安徽省合肥市第八中学阜阳一中2019-2020学年高一上学期10月联考数学试题

安徽省合肥市第八中学阜阳一中2019-2020学年高一上学期10月联考数学试题

2019-2020 学年第一学期高一年级 10 月份联考 数学试题卷 考试说明： 1.考查范围：必修 1 第一章。 2.试卷结构：分第 1 告（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150 分，考试时间：120 分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若全集 且 ，则集合 的真子集共有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 A，再根据集合 A 中的元素个数求出真子集的个数。 【详解】解：依题意，A＝{2，3，5}， ∴集合 A 的真子集共有 个， 故选：C． 【点睛】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有 n 个元素，则它有 个子集，有 个真子集，属于基础题． 2.已知集合 ，则从集合 到集合 的映射中，满足 的映 射有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在两个集合中，集合 M 有三个元素，其中一个已经确定对应关系，剩下两个元素，分别和集 01{ }2 3 5U = ，，，， { }0,1UC A = A 3 5 7 8 32 1 7− = 2n 2 1n − { }, { }, , 1,M x y z N l−= = M N ( ) 1f x = 3 4 5 6 合 N 中的三个元素对应，得到共有 4 种不同的结果． 【详解】解：∵满足 x 对应的元素是 1，故 l= 集合 M 中还有两个元素 y 和 z， y 可以和 对应，也可以和 对应, z 可以和 对应，也可以和 对应, 每个元素有两种不同的对应， ∴共有 2×2＝4 种结果， 故选：B． 【点睛】本题考查映射的个数，在两个集合中，若 A 集合有 m 个元素，B 集合有 n 个元素，根 据分步计数原理知，从集合 A 到集合 B 的映射的个数是 nm． 3.已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 的值，然后根据 的范围代入对应解析式求值． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查已知分段函数求函数值， 基础题． 4.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（） A. B. C. D. 【答案】B 是 1 1− 1 1− 1 ( ) 2 1 , 1 2, 1 x xf x x x x x  − ≤=   + − > ( ) 1 2f f          = 7 4 15 4 15 4 − 18 (2)f 1 (2)f 2(2) 2 2 2 4f = + − = 1 1 1 154(2) 4 4 4f ff     ∴ = = − = −         (2 1)f x − [ ]0,1 ( 1)f x + [ ]0,1 [ ]2,0− [ ]1,2 [ ]1,1− 【解析】 分析】 由函数 的定义域求出 2x−1 的取值范围即可得到 中 x+1 的范围，进一步求 出 x 的范围即为定义域． 【详解】解：∵函数 的定义域为 ，即 0≤x≤1， ∴−1≤2x−1≤1， 即函数 中−1≤x+1≤1， 解得：−2≤x≤0， 则函数 的定义域为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查与抽象函数有关的定义域的求法，是基础题． 5.若函数 满足 ，则 的解析式为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 变形 ，即可直接求出函数的关系式． 【详解】解：函数 满足 ， 则 ，且 【 (2 1)f x − ( 1)f x + (2 1)f x − [0,1] ( 1)f x + ( 1)f x + [ 2,0]− ( )f x 1xf xx +  =   ( )f x ( ) ( )1 11f x xx = ≠− ( ) ( )1 11f x xx = ≠ −+ ( ) ( )11 xf x xx = ≠− ( ) ( )11 xf x xx = ≠ −− 1 1 1 1 xf xx x +  =  +  − ( )f x 1xf xx +  =   1 1 1 1 xf xx x +  =  +  − 1 11 1x x x + = + ≠ 1( ) ( 1)1f x xx ∴ = ≠− 故选：A． 【点睛】本题考查的知识要点：利用恒等变换求函数的解析式． 6.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二； 五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知 ，若 ，则整数 的最 小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将选项中的数字带入集合 A，B，C 检验是否为 A，B，C 的元素，找出最小的一个即可． 【详解】解：因为求整数 的最小值，所以从最小的数开始带入检验即可： 当 =23 时， ，故 ； ，故 ； ，故 ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，利用排除法，可快速得出答案． 7.若函数 是定义在 上的偶函数，则 的值域为（） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程 ，即可求出函数解 析式，最后根据二次函数性质求值域． 