- 2021-06-15 发布 |
- 37.5 KB |
- 17页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
天津市第八中学2021届高三上学期第三次统练数学试卷 Word版含解析
- 1 - 2020—2021学年第一学期高三年级数学学科第三次统练 一､选择题((本大题共 10小题，共 50.0分)) 1. 在 ABC 中，若 2 2 sin cos cos sin a A B b A B ，则 ABC 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件，结合正弦定理得 sin 2 sin 2A B ，有 A B 或 2 A B ，即可知正确选项. 【详解】由 2 2 sin cos cos sin a A B b A B 知： 2 2 sin cossin sin cos sin A B A A B B ，即 sin cos sin cosA A B B ， ∴ sin 2 sin 2A B ，即 2 2A B 或 2 2A B ， ∴ A B 或 2 A B ， 故选：D 2. 在△ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，若 2 6 3 b c a A ， ， ，则△ABC 的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理可得b、 c的值，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由余弦定理可得 2 2 2 2 2 212 cos 4 2 2 3 2 a b c bc A c c c c c ， 所以 23 6c ，所以 2c ， 2 2 2b c ， 所以 ABC 的面积为 1 1 3sin 2 2 2 3 2 2 2ABCS bc A △ . 故选：D. - 2 - 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 已知 tan 3 ，则 2 1cos sin 2 2 （ ） A. 2 5 B. 2 5 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 用正弦的二倍角公式变形化化为关于 sin ,cos 二次齐次式，然后化为 tan 再代入求值． 【详解】∵ tan 3 ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin cos 1 tan 1 3 2cos sin 2 cos sin cos 2 sin cos tan 1 3 1 5 ． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的求值，对于 sin ,cos 的齐次式一般可转化为关于 tan 的式子，然后计算．如一次齐次式： sin cos( ) sin cos a bf c d ，二次齐次式： 2 2 2 2 sin sin cos cos( ) sin sin cos cos a b cf d e f ， 另外二次式 2 2( ) sin sin cos cosf a b c 也可化为二次齐次式： 2 2 2 2 sin sin cos cos( ) sin cos a b cf ． 4. 函数 ( ) 4sin ( 0) 3 f x x 的最小正周期是3 ，则其图象向左平移 6 个单位长度 后得到的函数的一条对称轴是（ ） A. 4 x B. 3 x C. 5 6 x D. 19 12 x 【答案】D 【解析】 【分析】 - 3 - 由三角函数的周期可得 2 3 ，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为 2 44sin 3 9 y x ，再求其对称轴方程即可. 【 详 解 】 解 ： 函 数 ( ) 4sin ( 0) 3 f x x 的 最 小 正 周 期 是 3 ， 则 函 数 2( ) 4sin 3 3 f x x ， 经 过 平 移 后 得 到 函 数 解 析 式 为 2 2 44sin 4sin 3 6 3 3 9 y x x ，由 2 4 ( ) 3 9 2 x k k Z ， 得 3 ( ) 2 12 x k k Z ，当 1k 时， 19 12 x . 故选 D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 5. 函数 1lg 2f x x x 的零点所在区间为（ ） A. ( )0,1 B. 3, C. 2,3 D. ( )1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数解析式判断其定义域及其连续性，应用特殊值法 (1) 0f ， (2) 0f 的值即可知零点 所在区间. 【详解】由解析式知：函数定义域为 0x ，且 ( )f x 在定义域内连续， 而 (1) 1 lg1 2 1 0f ， 1(2) 2 lg 2 lg 2 0 2 f ， ∴ ( )f x 零点所在区间为( )1,2 ， 故选：D 6. 函数 2ln xy x 的图象大致是（ ） - 4 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数解析式，函数为奇函数且存在零点，即可知大致图象. 【详解】由 2 2ln( ) lnx x x x 知：函数为奇函数，排除 A、B； 令 2ln 0xy x ，得 1x ，即函数存在零点，排除 C； 故选：D 【点睛】关键点点睛：由函数解析式判断其奇偶性，令 0y 确定是否存在零点，便可确定函 数的大致图象. 7. 已知函数 3 22f x x x ， 1 3,x ，则下列说法不正确．．．的是（ ） A. 最大值为9 B. 最小值为 3 C. 函数 f x 在区间 1,3 上单调递增 D. 0x 是它的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数分析函数 y f x 在区间 1,3 上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判 断各选项的正误. - 5 - 【详解】 3 22f x x x ，则 23 4 3 4f x x x x x . 