湖北省荆州市荆州中学2018届普通高等学校招生全国统一考试文科数学（解析版）

湖北省荆州市荆州中学2018届普通高等学校招生全国统一考试文科数学（解析版）

‎2018普通高等学校招生全国统一考试荆州中学卷文科数学 一．选择题：(四个选项你都找不到对的选项，还想在十几亿人中找到对的人......)‎ ‎1.三年前大家在荆中“集合”，今天终于学有所成，长大成人，老师们高兴啊！那么满足 的集合的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用子集和真子集的概念找出集合 ‎【详解】根据子集和真子集的定义，满足 的集合可以是：、、共个，‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了子集和真子集的概念，结合题目即可找出满足要求的集合，较为基础。‎ ‎2.读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数除法法则运算得到结果 ‎【详解】由题意得，‎ 在复平面内对应的点为在第一象限，‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案 ‎3.周而复始，踏着朝霞当思如何学习，踏着晚霞当思是否进步？已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则 A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数是定义在上的周期为的奇函数，可得，由题意满足，，可以求出，再根据函数的周期性求出，即可求得结果 ‎【详解】函数是定义在上的周期为的奇函数，‎ ‎，则 则 故选 ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的性质和应用，以及函数的周期性问题，运用函数的性质来解题，属于基础题 ‎4.题目略长，不要彷徨，套路不深，何必当真.荆州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析总的基本事件数和“甲、乙两人同时被安排到展区”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式进行求解 ‎【详解】随机安排人到展区，另人到展区维持秩序，有种不同的方法 其中甲、乙两人同时被安排到展区，有种不同的方法 则由古典概型的概率公式，‎ 得甲、乙两人同时被安排到展区的概率为 故选 ‎【点睛】本题考查了组合应用题，古典概型等知识，意在考查学生的数学分析能力，属于基础题。‎ ‎5.已知等差数列的前项和为．若，，则 A. 35 B. 42 C. 49 D. 63‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用等差数列的性质，、、依然等差数列来求解 ‎【详解】已知数列为等差数列，则其前项和性质有、、也是等差，‎ 由题意得，，‎ 则，，‎ 故选 ‎【点睛】本题在解答时运用了等差数列前项和的性质，在运用性质时注意下标数字、、，本题也可以转化为和的方程来求解。‎ ‎6.已知实数满足则的最大值为 A. 1 B. 11 C. 13 D. 17‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出可行域，然后求解目标函数的最大值 ‎【详解】如图：画出可行域，令，则，‎ 作出平行线，当即时取得最大值，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是简单线性规划，其解题步骤：先画出可行域，然后改写目标函数，画出平行线，找出最值交点，求出结果，本题考查了学生数形结合思想，属于基础题 ‎7.我每天带给你惊喜和希望，思念就像正弦余弦曲线无尽延展......为了得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据诱导公式化简，再由左加右减，上加下减的原则确定平移的方向和单位即可得到答案 ‎【详解】‎ 要得到函数的图象只需要将函数的图象向左平移个单位长度 故选 ‎【点睛】本题主要考查的是函数的图像变换，掌握左加右减，上加下减的原则确定平移的方向和单位是解题的关键 ‎8.学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远……．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合流程图运行程序确定输出的值即可.‎ ‎【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：，，‎ 此时满足，执行；‎ 此时满足，执行；‎ 此时满足，执行；‎ 此时不满足，输出的值为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎9.假如生活欺骗了你，不要悲伤，不要心急，应该冷静下来，仔细观察：如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由两部分组成，左边是底面半径与高都是的四分之一圆柱，右边是底面是棱长为的正方形，高为的四棱锥，从而得到结果 ‎【详解】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由两部分组成，左边是四分之一圆柱 圆柱底面半径为，高为，则体积为 右边是四棱锥，四棱锥的底面是棱长为的正方形，高为 则体积为 故这个几何体的体积为 故选 ‎【点睛】本题利用空间几何体的三视图考查了学生的空间想象能力和抽象思维能力，有一定的难度。观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键。‎ ‎10.遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在定义域内给出函数的奇偶性和单调性来给出大致图像 ‎【详解】由，其定义域为，即，，则函数为奇函数，故排除、，‎ ‎，则函数在定义域内单调递减，排除，‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了具体函数的图像，其方法需要用到函数的奇偶性和单调性来进行判定大致图像，不要漏掉定义域。‎ ‎11.包着你的是世界，你心中装的是天下！在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直三棱柱补成长方体，其体对角线为外接球的直径，外接球与内切球的表面积之比等于半径之比的平方 ‎【详解】将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线长为，‎ 外接球的半径为，内切球的半径为，‎ 则其外接球与内切球的表面积之比为，‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了立体几何中的几何体内切球和外接球问题，求出其半径是本题的关键，在求解过程中适当对几何体进行扩充，使得外接球的半径较为简单。