【详解】解：∵ 是定义在 上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，即 1＋ ＋1＝0， { }*3 2,A x x n n N= = + ∈ { }*, 5 3,B x x n n N= = + ∈ { }*, 7 2,C x x n n N= = + ∈ x A B C∈ ∩ ∩ x 128 127 37 23 x x 23 3 7 2= × + x A∈ 23 5 4 3= × + x B∈ 23 7 3 2= × + x C∈ 23 A B C∴ ∈ ∩ ∩ ( ) 2 1f x ax bx= + + [ ]1 ,1a+ ( )f x [ ]1,1− [ ]0,1 [ ]1,0− ( ) ( )f x f x− = 2( ) 1f x ax bx= + + [1 ,1]a+ a ∴ ＝−2． 又 ， ， 即− ＝ 解得 ＝0， ，定义域为[−1，1]， ， 故函数的值域为[−1，1]， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数奇偶性的性质是解决本题的关键． 8.函数 的单调减区间为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令 ，求得函数 定义域，本题即求 在定义域内的单调减区间．利用二次函 数的性质可得 在定义域 内的单调减区间． 【详解】解：令 ，求得 ，故函数的定义域为 ， 本题即求 在 内的减区间． 利用二次函数的性质可得 在 内的减区间为 ， 即函数 的单调减区间为 ， 故选：B． 的 a ( ) ( )f x f x− = 2 21 1ax bx ax bx∴ − + = + + b b b 2 2( ) 1 2 1f x ax bx x∴ = + + = − + 1 ( ) 1f x∴− ≤ ≤ ( ) 22f x x x= − − 12, 2  − −   1 ,12  −   1, 2  −∞ −   1 ,2  − +∞  22 0t x x= − − ≥ t ( )f x 22 0t x x= − − ≥ 2 1x− ≤ ≤ [ 2,1]− t [ 2,1]− t [ 2,1]− 1 ,12  −   2( ) 2f x x x= − − 1 ,12  −   【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注 意，求单调区间，一定要先求函数定义域． 9.已知函数 ，则函数 的值域为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，结合函数单调性进行求解即可． 【详解】解：由 ，得 ， 即函数的定义域为 ， 又观察得函数 在 上递减， 所以函数 在 上递减， 所以函数的最大值为 ，最小值为 ， 即函数的值域为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数值域的计算，结合函数单调性与最值之间的关系是解决本题的关 键． 10.已知函数 是定义域为 的奇函数，满足 ，且 ，则 （） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意确定函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，进而求出 f（1）、f（2）、f（3）、f（4） ( ) 12 3f x x x= − − − ( )f x [ ]3,0− [ ]0,3 [ ]3,3− [ ]3,12 12 0 3 0 x x − ≥  − ≥ 3 12x≤ ≤ [3,12] 12 , 3y x y x= − = − − [3,12] ( ) 12 3f x x x= − − − [3,12] (3) 3f = (12) 3f = − [ 3,3]− ( )f x R ( ) ( )2f x f x= − (1) 1f = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 20f f f f+ + + + = 20− 0 2 20 的值，结合周期性分析可得答案． 【详解】根据题意，定义域为 的奇函数 满足 ， 即 ， 变形可得： ，则有 ， 即函数 时周期为 4 的周期函数， 因为 是定义域为 的奇函数，则 ， 则有 ， ， 故 选：B． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，涉及函数的周期性，属于基础题． 11.已知函数 满足：对任意的 ，均有 ，则实数 的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先通过 判断出 在 上单调递增，则分段函数每一段都单调 递增，并且左边一段的最高点不能高于右边一段的最低点，列不等式组即可得出结果． 【详解】 ， 在 上单调递增， R ( )f x ( ) (2 )f x f x= − ( ) (2 ) ( 2)f x f x f x= − = − − ( 2) ( )f x f x+ = − ( 4) ( 2) ( )f x f x f x+ = − + = ( )f x ( )f x R (0) 0f = (2) 0f = (4) 0f = (1) 1f = (3) ( 1) (1) 1f f f∴ = − = − = − (1) (2) (3) (20) 5[ (1) (2) (3) (4)] 5 (1 0 1 0) 0f f f f f f f f∴ + + + + = + + + = × + − + = ( )f x ( ) 2 1, 0 1 2 , 0 x x m x m x − + ≤=  − + > 1 2x x≠ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − >   m 1 ,2  +∞   1 ,2  +∞  1 ,12     1 ,12      ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − >   ( )f x R ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − >   ( )f x∴ R 解得： ，故选：C． