黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（理科） （解析版）

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二第二学期期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．已知函数f（x）＝xsinx，则f'（π‎2‎）的值为（　　）‎ A．π‎2‎ B．0 C．﹣1 D．1​​‎ ‎2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b＝1，c+d＝1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（　　）‎ A．a，b，c，d全都大于等于0 ‎ B．a，b，c，d全为正数 ‎ C．a，b，c，d中至少有一个正数 ‎ D．a，b，c，d中至多有一个负数 ‎3．（x2‎-‎‎2‎x）6的展开式中x3的系数为（　　）‎ A．90 B．160 C．﹣160 D．﹣120‎ ‎4．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点…大前提因为函数f（x）＝x3满足f′（0）＝0，…小前提所以x＝0是函数f（x）＝x3的极值点”，结论以上推理（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．没有错误 ‎5．若直线y＝kx﹣2与曲线y＝2lnx相切，则k＝（　　）‎ A．3 B．‎1‎‎3‎ C．2 D．‎‎1‎‎2‎ ‎6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，‎ 额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：‎ ‎2‎2‎‎3‎‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎，3‎3‎‎8‎‎=‎‎3‎‎3‎‎8‎，4‎4‎‎15‎‎=‎‎4‎‎4‎‎15‎，5‎‎5‎‎24‎‎=‎‎5‎‎5‎‎24‎ 则按照以上规律，若8‎8‎n‎=‎‎8‎‎8‎n具有“穿墙术”，则n＝（　　）‎ A．7 B．35 C．48 D．63‎ ‎7．（理）‎0‎‎1‎‎ ‎‎(‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎-x‎2‎)dx的值是（　　）‎ A．π‎4‎‎-‎‎1‎‎3‎ B．π‎4‎‎-1‎ C．π‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎ D．‎π‎2‎‎-1‎ ‎8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（　　）‎ A．48 B．72 C．90 D．96‎ ‎9．已知a∈R，函数f（x）‎=‎‎1‎‎3‎x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）‎=‎f'(x)‎x，则（　　）‎ A．g（x）在（1，+∞）上有最大值 ‎ B．g（x）在（1，+∞）上有最小值 ‎ C．g（x）在（1，+∞）上为减函数 ‎ D．g（x）在（1，+∞）上为增函数 ‎10．某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（　　）‎ A．A‎4‎‎2‎•C‎4‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎A‎6‎‎2‎•C‎4‎‎2‎ ‎ C．A‎6‎‎2‎•C‎4‎‎2‎ D．2A‎6‎‎2‎ ‎11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=‎‎2Sa+b+c ‎，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R＝（　　）‎ A．VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ B．‎2VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ ‎ C．‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ D．‎‎4VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ ‎12．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　）‎ A．f(‎1‎k)＜‎‎1‎k B．f(‎1‎k)＞‎‎1‎k-1‎ ‎ C．f(‎1‎k-1‎)＜‎‎1‎k-1‎ D．‎f(‎1‎k-1‎)＞‎kk-1‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax+By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为　 　．‎ ‎14．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N*）时，从“n＝k”到“n＝k+1”的证明，左边需增添的代数式是　 　．‎ ‎15．若函数f（x）＝x2ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎16．已知多项式（2x2+3x+1）（x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2＝　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数：‎ ‎（1）甲、乙两人都不跑中间两棒；‎ ‎（2）甲、乙二人不都跑中间两棒．‎ ‎18．已知函数f（x）‎=‎1‎‎3‎x‎3‎-‎ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10＝0，求 ‎（1）实数a，b的值； ‎ ‎（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．