在的二项展开式中，二项式系数之和为128，则展开式中x项的系数为　 　．‎ ‎15．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线于A，B两点，连接AF1，BF1．若|AB|=|BF1|，且∠ABF1=90°，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎16．已知a，b，c，d为实数，e是自然对数的底数，且eb=2a﹣1，d=2c+3，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．‎ ‎（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ ‎18．设函数．‎ ‎（1）若f'（2）=0，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎19．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．‎ ‎（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？‎ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．‎ 附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分别是棱A1B1、AB、A1D1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：GE⊥平面FCC1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．‎ ‎21．在直角坐标系中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点P为C1与C2在第一象限的交点，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点，若线段OF2上存在定点T（t，0）使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形，求t的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2，a＞0．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）有唯一零点x0，证明：．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（下）5月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．定义运算，若（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用运算化简、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解： =i4﹣2i=1﹣2i，则复数在复平面上对应的点（1，﹣2）位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．在（，﹣2）处的切线方程是（　　）‎ A．y=4x B．y=4x﹣4 C．y=4x+4 D．y=2x﹣4‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求斜率k=，利用点斜式即可求得切线方程．‎ ‎【解答】解：切线斜率k===4，又过点（，﹣2），‎ 所以切线方程为：y﹣（﹣2）=4（x﹣），即y=4x﹣4，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（　　）‎ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），‎ μ=2，得对称轴是x=2．‎ P（ξ＜4）=0.8‎ ‎∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，‎ ‎∴P（0＜ξ＜4）=0.6　　‎ ‎∴P（0＜ξ＜2）=0.3．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．等于（　　）‎ A．1 B． C． D．π ‎【考点】67：定积分．‎ ‎【分析】利用定积分的几何意义解答．‎ ‎【解答】解：表示以原点为圆心，1为半径的半圆的面积，所以=；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（　　）‎ A．（n≥2）‎ B．1+（n≥2）‎ C．1+（n≥2）‎ D．1+（n≥2）‎ ‎【考点】F1：归纳推理．‎ ‎【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知某校在暑假组织社会实践活动，将8名高三年级学生平均分配到甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀的学生不能分配给同一家公司，另三名电脑特长的学生不能都分给同一个公司，则不同的分配方案有（　　）‎ A．38 B．36 C．108 D．114‎ ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：‎ ‎①‎ 甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．‎ 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．‎ ‎②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．‎ 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．下列四个说法：‎ ‎①若向量{、、}是空间的一个基底，则{+、﹣、}也是空间的一个基底．‎ ‎②空间的任意两个向量都是共面向量．‎ ‎③若两条不同直线l，m的方向向量分别是、，则l∥m⇔∥．‎ ‎④若两个不同平面α，β的法向量分别是、，且=（1，2，﹣2）、=（﹣2，﹣4，4），则α∥β．‎ 其中正确的说法的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】M1：空间向量的概念．‎ ‎【分析】利用向量基地的定义、共面与共线向量的定义、空间线面关系即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：①若向量{、、}是空间的一个基底，则{+、﹣、}也是空间的一个基底，正确．‎ ‎②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．‎ ‎③若两条不同直线l，m的方向向量分别是、，则l∥m⇔∥，正确．‎ ‎④若两个不同平面α，β的法向量分别是、，且=（1，2，﹣2）、=（﹣2，﹣4，4），∵=﹣2，则α∥β．‎ 其中正确的说法的个数是4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，则a，令f（x）=，则f′（x）=．‎ 令g（x）=exx﹣ex+1，‎ 则g（0）=0，g′（x）=xex＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0．‎ q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．‎ 则p是q的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】MI：直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．‎ ‎【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），‎ 则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）‎ ‎∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．‎ ‎∴cos＜，＞═=．‎ ‎∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 故答案为D．‎ ‎　‎ ‎10．