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，要特别注意，分段函数的单调性各段之间的最值关系， 如果单调递减，左边一段的最低点不能低于右边一段的最高点，如果单调递增，左边一段的 最高点不能高于右边一段的最低点． 12.定义 ，若函数 ，则 的 最小值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据新定义求出 ，再画出其图像，根据图像可求出函数的最小值． 【详解】解：函数 ， 当 ，即 ，解得 或 所以函数图像如图如下： 2 1 0 0 1 2 m m − >∴− + ≤ 1 12 m≤ < , , a a ba b b a b >⊗ =  ≤ ( ) ( )2 1 32 , 2 2f x x x g x x= − = + ( ) ( )y f x g x= ⊗ 1− 0 5 4 2 ( ) ( )y f x g x= ⊗ ( ) ( )2 1 32 , 2 2f x x x g x x= − = + ( ) ( )y f x g x= ⊗ ( ) ( )f x g x> 2 1 32 2 2x x x− > + 2 1x < − 3x > ( ) ( ) 2 12 , ( , ) (3, )2 1 3 1, [ ,3]2 2 2 x x x y f x g x x x  − ∈ −∞ − ∪ +∞∴ = ⊗ =   + ∈ − 结合图像可知，当 时，函数有最小值 ，故选：C． 【点睛】本体主要考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图 的能力，属于中档题． 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填写在答题卷相应位置上。 13.若集合 A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且 A∪B＝{2,4，x}，则 x＝________. 【答案】0,1 或－2 【解析】 由已知得 B⊆A，∴x2＝4 或 x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知 x≠2，∴x＝0,1 或－ 2. 14.已知函数 和 均为 上的奇函数，若 在 上有 最大值 ，则 在 上的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用 和 的奇偶性可判断 的奇偶性，由 在 上的最大值可得 的最大值，由其奇偶性可得 在对称区间 上的最值情况，从而可得 的最值情况． 1 2x = − 1 1 3 5( )2 2 2 4 × − + = ( )f x ( )g x R ( ) ( ) ( ) 2F x af x bg x= + − ( )0, ∞+ 8 ( )F x ( ),0−∞ 12− ( )f x ( )g x ( ) 2F x + ( )F x ( )0, ∞+ ( ) 2F x + ( ) 2F x + ( ),0−∞ ( )F x 【详解】解：由 ，得 ， 和 均为 上的奇函数， ， 是奇函数， 在 上有最大值 8，即 ， ，又 是奇函数， 根据奇函数的对称性，当 时， 得 ，即 在 上的最小值为-12， 故答案为：-12． 【点睛】本题考查函数 奇偶性及其应用，考查函数的最值求解，属基础题 15.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据 为定义在 上的偶函数，以及 在 上单调递减，说明自变量离 y 轴越 近，函数值越大，另外不等式要满足原函数的定义域，几方面列不等式组即可求出 的范 围． 【详解】解： 为定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减， 由 得， ，解得 或 ， 的 ( ) ( ) ( ) 2F x af x bg x= + − ( ) ( ) ( )2F x af x bg x+ = + ( )f x ( )g x R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 [ ] [ 2]F x af x bg x af x bg x af x bg x F x∴ − + = − + − = − − = − + = − + ( ) 2F x∴ + ( )F x ( )0, ∞+ ( ) 8F x ≤ ( ) 2 10F x∴ + ≤ ( ) 2F x + ( ),0x∈ −∞ ( ) 2 10F x + ≥ − ( ) 12F x ≥ − ( )F x ( ),0−∞ ( )f x [ ]1,1− ( )f x [ ]0,1 ( ) 11 2f a f  − <    a 1 30, ,22 2    ∪      ( )f x [ ]1,1− ( )f x [ ]0,1 a ( )f x [ ]1,1− ( )f x [ ]0,1 ( ) 11 2f a f  − <    1 1 1 11 2 a a − ≤ − ≤ − > 10 2a≤ < 3 22 a< ≤ 故答案为： 【点睛】本题考查偶函数的定义，函数定义域的概念，以及根据函数单调性解不等式的方 法． 16.若函数 的值域为 ，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数 的值域为[0，＋∞），得 能够取到大于等于 0 的所 有数，然后对 m 分类求解得答案． 【详解】解： 函数 的值域为[0，＋∞）， ∴ 能够取到大于等于 0 的所有数， 当 时，不合题意； 当 时，则 ，解得 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写 在答题卡上的指定区域内. 17.