‎ ‎12.又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得直线恒过定点且为圆的圆心，由可得圆的圆心为、两点中点，设而不求，用点差法计算结果 ‎【详解】直线：，即 直线恒过定点 直线过圆的圆心 ‎，‎ 的圆心为、两点中点 设，‎ 上下相减可得：‎ 化简可得 故选 ‎【点睛】本题较为综合，考查了直线与圆锥曲线的交点问题，覆盖的知识点较多：直线恒过定点，向量的几何意义，设而不求，点差法计算，椭圆离心率的求解，有一定难度，需要理解题意，灵活运用解题方法 二．填空题：（确认过眼神，你是不是会做题的人......）‎ ‎13.零向量可以有很多方向，但却只有一个长度，就像我，可以有很多朋友，但却只有你一个值得守护！已知 ， ，若，则与的夹角为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可以求出，然后根据垂直向量的关系可得，求出的值，设与的夹角为，根据以及的取值范围求出结果 ‎【详解】，‎ 即，解得 则 ‎，‎ 设与的夹角为，‎ ‎，‎ 故答案为 ‎【点睛】根据向量夹角的公式即可计算出夹角，还考查了向量垂直的运用，较为基础 ‎14.希望大家的心是一个圆，离心率永远为零，而不是像双曲线那样......已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的渐近线方程推出关系，再根据焦点坐标，求解即可得到双曲线方程 ‎【详解】双曲线的渐近线方程为 可得，‎ 解得 双曲线的方程为 ‎【点睛】利用双曲线的概念求出双曲线的方程，结合渐近线方程联立得到方程组解得、，较为基础 ‎15.不为别的，只为与你拥有一点共同的语言.函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当时的解析式，然后再求出切线方程 ‎【详解】函数是定义在上的奇函数 当时，‎ 当时，，‎ 则当时，‎ ‎，‎ 即切线方程为，‎ 即 故答案为 ‎【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可 ‎16.真的好想你，在每一个雨季你选择遗忘的，是数学老师最不舍的题短情长，又要考你求导啦！若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设切点，再利用切点来寻找切线斜率的关系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 ‎【详解】设与和的切点分别为：，‎ 由导数几何意义得：，‎ 切线方程为：‎ 即 或，即 解得，或 即或 故答案为或 ‎【点睛】本题主要考查的是导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，属于中档题，设出切点坐标，给出不同的切线方程，联立方程组求解。‎ 三．解答题（感情不是一个人的独角戏，好的感情都是相互的，别守着一颗不会开花的树，就如同别守着不会做的难题！）‎ ‎17.三角是你高一学的吧，想当初你刚入高中，那么青涩，经过军训，经过红歌会，经过运动 会，经过春游，经过无数次考试的洗礼，你已经长大了。在中，，.‎ ‎（1）求证：是直角三角形；‎ ‎（2）若点在边上，且，求．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴运用余弦定理求出长，再结合勾股定理逆定理求证 ‎⑵表示出相关角度，运用两角和的正弦公式计算，再由正弦定理算出结果 ‎【详解】（1）在中，，，，‎ 由余弦定理，得 ‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以是直角三角形．‎ ‎（2）设，则，，，‎ 所以， ‎ 在中，，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 由正弦定理得，，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算 ‎18.如果有一天我们分居异面直线的两头，那我一定穿越时空的阻隔，画条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留.如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴先证平面，继而，又，证得面，即可证得 ‎⑵分别计算出梯形面积和四个三角形面积即可得到表面积 ‎【详解】（1）证明：因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，‎ 所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1， ‎ 又因为DC∩DA1＝D，‎ 所以DE⊥平面A1DC.‎ 因为A1F⊂平面A1DC，‎ 所以DE⊥A1F.‎ 又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，‎ 所以A1F⊥平面BCDE， ‎ 又因为BE ⊂平面BCDE，‎ 所以A1F⊥BE．‎ ‎（2）解：由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB的中点，‎ 在Rt△ABC中，，则A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，‎ 则梯形BCDE的面积S1＝×(6＋3)×4＝18， ‎ 四棱锥A1—BCDE的体积为V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2， ‎ 在Rt△A1DF中，，即F是CD的中点，‎ 所以A1C＝A1D＝4， ‎ 因为DE∥BC，DE⊥平面A1DC，‎ 所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，‎ 在等腰△A1BE中，底边A1B上的高为， ‎ 所以四棱锥A1—BCDE的表面积为 S＝S1＋＋＋＋‎ ‎＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了学生的分析推理证明与逻辑思维能力，在计算表面积时分别计算出梯形和三角形的面积即可。‎ ‎19.