‎ ‎19．已知在二项式‎(‎3‎x+‎‎1‎‎2‎‎3‎x‎)‎n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．‎ ‎（1）求正整数n的值；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（3）求展开式中系数最大的项；‎ ‎20．已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与﹣2nan的等差中项，其中a是不等于零的常数．‎ ‎（1）求a1，a2，a3；‎ ‎（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎21．已知函数f（x）＝xex﹣ln（x+l）﹣x．‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）证明：函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点．‎ ‎22．已知函数f（x）＝mlnx‎+‎1‎‎2‎x‎2‎-‎2x，m∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．已知函数f（x）＝xsinx，则f'（π‎2‎）的值为（　　）‎ A．π‎2‎ B．0 C．﹣1 D．1​​‎ ‎【分析】先由复合函数的求导公式求出f′（x），再将x‎=‎π‎2‎代入计算求值．‎ 解：函数f（x）＝xsinx，f′（x）＝sinx+xcosx，‎ 则f′（π‎2‎）＝sinπ‎2‎‎+‎π‎2‎cosπ‎2‎‎=‎1，‎ 故选：D．‎ ‎2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b＝1，c+d＝1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（　　）‎ A．a，b，c，d全都大于等于0 ‎ B．a，b，c，d全为正数 ‎ C．a，b，c，d中至少有一个正数 ‎ D．a，b，c，d中至多有一个负数 ‎【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．‎ 解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，‎ 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，‎ 故选：A．‎ ‎3．（x2‎-‎‎2‎x）6的展开式中x3的系数为（　　）‎ A．90 B．160 C．﹣160 D．﹣120‎ ‎【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式的x3项的系数．‎ 解：二项式（x2‎-‎‎2‎x）6的展开式的通项公式为Tr+1‎=‎‎∁‎‎6‎r•x12﹣2r•（﹣2）r•x﹣r＝（﹣2）r•‎∁‎‎6‎r•x12﹣3r，‎ 令12﹣3r＝3，解得r＝3，故二项式（x2‎-‎‎2‎x）6展开式中的x3项的系数为：（﹣2）3×20＝﹣160，‎ 故选：C．‎ ‎4．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点…大前提因为函数f（x）＝x3满足f′（0）＝0，…小前提所以x＝0是函数f（x）＝x3的极值点”，结论以上推理（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．没有错误 ‎【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ 解：对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，‎ 而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ ‎∴大前提错误，‎ 故选：A．‎ ‎5．若直线y＝kx﹣2与曲线y＝2lnx相切，则k＝（　　）‎ A．3 B．‎1‎‎3‎ C．2 D．‎‎1‎‎2‎ ‎【分析】先设出切点，然后求出y＝2lnx的切线方程，再根据切线过（0，﹣2）求出切点坐标，即可求出k的值．‎ 解：设切点为（a，2lna），‎ 因为y'=‎‎2‎x，故切线为：y﹣2lna‎=‎2‎a(x-a)‎，‎ 由题意知，切线过（0，﹣2），‎ 所以﹣2﹣2lna‎=‎2‎a(0-a)=-‎2．‎ 解得a＝1．所以k‎=‎2‎a=2‎．‎ 故选：C．‎ ‎6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：‎ ‎2‎2‎‎3‎‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎，3‎3‎‎8‎‎=‎‎3‎‎3‎‎8‎，4‎4‎‎15‎‎=‎‎4‎‎4‎‎15‎，5‎‎5‎‎24‎‎=‎‎5‎‎5‎‎24‎ 则按照以上规律，若8‎8‎n‎=‎‎8‎‎8‎n具有“穿墙术”，则n＝（　　）‎ A．7 B．35 C．48 D．63‎ ‎【分析】观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．‎ ‎【解答】解2‎2‎‎3‎‎=‎2‎2‎‎2‎‎2‎‎-1‎‎=‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎2‎‎2‎‎2‎‎2‎‎-1‎，3‎3‎‎8‎‎=‎3‎3‎‎3‎‎2‎‎-1‎‎=‎‎3‎‎3‎‎8‎，4‎4‎‎15‎‎=‎4‎4‎‎4‎‎2‎‎-1‎‎=‎‎4‎‎4‎‎15‎，5‎5‎‎24‎‎=‎5‎‎5‎‎5‎‎2‎‎-1‎‎=‎‎5‎‎5‎‎24‎ 则按照以上规律8‎8‎n‎=‎‎8‎‎8‎n，可得n＝82﹣1＝63，‎ 故选：D．‎ ‎7．（理）‎0‎‎1‎‎ ‎‎(‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎-x‎2‎)dx的值是（　　）‎ A．