已知集合 ， 求 若集合 满足 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 1 30, ,22 2    ∪      ( ) 2 1f x mx mx= − − [ )0,+∞ m 0m > ( ) 2 1f x mx mx= − − 2 1mx mx− −  ( ) 2 1f x mx mx= − − 2 1mx mx− − 0m = 0m ≠ 2 0 4 0 m m m >  = + ≥ 0m > 0m > { }1 3A x y x x= = − + − { }2 2, 0B y y x x= = + > ( )1 ( ), RA B C A B∩ ∪ ( )2 { }2C x x a= < < A C A∪ = a ( ] ( ) ( )2,3 , ,1RA B C A B∩ = ∪ = −∞ ( ],3−∞ （1）先求出集合 A，B，再求出 结果即可； （2）讨论 的取值，其中 等价于 ，求出 时 的取值范围即可 【详解】解： 由题意得， 故 由 ，得 （i）当 时， 符合题意 （ii）当 时，由 得 故 符合题意 综上： 的范围为 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题。 18.已知函数 画出 的图象（直接作出图象即可）； 求函数 的单调区间 【答案】（1）作图见解析（2）单调增区间为 和 ；无单调减区间 【解析】 【分析】 （1）将 变形为 ，利用图像的平移变换即可画出。 的( ), RA B C A B∩ ∪ a A C A∪ = C A⊆ C A⊆ a ( )1 [ ] ( )1,3 , 2,A B= = +∞ ( ] ( ) ( )2,3 , ,1RA B C A B∩ = ∪ = −∞ ( )2 A C A∪ = C A⊆ 2a ≤ C = ∅ 2a > C A⊆ 3a ≤ 2 3a< ≤ a ( ],3−∞ ( ) 2 1 1 xf x x += + ( )1 ( )y f x= ( )2 ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ ( ) 2 1 1 xf x x += + ( ) 12 1f x x = + + （2）根据图形即可观察出单调区间。 【详解】解： ， 可由 向左平移一个单位，然后向上 平移 2 个单位得到，如图： 由（1）中图像可得单调增区间为 和 ；无单调减区间. 【点睛】本题考查分式函数图像的画法，以及通过观察图像得函数的性质，是基础题。 19.已知函数 若 ，求 和 的值 当 时，求函数 在 的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由 列方程组即可。 （2）结合对勾函数的特点，通过对 进行分类讨论，确定函数 在 上的单调性， 从而求出最小值。 ( )1 ( ) 2 1 121 1 xf x x x += = ++ + ( )f x 1y x = ( )2 ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ ( ) ( )2 ,mx nf x m nx += 为实数 ( )1 ( ) 11 32f f  = =   m n ( )2 0a > ( )f x ( ]0,a 2 1 m n =  = min 1 22 ,0 2 22 2, 2 a aaf a  + < ≤=   > ( ) 11 32f f  = =   a ( )f x ( ]0,a 【详解】解： 由题意得： ，解得 由 知， 由对勾函数图像性质知， 在 上单调递减，在 上单调递增 （i）当 时， 在 上单调递减，故 （ii）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 综上： 【点睛】本题考查对勾函数函数的单调性，对于函数 ，其在 和 上单调递增，在 和 上单调递减。 20.已知函数 为二次函数，且 求 的解析式 若 在 的最小值为 ，求 的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 ( )1 3 2 32 m n m n + = + = 2 1 m n =  = ( )2 ( )1 ( ) 1 1 22 2f x x xx x    = + = +      ( )f x 20, 2       2 ,2  +∞   20 2a< ≤ ( )f x ( ]0,a ( )min 12f f a a a = = + 2 2a > ( )f x 20, 2       2 ,2 a      min 2 2 22f f  = =    min 1 22 ,0 2 22 2, 2 a aaf a  + < ≤=   > ( 0, 0)by ax a bx = + > > ( , )b a −∞ − ( , )b a +∞ ( ,0)b a − (0, )b a ( )f x ( ) ( ) 21 2 4f x f x x− + = + ( )1 ( )f x ( )2 ( ) ( )g x f x kx= − [ ]0,2 1 k ( ) 2 2f x x x= + + 3 （1）设 ，由 ，利用待定系数法，列方程组求 出 a，b，c 的值，从而求出函数的解析式； （2） 的图象是开口朝上，且以直线 为对称轴 的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可得不同情况下 的方程，解方程即可． 【详解】解： 设 ，解得 ， 的对称轴为 （i）当 ，即 时， 在 上单调递减，则 由 得 ，舍去 （ii）当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ，舍去 （iii）当 ，即 时 由 得 （ 舍去） 综上： 的值为 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是 解答的关键． 21.