令 0f x ，可得 0x 或 4 3 x ；令 0f x ，可得 40 3 x . 当 1 3,x 时，函数 y f x 在区间 1,0 , 4 ,3 3 上均为增函数， 在区间 40, 3 上为减函数，C 选项错误； 所以 0x 是函数 y f x 的极大值点，D 选项正确； 因为 0 0f ， 3 27 2 9 9f ， 1 1 2 1 3f ， 4 64 16 322 3 27 9 27 f ， 所以，函数 y f x 在区间 1,3 上的最大值为9， 最小值为 3 ，A、B 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考 查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8. 曲线 3 1y x 在点 ( 1,0) 处的切线方程为（ ） A. 3 3 0x y B. 3 3 0x y C. 3 0x y D. 3 3 0x y 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： 2' 3y x , 2 1' | 3 1 3xy . 由导数的几何意义可得所求切线的斜率 3k , 所以所求切线方程为 3 1y x ,即3 3 0x y .故 D 正确. 考点：导数的几何意义. - 6 - 9. 已知 f（x） 21 4 x cosx， ( )f x 为 f（x）的导函数，则 ( )f x 的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出导函数，利用导函数的解析式，判断函数的奇偶性，再应用特殊点的函数值来判断函数 的图象． 【详解】解： 21( ) cos 4 f x x x ， ' 1 sin 2 f x x x ， ( )f x 是奇函数，排除 B，D． 当 x 4 时， 2( ) 8 2 f x 0，排除 C． 故选：A 【点睛】本题考查了函数求导，考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合 运用，属于中档题. 10. 若函数 lnf x kx x 在区间 1, 上单调递增，则实数 k的取值范围是（ ） A. , 2 B. , 1 C. 2, D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： ，∵函数 lnf x kx x 在区间 1, 单调递增， ∴ 在区间 1, 上恒成立．∴ ，而 在区间 1, 上单调递减， ∴ ．∴ 的取值范围是 1, ．故选 D． 考点：利用导数研究函数的单调性. - 7 - 二､填空题(本大题共 6小题，共 30.0分) 11. 曲线 2e 2 1xy x x 在点（0,1）处的切线方程为________. 【答案】 1y x 【解析】 【分析】 求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程． 【详解】解：求导函数可得，y′＝（1+x）ex 4x 当 x＝0 时，y′＝1 ∴曲线 22 1xy xe x 在点（0，1）处的切线方程为 y﹣1＝x，即 1y x ． 故答案为 1y x ． 【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题 12. 在 ABC 中， 2AB ， 3BC ， 60B ，则 AC __． 【答案】 7 【解析】 【分析】 运用三角形的余弦定理 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B ，代入计算可得所求值． 【详解】解：在 ABC 中， 2AB ， 3BC ， 60B ， 由余弦定理可得 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B 14 9 2 2 3 7 2 ， 解得 7AC ， 故答案为： 7 ． 【点评】本题考查三角形的余弦定理的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题. 13. 已知 sin cos 2 ，则 sin cos ________. 【答案】0 【解析】 - 8 - 【分析】 将已知等式两边平方，得到 2sinαcosα的值，将 sinα+cosα平方整理可得结果. 【详解】将sin cos 2 两边平方得：（sinα-cosα）2＝2，即 1-2sinαcosα＝2， ∴2sinαcosα＝-1， ∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝0，即 sinα+cosα＝0， 故答案为 0． 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，属于基础题． 14. 若点 (cos ,sin )P 在直线 2y x 上，则 cos(2 ) 2 的值等于______________ . 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 根据题意可得 sin 2cos ，再由 2 2sin cos 1 ，即可得到结论. 【详解】由题意，得sin 2cos ，又 2 2sin cos 1 ，解得 5cos 5 ， 当 5cos 5 时，则 2 5sin 5 ， 此时 5 2 5 4cos 2 sin 2 2 2 5 5 5 ； 当 5cos 5 时，则 2 5sin 5 ， 此时 5 2 5 4cos 2 sin 2 2 2 5 5 5 ， 综上， 4cos 2 2 5 . 故答案为： 4 5 . 【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题 . 15. 若 3cos 4 5 ， 12sin 4 13 ， 3, 4 4 ， 0, 4 ，则 cos 等 - 9 - 于___________. 