π‎4‎‎-‎‎1‎‎3‎ B．π‎4‎‎-1‎ C．π‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎ D．‎π‎2‎‎-1‎ ‎【分析】根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可．‎ 解：‎0‎‎1‎‎ ‎‎(‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎-x‎2‎)dx=‎0‎‎1‎‎ ‎‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎dx-‎0‎‎1‎‎ ‎x‎2‎dx，‎ 设y=‎‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎，则（x﹣1）2+y2＝1，（y≥0），表示为圆心在（1，0），半径为1的上半圆的‎1‎‎2‎，所以由积分的几何意义可知‎0‎‎1‎‎ ‎‎1-(x-1‎‎)‎‎2‎dx‎=‎1‎‎4‎×‎π×12‎=‎π‎4‎，‎ 而‎0‎‎1‎‎ ‎x‎2‎dx=‎1‎‎3‎x‎3‎‎|‎‎0‎‎1‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 所以‎0‎‎1‎‎ ‎‎(‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎-x‎2‎)dx=π‎4‎-‎‎1‎‎3‎．‎ 故选：A．‎ ‎8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（　　）‎ A．48 B．72 C．90 D．96‎ ‎【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①、选出的4人没有甲，②、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．‎ 解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有A44＝24种情况，‎ ‎②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，‎ 在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A43＝24种选法，‎ 则此时共有3×24＝72种选法，‎ 则有24+72＝96种不同的参赛方案；‎ 故选：D．‎ ‎9．已知a∈R，函数f（x）‎=‎‎1‎‎3‎x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）‎=‎f'(x)‎x，则（　　）‎ A．g（x）在（1，+∞）上有最大值 ‎ B．g（x）在（1，+∞）上有最小值 ‎ C．g（x）在（1，+∞）上为减函数 ‎ D．g（x）在（1，+∞）上为增函数 ‎【分析】利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值．‎ 解：函数f（x）‎=‎‎1‎‎3‎x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）＝x2﹣2ax+a．对称轴为：x＝a，‎ 导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，‎ 令x2﹣2ax+a＝0，可得方程在（﹣∞，1）有两个根，可得a＜1‎‎△=4a‎2‎-4a＞0‎‎1‎‎2‎‎-2a+a＞0‎，解得：a＜0‎ 函数g（x）‎=f'(x)‎x=‎x‎+ax-‎2a．‎ g′（x）＝1‎-‎ax‎2‎，‎ x∈（1，+∞），ax‎2‎‎＜0‎，‎ ‎1‎-ax‎2‎＞0‎，∴g′（x）＞0，‎ g（x）在在（1，+∞）上为增函数．‎ 故选：D．‎ ‎10．某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（　　）‎ A．A‎4‎‎2‎•C‎4‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎A‎6‎‎2‎•C‎4‎‎2‎ ‎ C．A‎6‎‎2‎•C‎4‎‎2‎ D．2A‎6‎‎2‎ ‎【分析】首先将4名学生均分成两组，选择完成以后要除以2，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数．‎ 解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题 首先将4名学生均分成两组方法数为‎1‎‎2‎C42，‎ 再分配给6个班级中的2个分配方法数为A62，‎ ‎∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为‎1‎‎2‎A62C42，‎ 故选：B．‎ ‎11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=‎‎2Sa+b+c，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R＝（　　）‎ A．VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ B．‎2VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ ‎ C．‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ D．‎‎4VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ 解：设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为 ‎V四面体A-BCD‎=‎1‎‎3‎(S‎1‎+S‎2‎+S‎3‎+S‎4‎)R ‎∴R‎=‎‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ 故选：C．‎ ‎12．