把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CM：条件概率与独立事件．‎ ‎【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率，代入条件概率的概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，‎ 第一次出现正面的概率是P（A）=，‎ 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P（AB）==，‎ ‎∴P（B|A）==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．已知P是椭圆上任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线，两垂线交于点C，过P作AC，BC的平行线交BC于点M，交AC于点N，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，则=（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】确定AB的方程，求出S△ADN、SACME．利用P（x，y）在椭圆上可知S1=S2，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：设P（x，y）在第一象限，则AB的方程为+=1，‎ ‎∴D（5﹣，y），E（x，3﹣），‎ ‎∴S△ADN=×=，‎ ‎∴SACME=（）×（5﹣x）=（25﹣x2），‎ ‎∵P（x，y）在椭圆上，∴，‎ ‎∴y2=9﹣，‎ ‎∴=（25﹣x2），‎ ‎∴S△ADN=SACME，‎ ‎∴S1=S2，‎ ‎∴=2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（　　）‎ A．0 B．l C．2 D．3‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f=e+1，‎ 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，‎ 则f（x）﹣lnx为定值，‎ 设t=f（x）﹣lnx，‎ 则f（x）=lnx+t，‎ 又由f（t）=e+1，‎ 即lnt+t=e+1，‎ 解得：t=e，‎ 则f（x）=lnx+e，f′（x）=＞0，‎ 故g（x）=lnx+e﹣，则g′（x）=+＞0，‎ 故g（x）在（0，+∞）递增，‎ 而g（1）=e﹣1＞0，g（）=﹣1＜0，‎ 存在x0∈（，1），使得g（x0）=0，‎ 故函数g（x）有且只有1个零点，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数为　36　．‎ ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，对甲的位置分3种情况讨论，依次求出乙以及其他人的站法数目，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分3情况讨论，‎ 甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；‎ 甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；‎ 甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种，‎ 故共有12+12+12=36．‎ 故答案为：36．‎ ‎　‎ ‎14．在的二项展开式中，二项式系数之和为128，则展开式中x项的系数为　﹣14　．‎ ‎【考点】DB：二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用二项式系数和为2n，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，求出展开式中含x的系数 ‎【解答】解：∵展开式中二项式系数之和为2n，‎ ‎∴2n=128‎ 解得n=7，‎ ‎∴（﹣）7展开式的通项为（﹣2）rC7rx 令=1，‎ 解得r=1‎ 故展开式中x的系数为﹣2C71=﹣14‎ 故答案为：﹣14．‎ ‎　‎ ‎15．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线于A，B两点，连接AF1，BF1．若|AB|=|BF1|，且∠ABF1=90°，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|BF1|=n，由题意可得|AB|=n，|AF1|=n，运用双曲线的定义和勾股定理，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设|BF1|=n，由|AB|=|BF1|，且∠ABF1=90°，可得 ‎|AB|=n，|AF1|=n，‎ 由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|=2a，‎ 即有|BF2|=n﹣2a，‎ 又|AF1|﹣|AF2|=2a，可得|AF2|=n﹣2a，‎ 由|AB|=（+1）n﹣4a=n，‎ 解得n=2a，‎ 在△F1F2B中，由|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，‎ 即为（2a）2+（2﹣2）2a2=4c2，‎ 化为c2=（5﹣2）a2，‎ 可得e==，‎ 故答案为：，‎ ‎　‎ ‎16．已知a，b，c，d为实数，e是自然对数的底数，且eb=2a﹣1，d=2c+3，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值　5　．‎ ‎【考点】IT：点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】由题意可得点（a，b）在y=ln（2x﹣1）图象上，点（c，d）在直线y=2x+3上，平移直线y=2x+3到与y=ln（2x﹣1）相切，切点到直线y=2x+3距离的平方即为所求．‎ ‎【解答】解：由题意可得点（a，b）在ey=2x﹣1即函数y=ln（2x﹣1）图象上，‎ 同理可得点（c，d）在直线y=2x+3上，‎ 对y=ln（2x﹣1）求导数可得y′=，‎ 令=2可解得x=1，代入y=ln（2x﹣1）可得y=0，‎ ‎∴曲线y=ln（2x﹣1）上的点（1，0）到直线y=2x+3的距离为=‎ ‎∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）2=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．‎ ‎（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ ‎【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．‎ 法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，‎ ‎∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．‎ 由=．‎ 得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．‎ 将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，‎ 得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎（Ⅱ） 法1：设曲线C上的点为 ‎，‎ 则点P到直线l的距离为==‎ 当时，‎ ‎∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；‎ 法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．‎ 当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．‎ ‎∴直线l'的方程为x+y=0．‎ 那么：直线l与直线l'的距离为 故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．‎ ‎　‎ ‎18．设函数．