【答案】 33 65 【解析】 【分析】 已知角的范围及对应函数值求 sin 4 ， cos 4 ，根据 ( ) 4 4 ， 应用两角差余弦公式即可求 cos . 【详解】由 3, 4 4 ， 0, 4 知： ,0 4 2 ， , 4 4 2 ， 又∵ 3cos 4 5 ， 12sin 4 13 ， ∴ 4sin 4 5 ， 5cos 4 13 ， 而 ( ) 4 4 ， ∴ 33cos cos cos sin sin 4 4 4 4 65 ， 故答案为： 33 65 16. 已知函数 sin ( 0, 0, ) 2 f x A x A 的部分图象如图所示：则函数 f x 的解析式为______． 【答案】 2sin 8 4 f x x 【解析】 【分析】 由函数图象的最值和周期可得 A 和，然后将点 2, 2 代入解析式，利用的范围即可得到 - 10 - 值，从而得到函数解析式． 【详解】由图象得到 f x 的最大值为 2 ，周期为 16，且过点 2, 2 所以 2A ， 又 2 16T ， 所以 8 ， 将点 2, 2 代入 f x ， 2 ． 得到 4 ， 所以 2sin 8 4 f x x 故答案为 2sin 8 4 f x x ： ． 【点睛】本题考查由 siny A x 的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考 查计算能力，属于常考题型． 三､解答题((本大题共 6小题，共 70.0分)) 17. 在 ABC 中， , ,a b c分别是三个内角 , ,A B C的对边，若 3, 4, 2b c C B ，且 a b¹ . （1）求 cosB及 a的值； （2）求 cos 2 3 B 的值. 【答案】（1） 2cos 3 B ， 7 3 a ;（2） 1 4 15 18 . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理可得 3 4 sin sin 2B B ，再利用二倍角的正弦公式可得 2cos 3 B ，从而根据 余弦定理可得 7 3 a ； （2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得 sin 2 ,cos 2B B的值，再由两角和的余 弦公式可得结果. - 11 - 【详解】（1）在 ABC 中，由正弦定理 sin sin sin b a c B A C ， 得 3 4 sin sinB C ， 2C B ， 3 4 sin sin 2B B ，即 3 4 sin 2sin cosB B B ， 解得 2cos 3 B ， 在 ABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ， 得 2 16 7 0 3 a a ，解得 3a 或 7 3 a ． a b¹ ， 7 3 a ． （2） 2 5cos ,sin 3 3 B B ， 4 1cos 2 2 1 9 9 B ， 2 5 4 5sin 2 2 3 3 9 B ， 1 1 4 5 3cos 2 3 2 9 9 2 B 1 4 15 18 . 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解 三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角 （一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证 明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 18. 已知函数 2( ) ( ) xf x x ax b e （ e为自然对数的底数， 2.71828e ），曲线 ( )y f x 在 0x 处的切线方程为 2 1y x . （1）求实数 ,a b的值； （2）求函数 ( )f x 在区间[ 2,3] 上的最大值. 【答案】（1） 3a , 1b （2） 3 max( )f x e - 12 - 【解析】 试题分析：（1）根据导数的几何意义 0 1be ， ' 0 2f ，解出方程即可；（2）对函数 2 3 1 xf x x x e 求导，研究函数的单调性，进而得到函数的最值． 解析： （1）∵ 2 xf x x ax b e 在 0x 处的切线方程为 2 1y x ， ∴ f x 过 0,1 点，∴ 0 1, 1be b ， ∴ 2 1 xf x x ax e . 又 2' 2 1 xf x x a x a e ，∴ ' 0 2f 即 1 2, 3a a （2）由（1）知 2 3 1 xf x x x e ， 2' 2 2 1x xf x x x e x x e 由 ' 0f x 得 2x 或 1x ，又 2,3x ∴由 ' 0f x 得 2 3x 或 2 1x ， 由 ' 0f x 得 1 2x ， ∴ f x 在 2, 1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增， ∴ f x 极大值 51f e . 又 33f e ，∴ 3 max 3f x f e . 19. 函数 π πsin 0 0 2 2 ， ，f x A x A 的部分图象如图所示. （1）求函数 ( )f x 的解析式； - 13 - （2）若 2 6( ) 3 f x ，且 3 2 4 x ，求 cos 2x . 【答案】（1） ( ) 2sin 2 3 f x x （2） 3 3 2 6 【解析】 【分析】 （1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式. （2）利用两角和与差公式求解. 【详解】解：（1）由图像可知 2, 2A ,则 ( ) 2sin(2 )f x x ，代入点 5 , 2 12 ， 得 5 2 , 6 2 k k Z ，得 2 , 3 k k Z ，由 π π 2 2 ， 得 3 ，故 ( ) 2sin 2 3 f x x . （2）由题意知 ( ) 2sin 2 3 f x x 2 6 3 ,得 sin 2 3 x 6 3 ， 由 3 2 4 x ，则 2 72 3 3 6 x ，则 cos 2 3 x 3 3 ， cos 2 cos 2 3 3 x x 1 3cos 2 sin 2 2 3 2 3 x x 3 3 2 6 . 