若定义在一、选择题上的函数f（x）满足f（0）＝﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　）‎ A．f(‎1‎k)＜‎‎1‎k B．f(‎1‎k)＞‎‎1‎k-1‎ ‎ C．f(‎1‎k-1‎)＜‎‎1‎k-1‎ D．‎f(‎1‎k-1‎)＞‎kk-1‎ ‎【分析】根据导数的概念得出f(x)-f(0)‎x‎＞‎k＞1，用x‎=‎‎1‎k-1‎代入可判断出f（‎1‎k-1‎）‎＞‎‎1‎k-1‎，即可判断答案．‎ ‎【解答】解；∵f′（0）‎‎=‎limx→0‎f(x)-f(0)‎x-0‎ f′（x）＞k＞1，‎ ‎∴f(x)-f(0)‎x‎＞‎k＞1，‎ 即f(x)+1‎x‎＞‎k＞1，‎ 当x‎=‎‎1‎k-1‎时，f（‎1‎k-1‎）+1‎＞‎1‎k-1‎×‎k‎=‎kk-1‎，‎ 即f（‎1‎k-1‎）‎＞kk-1‎-‎1‎‎=‎‎1‎k-1‎ 故f（‎1‎k-1‎）‎＞‎‎1‎k-1‎，‎ 所以f（‎1‎k-1‎）‎＜‎‎1‎k-1‎，一定出错，‎ 另解：设g（x）＝f（x）﹣kx+1，‎ g（0）＝0，且g′（x）＝f′（x）﹣k＞0，‎ g（x）在R上递增，‎ k＞1，对选项一一判断，可得C错．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax+By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为　18　．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个排列组合问题，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有A52种结果，在这些直线中有重复的直线，即1和2，2和4，会出现相同的直线，把不合题意的去掉．‎ 解：由题意知本题是一个排列组合问题，‎ ‎∵从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有A52＝20种结果，‎ 在这些直线中有重复的直线，‎ 当A＝1，B＝2时和当A＝2，B＝4时，结果相同，‎ 把A，B交换位置又有一组相同的结果，‎ ‎∴所得不同直线的条数是20﹣2＝18，‎ 故答案为：18．‎ ‎14．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N*）时，从“n＝k”到“n＝k+1”的证明，左边需增添的代数式是　2（2k+1）　．‎ ‎【分析】分别求出n＝k时左边的式子，n＝k+1时左边的式子，用n＝k+1时左边的式子，除以n＝k时左边的式子，即得所求．‎ 解：当n＝k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）＝（k+1）（k+2）…（2k），‎ 当n＝k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），‎ 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ‎(2k+1)(2k+2)‎‎(k+1)‎‎=‎2（2k+1），‎ 故答案为 2（2k+1）．‎ ‎15．若函数f（x）＝x2ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围是　（0，‎4‎e‎2‎）　．‎ ‎【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数f（x）＝x2ex﹣a恰有三个零点，即可求实数a的取值范围．‎ 解：函数f（x）＝x2ex的导数为y′＝2xex+x2ex＝xex （x+2），‎ 令y′＝0，则x＝0或﹣2，‎ ‎﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴0或﹣2是函数f（x）的极值点，函数的极值为：f（0）＝0，f（﹣2）＝4e﹣2‎=‎‎4‎e‎2‎．‎ 函数f（x）＝x2ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围是：（0，‎4‎e‎2‎）．‎ 故答案为：（0，‎4‎e‎2‎）．‎ ‎16．已知多项式（2x2+3x+1）（x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2＝　﹣16　．‎ ‎【分析】令x＝0求得a0；令x＝﹣1求得a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0，再根据a1为展开式中x的系数，相结合即可求得结论．‎ 解：因为（2x2+3x+1）（x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，‎ 所以：令x＝0可得﹣32＝a0；①‎ 令x＝﹣1可得（2﹣3+1）×（﹣1﹣2）5＝a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0；②‎ 因为a1为展开式中x的系数，所以a1＝3‎×‎‎∁‎‎5‎‎5‎•（﹣2）5+1‎×‎‎∁‎‎5‎‎4‎•（﹣2）4＝﹣16；③‎ 联立①②③可得：a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2＝a0﹣a1＝﹣16；‎ 故答案为：﹣16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数：‎ ‎（1）甲、乙两人都不跑中间两棒；‎ ‎（2）甲、乙二人不都跑中间两棒．‎ ‎【分析】（1）先排中间，再排1，4棒即可；‎ ‎（2）先求总数，再求符合条件的对立面的个数即可求解．‎ 解：（1）先选跑中间的两人有A‎4‎‎2‎‎=‎12种，‎ 再从余下的6人中选跑1、4棒的有A‎4‎‎2‎‎=‎12，‎ 则共有12×12＝144种．‎ ‎（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，‎ 所以用任意排法A‎6‎‎4‎‎=‎360，再去掉甲、乙跑中间的安排方法A‎2‎‎2‎‎⋅A‎4‎‎2‎‎=‎24种，‎ 它们的差是360﹣24＝336种．