‎ ‎（1）若f'（2）=0，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（2）=0，求出a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，问题转化为a≥对x＞0恒成立，根据不等式的性质求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（x）的定义域为（0，+∞），‎ f′（2）=0，且f′（x）=a+﹣，‎ 所以a+﹣1=0，所以a=，‎ 所以f′（x）=+﹣=（2x2﹣5x+2），‎ 由f′（x）＞0结合x＞0，得0＜x＜或x＞2；‎ 由f′（x）＜0及x＞0，得＜x＜2．‎ 所以f（x）在区间（0，）和（2，+∞）内是增函数，‎ 在区间（，2）内是减函数．‎ ‎（2）若f（x）在定义域上是增函数，‎ 则f′（x）≥0对x＞0恒成立，‎ 因为f′（x）=a+﹣=，‎ 所以需x＞0时ax2﹣2x+a≥0恒成立．‎ 化为a≥对x＞0恒成立，‎ 因为=≤1，‎ 当且仅当x=1时取等号，‎ 所以a≥1．‎ ‎　‎ ‎19．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．‎ ‎（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？‎ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．‎ 附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】BO：独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得X的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 2×2列联表：‎ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎…，…‎ 因为11.111＞6.635，‎ 所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…‎ ‎（Ⅱ） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．‎ ‎…；；．…‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…‎ 所以．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分别是棱A1B1、AB、A1D1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：GE⊥平面FCC1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】取AF的中点M，连接DM，得DM⊥CD．以DM，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解．‎ ‎【解答】解：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，‎ 所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形，因为ABCD为等腰梯形，‎ 所以∠BAD=∠ABC=60°，取AF的中点M，‎ 连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD．‎ 以DM，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），， C（0，2，0），C1（0，2，2），，，，‎ 所以，，．‎ 设平面CC1F的法向量为，则 ‎∴取．‎ ‎（Ⅰ）证明：GE的方向向量为，‎ ‎∵，∴GE⊥平面FCC1．‎ ‎（Ⅱ）解：，设平面BFC1的法向量为，则 所以取，‎ 则，，，‎ 所以，由图可知二面角B﹣FC1﹣C为锐角，‎ 所以二面角B﹣FC1﹣C的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．在直角坐标系中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点P为C1与C2在第一象限的交点，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点，若线段OF2上存在定点T（t，0）使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形，求t的取值范围．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的右焦点是抛物线C2：y2=4x的焦点，点P为C1与C2在第一象限的交点，且，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设MN中点为D（x0，y0），由题意知TD⊥MN，设直线MN的方程为x=my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由根的判断式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件，能求出t的取值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又F2（1，0），∴F1（﹣1，0），‎ ‎∴，∴a=2，‎ 又∵c=1，∴b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆方程是：．‎ ‎（Ⅱ）设MN中点为D（x0，y0），∵以TM、TN为邻边的四边形是菱形，‎ ‎∴TD⊥MN，‎ 设直线MN的方程为x=my+1，‎ 联立，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ ‎∵F2在椭圆内，∴△＞0恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴kTD•kMN=﹣1，即，‎ 整理得，‎ ‎∵m2＞0，∴3m2+4∈（4，+∞），∴，‎ ‎∴t的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2，a＞0．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）有唯一零点x0，证明：．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；‎ ‎（2）求出，得到，令x0+1=t，则，设，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1），x＞﹣1，‎ 令g（x）=2ax2+2ax+1，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），‎ 若△＜0，即0＜a＜2，则g（x）＞0，‎ 当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 若△=0，即a=2，则g（x）≥0，仅当时，等号成立，‎ 当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增．‎ 若△＞0，即a＞2，则g（x）有两个零点，，‎ 由g（﹣1）=g（0）=1＞0，得，‎ 当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；‎ 当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增．‎ 综上所述，‎ 当0＜a≤2时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；‎ 当a＞2时，f（x）在和上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）及f（0）=0可知：仅当极大值等于零，即f（x1）=0时，符合要求．‎ 此时，x1就是函数f（x）在区间（﹣1，0）的唯一零点x0．‎ 所以，从而有，‎ 又因为，所以，‎ 令x0+1=t，则，‎ 设，则，‎ 再由（1）知：，h'（t）＜0，h（t）单调递减，‎ 又因为，，‎ 所以e﹣2＜t＜e﹣1，即．‎