【数学】2018届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2018届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第3讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎ ‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件 ‎(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；‎ ‎(2)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(4)若p⇔q，则p是q的充要条件．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．‎ ‎(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．‎ ‎2．充要条件常用的三种判断方法 ‎(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．‎ ‎(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎1. “(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ B ‎2. “x>4”是“x2－2x－3>0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　B　 因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，‎ 所以x>4⇒x2－2x－3>0.‎ 但x2－2x－3>0x>4，‎ 所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．‎ ‎3．(2015·高考山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ ‎　D　 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选 D． ‎ ‎4. 命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是____________．‎ ‎ “若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”‎ ‎　四种命题的相互关系及真假判断 ‎　(1)(2017·银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　)‎ A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0‎ B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ ‎(2)命题p：“矩形的对角线相等”的逆命题为q，则p与q的真假性是(　　)‎ A．p真q假　　　　　　 B．p真q真 C．p假q真 D．p假q假 ‎【解析】　(1)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.‎ ‎(2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p真，q假．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)A 判断四种命题间关系、真假的方法 ‎(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；‎ ‎(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．　 ‎ ‎1．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是(　　)‎ A．若a＞b，则a－1≤b－1‎ B．若a＞b，则a－1＜b－1‎ C．若a≤b，则a－1≤b－1‎ D．若a＜b，则a－1＜b－1‎ ‎　C　 根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”，故选C.‎ ‎2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 ‎　C　 根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或1，故选C.‎ ‎3．下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题 ‎　B　 对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选 B．‎ ‎　充分条件、必要条件的判断(高频考点)‎ 充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．‎ 高考对充要条件的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)判断指定条件与结论之间的关系；‎ ‎(2)与命题的真假性相交汇命题．‎ ‎　(1)(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；‎ ‎②“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；‎ ‎③设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎【解析】　(1)由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．‎ ‎(2)对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此②不正确；对于③，由题意得＝＝，若B＝60°，则sin A＝，注意到b>a，故A ‎＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此③正确．综上所述，真命题的序号是①③.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)①③‎ 充要条件问题的常见类型及解题策略 ‎(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．‎ ‎(2)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．　 ‎ ‎ 角度一　判断指定条件与结论之间的关系 ‎1．(2017·合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　B　 由x2＋2x－8>0，可解得x<－4或x>2，所以“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的充分不必要条件，故选B．‎ ‎ 角度二　与命题的真假性相交汇命题 ‎2．(2017·黄冈中学月考)下列有关命题的说法正确的是(　　)‎ A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 B．p：A∩B＝A；q：AB，则p是q的充分不必要条件 C．已知数列{an}，若p：对于任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上；q：{an}为等差数列，则p是q的充要条件 D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件 ‎　D　 选项A：当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．‎ 选项B：因为A∩B＝A AB(如A＝B)，‎ 而AB⇒A∩B＝A，从而p q，q⇒p，‎ 所以p是q的必要不充分条件，故B错．‎ 选项C：因为Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上．‎ 所以an＝2n＋1(n∈N*)，‎ 则an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，‎ 又由n的任意性可知数列{an}是以公差为2的等差数列，即p⇒q.‎ 但反之则不成立，如：令an＝n，则{an}为等差数列，但点(n，n)不在直线y＝2x＋1上，从而q p.‎ 从而可知p是q的充分而不必要条件，故C错．‎ 选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x＋1)<0⇔00”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．‎ ‎ 由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.‎ 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，‎ 所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎——等价转化思想在充要条件中的应用 ‎　已知p：≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．‎ ‎【解析】　法一：由≤2，得－2≤x≤10，‎ 所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，‎ 设A＝{x|x>10或x<－2}．‎ ‎1－m≤x≤1＋m(m>0)，‎ 所以綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，‎ 设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．‎ 因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以BA，‎ 所以且不能同时取得等号．‎ 解得m≥9，所以实数m的取值范围为 由q⇒綈p且綈pq可得p⇒綈q且綈qp，所以p是綈q的充分而不必要条件．‎ ‎2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ‎　C　 法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件． ‎ 法二：(等价转化法)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y.‎ ‎ ‎ ‎1．下列命题是真命题的是(　　)‎ A．若＝，则x＝y　　　 B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2‎ ‎　A　 由＝得x＝y，A正确；由x2＝1得x＝±1，B错误；‎ 由x＝y，，不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.‎ ‎2．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是(　　)‎ A．若x≤0，则x≤1 B．若x≤0，则x＞1‎ C．若x＞0，则x≤1 D．若x＜0，则x＜1‎ ‎　A　 依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.‎ ‎3．(2017·上海模拟)原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．4‎ ‎　D　 由题意可知，否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，其为真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选 D．‎ ‎4．设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　 若N⊆M，则a2＝1或a2＝2，‎ 解得a＝±1或a＝±，‎ 所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　 若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．‎ ‎6．(2017·大连质检)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是(　　)‎ A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”‎ B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”‎ C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”‎ D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”‎ ‎　D　 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．‎ ‎7．下列命题中正确的个数是(　　)‎ ‎①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；‎ ‎②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；‎ ‎③一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.‎ A．0 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎　C　 对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f(x)＝kx，所以f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.‎ ‎8．(2017·荆门模拟)下列命题中正确的个数为(　　)‎ ‎①“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；‎ ‎②“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；‎ ‎③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；‎ ‎④“每个正方形都是平行四边形”的否定．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎　B　 ①“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0”，显然错误，故①错误；②“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，显然正确，根据原命题的逆命题与否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，根据原命题与逆否命题的等价性知原命题的逆否命题正确，故③正确；④“每个正方形都是平行四边形”正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误，故④错误．故正确的个数是2，故选 B．‎ ‎9．(2017·合肥市第一次教学质量检测)“x≥1”是“x＋≥2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　 由题意得，x＋≥2⇔x>0，所以“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎10．若p：|x|≤2，q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥2 B．a≤2‎ C．a≥－2 D．a≤－2‎ ‎　A　 p：|x|≤2，即－2≤x≤2，因为q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，‎ 所以a≥2，故选A.‎ ‎11．(2017·济南模拟)若a＝log2x，b＝，则“a>b”是“x>1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　 函数a＝log2x，b＝的图象如图所示，‎ 由图象可知，若a>b，则x>2，即x>1成立，反之，若x>1，当x＝时，a0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)‎ A．‎ C．‎ ‎　A　 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.‎ ‎13．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．‎ ‎ 原命题为真命题，故逆否命题为真；‎ 逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.‎ ‎ 2‎ ‎14．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．‎ ‎ 已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．‎ 所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.‎ ‎ m＝－2‎ ‎15．有下列四个命题：‎ ‎①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．‎ ‎ ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．‎ ‎ ①②③‎ ‎16．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ 由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得 解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.‎ ‎ ‎