‎ ‎18．已知函数f（x）‎=‎1‎‎3‎x‎3‎-‎ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10＝0，求 ‎（1）实数a，b的值； ‎ ‎（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．‎ ‎【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出a，b．‎ ‎（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．‎ 解：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10＝0，‎ 所以切线斜率是k＝﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ 且9×1+3f（1）﹣10＝0，‎ 求得f(1)=‎‎1‎‎3‎，即点M(1，‎1‎‎3‎)----------------------‎ 又函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-ax+b，则f′（x）＝x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以依题意得f‎'‎‎(1)=1-a=-3‎f(1)=‎1‎‎3‎-a+b=‎‎1‎‎3‎‎----------------------‎ 解得a=4‎b=4‎‎----------------------‎ ‎（2）由（1）知f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-4x+4‎ 所以f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝﹣2‎ 当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜﹣2；当f′（x）＜0⇒﹣2＜x＜2‎ 所以函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2），（2，+∞）‎ 单调递减区间是（﹣2，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又x∈[0，3]‎ 所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：‎ X ‎0‎ ‎（0，2）‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ f（x）‎ ‎4‎ ‎↘‎ 极小值‎-‎‎4‎‎3‎ ‎↗‎ ‎1‎ 所以当x∈[0，3]时，f（x）max＝f（0）＝4，‎ f(x‎)‎min=f(2)=-‎4‎‎3‎----------------------‎ ‎19．已知在二项式‎(‎3‎x+‎‎1‎‎2‎‎3‎x‎)‎n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．‎ ‎（1）求正整数n的值；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（3）求展开式中系数最大的项；‎ ‎【分析】（1）由等差数列的性质列式求得n＝8；‎ ‎（2）根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项；‎ ‎（3）由C‎8‎r‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥C‎8‎r+1‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎r+1‎C‎8‎r‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥C‎8‎r-1‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎r-1‎，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项或第四项的系数最大．‎ 解：（1）二项式‎(‎3‎x+‎‎1‎‎2‎‎3‎x‎)‎n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，‎ 可得2Cn‎1‎•‎1‎‎2‎‎=Cn‎0‎+‎Cn‎2‎•‎1‎‎4‎，解得n＝1（舍去），或 n＝8；‎ ‎（2）第r+1项的二项式系数为 Tr+1‎=‎C‎8‎r，故第5项的二项式系数最大，此时，r＝4；‎ ‎（3）由C‎8‎r‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥C‎8‎r+1‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎r+1‎C‎8‎r‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥C‎8‎r-1‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎r-1‎，解得2≤r≤3．‎ ‎∴系数最大的项为第三项或第四项．‎ ‎20．已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与﹣2nan的等差中项，其中a是不等于零的常数．‎ ‎（1）求a1，a2，a3；‎ ‎（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎【分析】（1）通过n＝1，2，3，利用Sn＝a﹣nan，求出a1，a2，a3的值即可．‎ ‎（2）根据（1）数列前3项的数值特征，猜想an的表达式，利用数学归纳法加验证n＝1时猜想成立，然后假设n＝k时猜想成立，证明n＝k+1时猜想也成立．‎ 解：（1）由题意Sn＝a﹣nan，…（1分）‎ 当n＝1时，S1＝a1＝a﹣a1，∴a‎1‎‎=‎a‎2‎； …‎ 当n＝2时，S2＝a1+a2＝a﹣2a2，∴a‎2‎‎=‎a‎6‎； …‎ 当n＝3时，S3＝a1+a2+a3＝a﹣3a3，∴a‎3‎‎=‎a‎12‎； …‎ ‎（2）猜想：an‎=an(n+1)‎(n∈N‎*‎)‎．