【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版3-1导数的概念及运算作业

【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版3-1导数的概念及运算作业

第一节　导数的概念及运算 ‎1.已知函数f(x)=‎1‎xcos x,则f(π)+f 'π‎2‎=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎3‎π‎2‎ B.-‎1‎π‎2‎ C.-‎3‎π D.-‎‎1‎π 答案　C　∵f '(x)=-‎1‎x‎2‎cos x+‎1‎x(-sin x), f(π)=-‎1‎π,‎ ‎∴f(π)+f 'π‎2‎=-‎1‎π+‎2‎π×(-1)=-‎3‎π.‎ ‎2.曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)‎ A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0‎ C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0‎ 答案　C　因为y=sin x+ex,‎ 所以y'=cos x+ex,‎ 所以y'|x=0=cos 0+e0=2,‎ 所以曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.‎ ‎3.(2019湖北宜昌模拟)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f '(x),且f '(2)=2,则实数a的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.1‎ 答案　B　由f(x)=ln(ax-1)可得f '(x)=aax-1‎.由f '(2)=2可得a‎2a-1‎=2,解得a=‎2‎‎3‎.故选B.‎ ‎4.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)‎ A.(1,3) B.(-1,3)‎ C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)‎ 答案　C　f '(x)=3x2-1,令f '(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.‎ ‎5.曲线g(x)=x3+‎5‎‎2‎x2+3ln x+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为(　　)‎ A.‎7‎‎2‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　B　当x=1时,g(1)=1+‎5‎‎2‎+b=‎7‎‎2‎+b,‎ 又g'(x)=3x2+5x+‎3‎x,‎ 所以切线斜率k=g'(1)=3+5+3=11,‎ 从而切线方程为y=11x-5,‎ 由于点‎1,‎7‎‎2‎+b在切线上,‎ 所以‎7‎‎2‎+b=11-5,‎ 解得b=‎5‎‎2‎.故选B.‎ ‎6.(2019山东烟台模拟)若曲线y=ex-aex(a>0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是π‎3‎‎,‎π‎2‎,则a=(　　)‎ A.‎1‎‎12‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.3‎ 答案　C　y'=ex+aex,∵y=ex-aex在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是π‎3‎‎,‎π‎2‎,∴ex+aex≥‎3‎,由a>0知,ex+aex≥2a当且仅当ex=aex时等号成立,故2a=‎3‎,故a=‎3‎‎4‎,故选C.‎ ‎7.已知曲线y=ln x的一条切线过原点,则此切线的斜率为(　　)‎ A.e B.-e C.‎1‎e D.-‎‎1‎e 答案　C　y=ln x的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则切线斜率k=y'‎|‎x=‎x‎0‎=‎1‎x‎0‎,所以切线方程为y-y0=‎1‎x‎0‎(x-x0),又切线过点(0,0),将其代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=‎1‎x‎0‎=‎1‎e.‎ ‎8.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　)‎ A.-1 B.0 C.2 D.4‎ 答案　B　由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-‎1‎‎3‎,即f '(3)=-‎1‎‎3‎.又g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+x·f '(x),所以g'(3)=f(3)+3f '(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×‎-‎‎1‎‎3‎=0.故选B.‎ ‎9.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　. ‎ 答案　-3‎ 解析　本题考查导数的综合应用.‎ 设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-3.‎ ‎10.已知f(x)=e2-x+f '(2)(ln x-x),则f '(1)=　　　　. ‎ 答案　-e 解析　因为f(x)=e2-x+f '(2)(ln x-x),‎ 所以f '(x)=-e2-x+f '(2)‎1‎x‎-1‎,‎ 令x=1,得f '(1)=-e+f '(2)‎1‎‎1‎‎-1‎=-e.‎ ‎11.若函数f(x)=ln(2x+3)‎x‎2‎‎+1‎,则f '(x)=　. ‎ 答案　‎‎2(x‎2‎+1)-2x(2x+3)ln(2x+3)‎‎(2x+3)(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎ 解析　f '(x)=‎‎[ln(2x+3)]'(x‎2‎+1)-ln(2x+3)·(x‎2‎+1)'‎‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎‎(2x+3)'‎‎2x+3‎‎·(x‎2‎+1)-2x·ln(2x+3)‎‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎2(x‎2‎+1)-2x(2x+3)ln(2x+3)‎‎(2x+3)(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎.‎ ‎12.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　. ‎ 答案　1-ln 2‎ 解析　直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=‎1‎x,由y=ln(x+1)得y'=‎1‎x+1‎,∴k=‎1‎x‎1‎=‎1‎x‎2‎‎+1‎,∴x1=‎1‎k,x2=‎1‎k-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k,即A‎1‎k‎,-lnk+2‎,B‎1‎k‎-1,-lnk,∵A,B在直线y=kx+b上,‎ ‎∴‎2-lnk=k·‎1‎k+b,‎‎-lnk=k·‎1‎k‎-1‎+b⇒‎b=1-ln2,‎k=2.‎ ‎13.已知点M是曲线y=‎1‎‎3‎x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:‎ ‎(1)斜率最小的切线方程;‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围.‎ 解析　(1)y'=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,‎ ‎∴当x=2时,y'=-1,y=‎5‎‎3‎,‎ ‎∴斜率最小的切线过点‎2,‎‎5‎‎3‎,斜率k=-1,‎ ‎∴所求切线方程为3x+3y-11=0.‎ ‎(2)由(1)得k≥-1,‎ ‎∴tan α≥-1,‎ 又∵α∈[0,π),‎ ‎∴α∈‎0,‎π‎2‎∪‎3π‎4‎‎,π.‎ 故α的取值范围为‎0,‎π‎2‎∪‎3π‎4‎‎,π.‎