高考数学复习 17-18版 第3章 第14课 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高考数学复习 17-18版 第3章 第14课 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第14课 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 线性规划 ‎√‎ ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)‎ ‎(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ ‎(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是下图中的________．(填序号)‎ 图141‎ ‎③　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域．]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．‎ 　[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．‎ 由得A.‎ 当直线z＝x＋y过点A时，zmax＝1＋＝.]‎ ‎4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．‎ ‎1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，‎ 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，‎ 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，‎ 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，‎ ‎∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]‎ ‎5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎　(1)(2016·浙江高考改编)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是________．‎ ‎(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．‎ ‎(1)　(2)[5,7)　[(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B 点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝.‎ ‎(2)如图，‎ 当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件．]‎ ‎[规律方法]　1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．‎ ‎2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．‎ ‎[变式训练1]　不等式组表示的平面区域的面积为__________. 【导学号：62172079】‎ ‎4　[不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．‎ 由得 ‎∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．‎ 直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．‎ 因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.]‎ 简单的线性规划问题 角度1　求线性目标函数的最值 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．‎ ‎(2)已知实数x，y满足且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．‎ ‎(1)－5　(2)3　[ (1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．‎ 由z＝x－2y得y＝x－z.‎ 平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.‎ ‎(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]‎ 角度2　求非线性目标函数的最值 ‎　(1)(2016·江苏高考)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．‎ ‎(2)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是__________. 【导学号：62172080】‎ ‎(1)　(2)　[‎ 根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由可得A(2,3)，‎ 所以dmax＝＝，dmin＝＝，所以d2的最小值为，最大值为13，所以x2＋y2的取值范围是.‎ ‎(2)作出不等式组所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，‎ 其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.]‎ 角度3　线性规划中的参数问题 ‎　已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是________．‎ ‎1　[作出可行域，如图所示的阴影部分．‎ ‎∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m ‎＝1，解得m＝1.]‎ ‎[规律方法]　1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎2．常见的目标函数有：‎ ‎(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.‎ ‎(3)斜率型：形如z＝.‎ 易错警示：注意转化的等价性及几何意义．‎ 线性规划的实际应用 ‎　(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ ‎　　原料 肥料　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．‎ ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组得点M的坐标为(20,24)，‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．‎ ‎[规律方法]　1.解线性规划应用题的步骤 ‎(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；‎ ‎(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；‎ ‎(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．‎ ‎2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．‎ ‎[变式训练2]　某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：‎ 产品品种 劳动力(个)‎ 煤(吨)‎ 电(千瓦)‎ A产品 ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ B产品 ‎10‎ ‎4‎ ‎5‎ 已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？‎ ‎[解]　‎ 设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得 目标函数为z＝7x＋12y.‎ 作出可行域，如图阴影所示．‎ 当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M时z取最大值．‎ 解方程组得 因此，点M的坐标为(20,24)，‎ ‎∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．‎ ‎(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．‎ ‎(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．‎ ‎2．利用线性规划求最值的步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．‎ ‎2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－x＋的截距的最值间接求出z的最值，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．‎ 课时分层训练(十四)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．‎ ‎(－7,24)　[根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，‎ 即(a＋7)(a－24)<0，解得－70)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：62172083】‎ 　[画出x，y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，‎ ‎∴a>.]‎ ‎12．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．‎ ‎21　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．‎ 由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设变量x，y满足约束条件则z＝2x－2y的最小值为________．‎ 　[设m＝x－2y，则y＝x－，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y＝x－，由图可知当直线y＝x－过点A时，直线y＝x－的截距最大，此时m最小，由解得即A(2,2)，此时m最小，为2－2×2＝－2，则z＝2x－2y的最小值为2－2＝.]‎ ‎2．已知点A(2，－2)，点P(x，y)在所表示的平面区域内，则在方向上投影的取值范围是________．‎ 　[不等式组表示的平面区域，如图所示．由向量投影的几何意义知，当点P与点D重合时投影最大，当点P与点B或点C重合时投影最小．‎ 又C(－1,0)，D(0，－1)，‎ ‎∴＝(－1,0)，‎ ＝(0，－1)，‎ ‎∴在方向上的投影为＝，‎ 在方向上的投影为＝－，‎ 故在方向上投影的取值范围是.]‎ ‎3．(2017·盐城三模)已知实数x，y满足约束条件则的最大值为________．‎ 　[画出不等式表示的可行域，如图所示．‎ 又表示点P与可行域内的点连线的斜率，显然kAP≤≤k PC.又kPC＝＝，‎ ‎∴的最大值为.]‎ ‎4．设实数x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．‎ 　[因为a>0，b>0，‎ 所以由可行域得，如图，‎ 当目标函数过点(4,6)时，z取最大值，‎ ‎∴4a＋6b＝10.‎ a2＋b2的几何意义是直线‎4a＋6b＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线‎4a＋6b＝10距离的平方，则a2＋b2的最小值是.]‎ ‎5．(2017·南京模拟)已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为________．‎ ‎2　[作出可行域如图所示．‎ 由图可知，当直线3x－4y－13＝0的平行线经过可行域中的点A(1,0)时，可行域中的点距直线3x－4y－13＝0的距离最小，为d＝＝2.]‎ ‎6．(2017·苏州模拟)已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则k＝________.‎ ‎－6　[画出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示．‎ 联立得 即A.‎ 因此，目标函数z＝x＋3y在点A处取得最大值，‎ 所以－＋3×＝8，所以k＝－6.]‎