【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换 技巧. 20. 已知函数 ( ) 2( 3 cos sin )sinf x x x x , xR . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最大正周期与单调增区间值; （Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间 π[0, ] 4 上的最大值与最小值. 【答案】（Ⅰ）最小正周期是: πT , π π[ π , π ]( ) 3 6 k k k Z ；（Ⅱ）最小值为 0，最大值为 1. 【解析】 - 14 - 试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 f x π2sin 2 1 6 x ， 故而可得周期，解不等式 π π π2 π 2 2 π , 2 6 2 k x k k Z 可得单调增区间；（Ⅱ）根据 x的 范围，计算出 π2 6 x 的范围，结合正弦函数的性质可得其最值. 试题解析：（Ⅰ） 22 3sin cos 2sinf x x x x 3sin2 cos2 1x x 3 12 sin2 cos2 ) 1 2 2 x x （ π2sin 2 1 6 x f x 的最小正周期是: 2π π 2 T , 令 π π π2 π 2 2 π , 2 6 2 k x k k Z 得, π ππ π , 3 6 k x k k Z , 所以 f x 单调增区间为 π ππ , π 3 6 k k k Z ; （Ⅱ）因为 π0 4 x ,所以 π π 2π2 6 6 3 x , 所以 1 π2sin 2 1 2 6 x ,即 π0 2sin 2 1 1 6 x , 所以 0 1f x , 当且仅当 0x 时, f x 取最小值, min 0 0f x f , 当且仅当 π π2 + 6 2 x 时,即 π 6 x 时 f x 取最大值, max π 1 6 f x f . 21. 已知函数 ln af x x x ，其中 Ra ， （1）当 2a 时，求函数 f x 的图象在点 1, 1f 处的切线方程； （2）如果对于任意 1, x ，都有 2f x x ，求 a的取值范围． 【答案】（1）3 5 0x y ；（2） 1a ． 【解析】 【分析】 （1）当 2a 时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数 f x 的图象在点 1, 1f - 15 - 处的切线方程； （2）对于任意 1, x ，都有 2f x x ，等价于 2ln 2a x x x x 恒成立，构造 函数 2ln 2g x x x x x ，利用导数求出其最小值即可 【详解】(1)解：当 2a 时，由己知得 2lnf x x x ，故 2 1 2f x x x ， 所以 1 1 2 3f ，又因为 21 ln1 2 1 f ，所以函数 f x 的图象在点 1, 1f 处 的切线方程为 2 3 1y x ，即3 5 0x y ； （2）解：由 2f x x ，得 ln 2ax x x ，又 1, x ， 故 2ln 2a x x x x ． 设函数 2ln 2g x x x x x ， 则 1ln 2 2 ln 2 1g x x x x x x x ． 因为 1, x ，所以 ln 0x ， 2 1 0x - > ， 所以当 1, x 时， ln 2 1 0g x x x ， 故函数 g x 在( )1,+¥ 上单调递增． 所以当 1, x 时， 1 1 ln1 1 2 1 1g x g ． 因为对于任意 1, x ，都有 2f x x 成立， 所以对于任意 1, x ，都有 a g x 成立．所以 1a ． 【点睛】此题考查导数的应用，考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，将不等式恒成 立转化为求函数的最值是解此题的关键，属于中档题 22. 已知函数 2( ) 2( 1) 2 ln ( 0)f x x a x a x a （1）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）求 ( )f x 的单调区间； （3）若 ( ) 0f x 在区间[1,e]上恒成立，求实数 a 的取值范围． - 16 - 【答案】（1）切线方程为 3y . （2）当0 1a 时， ( )f x 的单调增区间是 (0, )a 和 (1, ) ，单调减区间是 ( ,1)a ； 当 1a 时， ( )f x 的单调增区间是 (0, ) ； 当 1a 时， ( )f x 的单调增区间是 (0,1)和 ( , )a ，单调减区间是 (1, )a . （3） 2e 2e 2e 2 a . 【解析】 试题分析：（1）求出 a=1 时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2） 对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区间端点的位置 关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性；（3）恒成立问题常转化为最值计 算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以只需令 区间端点对应的函数值小于等于零求解即可． 试题解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx， ∴f ′（x）＝ （x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为 y＝－3． （2）f ′（x）＝ （x>0）， 令 f ′（x）＝0 得 x1＝a，x2＝1， 当 0查看更多