已知函数 2( )f x ax bx c= + + ( ) ( ) 21 2 4f x f x x− + = + ( ) ( ) ( )2 1 2g x f x kx x k x= − = + − + 1 2 kx −= k ( )1 ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + + ≠ ( ) ( )2 21 1a x b x c ax bx c∴ − + − + + + + ( )2 22 2 2 2 2 4ax b a x a b c x= + − + − + = + 2 2 2 2 0 2 4 a b a a b c = ∴ − =  − + = 1 1 2 a b c =  =  = ( ) 2 2f x x x∴ = + + ( )2 ( ) ( )2 1 2g x x k x= + − + 1 2 kx −= 1 22 k − ≥ 5k ≥ ( )g x [ ]0,2 ( )min 2 8 2f f k= = − 8 2 1k− = 7 2k = 1 02 k − ≤ 1k ≤ ( )g x [ ]0,2 ( )min 0 2f f= = 10 22 k −< < 1 5k< < 2 min 1 2 7 2 4 k k kf f − − + + = =   2 2 7 14 k x− + + = 3k = 1− k 3 ( ) 3,f x x x R= − ∈ （1）判断函数 的单调性并用定义证明； （2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围。 【答案】（1） 在 上是减函数，证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）设 且 ，作差 后判断其符号即可证得 在 R 上的单调 性； （2）利用参数分离法将不等式 恒成立，进行转化函数的最值问题，求 m 的取值范围； 【详解】解： 证明，任取 ，且 ，则 由 ，得 又 因为 不能同时为零，所以 故 ，即 故 在 上是减函数 由题意易得， 为 上的奇函数， 由 ，得 又由 知， 在 上是减函数， 故 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立 ( )f x ( 2) ( ) 0f mx f x− + < ( ], 2x∈ −∞ − m ( )f x R 2m < − 1 2,x x R∈ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x− ( )f x ( 2) ( ) 0f mx f x− + < ( )1 1 2,x x R∈ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 1 2 1 2 2 1f x f x x x x x− = − − − = − ( )( )2 2 2 1 2 1 2 1x x x x x x= − + + 1 2x x< 2 1 0x x− > 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 3 02 4x x x x x x x + + = + + ≥   2 1 1 1 ,2x x x+ 2 2 2 1 2 1 0x x x x+ + > ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x R ( )2 ( )f x R ( ) ( )2 0f mx f x− + < ( ) ( ) ( )2f mx f x f x− < − = − ( )1 ( )f x R 2mx x− > − ( ], 2x∈ −∞ − 21m x + < ( ], 2x∈ −∞ − 而 在 上单调递减，故 即可 即 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法 是解决不等式恒成立问题的基本方法． 22.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， （1）求函数 在 上的解析式； （2）是否存在非负实数 ，使得当 时，函数 的值域为 若 存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由 【答案】（1） （2）存在 符合题意，详见解析 【解析】 【分析】 （I）根据 时 的表达式，利用函数是定义在 上的奇函数，求出当 时 的表达式，再由 ，即可写出函数 分段函数形式的解析式； （2）假设存在满足条件的 a，b， 由 可得 ，由此可知 在 上的单调性，从而可以列方程求解。 【详解】解： 由题意，当 时， 则 ，由 是定义在 上的奇函数 得 ，且 综上： 假设存在这样的 符合题意， 2y x = ( ], 2−∞ − min 21 1m x  + < = −   2m < − ( )f x R 0x > ( ) 2 2f x x x= − ( )f x R ( ),a b a b< [ ],x a b∈ ( )f x [ ], ?b a− − ,a b ( ) 2 2 2 , 0 0, 0 2 , 0 x x x f x x x x x  − > = = − − < 0, 1a b= = 0x > ( )f x R 0x < ( )f x ( )0 0f = ( )f x ( ) 2 2 1f x x x= − ≥ − 1b ≤ ( )f x [ ],x a b∈ ( )1 0x < 0x− > ( ) ( ) ( )2 22 2f x x x x x− = − − − = + ( )f x R ( ) ( ) 2 2f x f x x x= − − = − − ( )0 0f = ( ) 2 2 2 , 0 0, 0 2 , 0 x x x f x x x x x  − > = = − − < ( )2 ,a b 由题意知， 由 知，当 时， ， 故 ，即 ， 故 在 上单调递减，从而有 ，即 是方程 的两个根，解得 故假设成立，即存在 符合题意。 【点睛】本题着重考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，特别是第（2）问，通过条件判断 出 ，从而知道了 在 上的单调性，避免了分类讨论，属于中档题． 0, 0,a b a b≥ ≥ < ( )1 0x ≥ ( ) 1f x ≥ − 1b− ≥ − 1b ≤ ( )f x [ ],a b ( ) ( ) f a a f b b  = − = − ,a b 2 2x x x− = − 0 1 a b =  = 0, 1a b= = 1b ≤ ( )f x [ ],a b