…‎ 证明：①当n＝1时，由（1）可知等式成立； …‎ ‎②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时等式成立，即：ak‎=‎ak(k+1)‎，…‎ 则当n＝k+1时，ak+1＝Sk+1﹣Sk＝a﹣（k+1）ak+1﹣（a﹣kak），‎ ‎∴‎(k+2)ak+1‎=kak=‎a‎(k+1)‎，∴ak+1‎‎=a‎(k+1)(k+2)‎=‎a‎(k+1)[(k+1)+1]‎，‎ 即n＝k+1时等式也成立．…‎ 综合①②知：an‎=‎an(n+1)‎对任意n∈N*均成立．…‎ ‎21．已知函数f（x）＝xex﹣ln（x+l）﹣x．‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）证明：函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，求出直线的斜率，求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的定义域，记g（x）＝ex（x+1）2﹣x﹣2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．‎ 解：（1）当x＝0时，f（0）＝0，‎ 由f（x）＝xex﹣ln（x+1）﹣x，‎ 得f′（x）＝ex（x+1）‎-‎1‎x+1‎-‎1，‎ 故斜率k＝f′（0）＝﹣1，‎ 故切线方程是：y＝﹣x；‎ ‎（2）由题意可知，函数的定义域是（﹣1，+∞），‎ 由（1）知，f′（x）‎=‎ex‎(x+1)‎‎2‎‎-x-2‎x+1‎，‎ 记g（x）＝ex（x+1）2﹣x﹣2，‎ 故g′（x）＝ex（x2+4x+3）﹣1，‎ 易知x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，‎ 故g（x）在区间（0，+∞）递增，‎ 故g（x）＞g（0）＝﹣1，‎ ‎∵g（1）＝4e﹣3＞0，‎ 故在区间（0，1）内必存在ξ，使得g（ξ）＝0，‎ 故当x∈（0，ξ）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，‎ 故f（x）递减，‎ 当x∈（ξ，1）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，‎ 故f（x）递增，‎ 故当x＝ξ时，f（x）有最小值且为f（ξ），‎ ‎∵f（0）＝0，‎ ‎∴f（ξ）＜f（0）＝0，‎ 而f（1）＝e﹣ln2﹣1＞0，‎ 故在区间（ξ，1）内存在唯一零点，‎ 故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点．‎ ‎22．已知函数f（x）＝mlnx‎+‎1‎‎2‎x‎2‎-‎2x，m∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）问题可化为a‎≤x‎1‎‎(2‎-x‎1‎)lnx‎1‎+‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎-‎‎2x‎1‎‎2‎‎-x‎1‎=‎x1lnx1+1‎-‎‎1‎‎2‎x1‎-‎‎2‎‎2‎‎-x‎1‎恒成立，令g（x）＝xlnx+1‎-‎‎1‎‎2‎x‎-‎‎2‎‎2-x，x∈（0，1），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．‎ 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）‎=mx+‎x﹣2‎=‎x‎2‎‎-2x+mx，‎ 令f′（x）＝0，得x2﹣2x+m＝0，△＝4（1﹣m），‎ ‎①m≥1时，△≤0，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）递增，‎ ‎②m＜1时，△＞0，方程x2﹣2x+m＝0的根是x1＝1‎-‎‎1-m，x2＝1‎+‎‎1-m，‎ m≤0时，由f′（x）＞0以及x＞0得x＞x2，f（x）在（1‎+‎‎1-m，+∞）递增，‎ ‎0＜m＜1时，由f′（x）＞0以及x＞0得0＜x＜x1或x＞x2时，f（x）递增；‎ 综上，m≥1时，f（x）在（0，+∞）递增，‎ ‎0＜m＜1时，f（x）在（0，1‎-‎‎1-m），（1‎+‎‎1-m，+∞）递增，‎ m≤0时，f（x）在（1‎+‎‎1-m，+∞）递增；‎ ‎（2）由（1）知f（x）有2个极值点x1，x2（x1＜x2）时，‎ 则方程x2﹣2x+m＝0有2个不等的正实数根，‎ 则‎△=4(1-m)＞0‎x‎1‎‎+x‎2‎‎=2‎x‎1‎x‎2‎‎=m＞0‎，‎ ‎∴m＝x1（2﹣x1），0＜x1＜1，1＜x2＜2，‎ 此时f（x）﹣ax2≥0恒成立，‎ 等价于x1（2﹣x1）lnx1‎+‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎-‎2x1﹣a（2﹣x1）≥0对x1∈（0，1）恒成立，‎ 可化为a‎≤x‎1‎‎(2‎-x‎1‎)lnx‎1‎+‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎-‎‎2x‎1‎‎2‎‎-x‎1‎=‎x1lnx1+1‎-‎‎1‎‎2‎x1‎-‎‎2‎‎2‎‎-x‎1‎恒成立，‎ 令g（x）＝xlnx+1‎-‎‎1‎‎2‎x‎-‎‎2‎‎2-x，x∈（0，1），‎ 则g′（x）＝1+lnx‎-‎1‎‎2‎-‎2‎‎(2-x)‎‎2‎=‎lnx‎+‎x(x-4)‎‎2(2-x)‎‎2‎，‎ ‎∵x∈（0，1），∴lnx＜0，x（x﹣4）＜0，‎ ‎∴g′（x）＜0在（0，1）恒成立，‎ ‎∴g（x）在（0，1）上单调递减，‎ ‎∴g（x）＞g（1）‎=-‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴a‎≤-‎‎3‎‎2‎，‎ 故实数a的取值范围是（﹣∞，‎-‎‎3‎‎2‎]．‎ ‎ ‎