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：‎ 维修次数 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ 记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数.‎ ‎（1）若=10，求y与x的函数解析式；‎ ‎（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；‎ ‎（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10‎ 次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？‎ ‎【答案】（1） ；（2）见解析；（3）10次.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴根据题意写出分段函数即可 ‎⑵计算出“维修次数不大于或者次”的频率，比较得结果 ‎⑶利用表格得到费用的所有可能取值及相应频率，再利用平均数公式进行求解，最后比较两个平均数即可得结论 ‎【详解】（1）‎ 即．‎ ‎（2）因为 “维修次数不大于”的频率， ‎ ‎“维修次数不大于”的频率=， ‎ 所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，则n的最小值为11． ‎ ‎（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：‎ 维修次数x ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ 费用y ‎2400‎ ‎2450‎ ‎2500‎ ‎3000‎ ‎3500‎ 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为 ‎2730（元）‎ 若每台都购买11次维修服务，则有下表：‎ 维修次数x ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ 费用y ‎2600‎ ‎2650‎ ‎2700‎ ‎2750‎ ‎3250‎ 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为 ‎2750（元）‎ 因为，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数学建模思想，变量的平均值等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本计算能力，属于基础题 ‎20.有些事，有些人会永远留在脑海，不会忘记，不会褪色．其实没什么放不下的，只是会觉得，付出了这么多时间，却始终没有被感动......已知抛物线，且，，三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦点．‎ ‎（1）求证：、、三点共线；‎ ‎（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴先根据三点坐标判定三点与抛物线的位置，再确定三点坐标，利用直线的斜率相等判定三点共线 ‎⑵设出直线方程，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，基本不等式进行求解 ‎【详解】（1）证明：由条件，可知，在抛物线上，是抛物线的焦点．‎ 所以 解得 ‎ 所以，，，‎ 所以，，所以，‎ 所以、、三点共线． ‎ ‎（2）解：由条件可知，可设，‎ 代入，得， ，解得．‎ 设，，则， ‎ 所以 ， 当且仅当，即或时，‎ ‎【点睛】⑴证明三点共线的主要方法有①转化为两直线的斜率相等，即 ‎②转化为两个向量共线⑵在研究直线与抛物线的位置关系时，往往设直线，避免讨论直线斜率不存在的情况 ‎21.你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值点； ‎ ‎（2）若，函数有两个极值点，，且，求证： .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴求导后分类讨论和两种情况 ‎⑵由⑴得,，代入消去，构造新函数，然后求导证明 ‎【详解】（1）的定义域为，， ‎ ‎①若，则，‎ 所以当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以无极值点． ‎ ‎②若，则，‎ 由得，.‎ 当的值变化时，，的值的变化情况如下：‎ 所以有极大值点，极小值点． ‎ ‎（2）由（1）及条件可知 ‎ ， ‎ 且,,即,，‎ 所以 ,‎ 记,，‎ 因为当时， ，‎ 所以在上单调递减， 因为，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的含有参量的极值情况，首先要注意分类讨论，其次在证明不等式成立时的方法是将多元化成单元问题，通过两根之和与两根之积进行消元，构造新函数，然后求导证明。‎ ‎22.在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数，且，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，常数，曲线与曲线，的异于的交点分别为，．‎ ‎（1）求曲线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若的最大值为6，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）消参得到曲线的直角坐标方程，再利用极坐标和直角坐标方程的互化公式进行求解；（2）利用极坐标方程写出的表达式，求和，利用辅助角公式进行求解．‎ 详解：（1）由得，‎ 即，所以，‎ 所以曲线的极坐标方程为．‎ 曲线的极坐标方程为 ‎ ‎（2）由条件，有，， ‎ 所以 ，‎ 其中，． ‎ 因为，所以，‎ 所以当时，． ‎ 因为的最大值为6，所以，‎ 又，所以．‎ 点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的转化等知识，意在考查学生的转化能力和基本运算能力．‎ ‎23.设函数．‎ ‎（1）当时,求不等式的解集；‎ ‎（2）若，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，分段求最值即可．‎ 详解：（1）当时， ‎ ‎ 或或 ‎ 或或 或，‎ 所以原不等式解集为 ‎（2）因为，使得成立，所以， ‎ 因为 所以在上单调递减，在上单调递增， ‎ 所以，所以，所以，‎ 又，所以实数的取值范围．‎ 点睛：本题考查含绝对值不等式的解法、分段函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