2017-2018学年四川成都外国语学校高二下学期入学考试题 理科数学 含部分解析

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2017-2018学年四川成都外国语学校高二下学期入学考试题 理科数学 含部分解析

成都外国语学校2017-2018学年高二下期入学考试数学试题(理)‎ ‎1.设集合,则( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】B ‎2.已知命题p: ;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由时有意义,知p是真命题,由可知q是假命题,即均是真命题,故选B.‎ ‎3.若,,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎4.阅读如图所示的程序框图,若运行相应的程序输出的结果为0,则判断框中的条件不可能是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】前6步的执行结果如下:;;;‎ ‎;;;观察可知,的值以3为周期循环出现,所以判断条件为?时,符合题意.‎ ‎5.函数(为自然对数的底数)的图像可能是( )‎ ‎【解析】由解析式知函数为偶函数,故排除B、D,又,故选A.‎ ‎6.若直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值为( )‎ A. B. C.+ D.+2‎ 试题分析:圆即(x+1)2+(y﹣2)2=4,表示以M(﹣1,2)为圆心,以2为半径的圆,由题意可得 圆心在直线ax﹣by+2=0上,得到a+2b=2,故 =+++1,利用基本不等式求得式子的最小值.‎ 解:圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 (x+1)2+(y﹣2)2=4,表示以M(﹣1,2)为圆心,以2为半径的圆,‎ 由题意可得 圆心在直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)上,故﹣1a﹣2b+2=0,‎ 即 a+2b=2,∴=+=+++1≥+2=,‎ 当且仅当 时,等号成立,故选 C.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)表示的区域面积等于1,则抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】作可行域:‎ 由题知:,,,,,,抛物线,即:,准线方程为:.‎ ‎8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为( )‎ A.2 B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,.设平面的法向量为,则,即:,,又为平面 的法向量,设所求二面角为,则,从而.‎ ‎9.如图,正方形的边长为6,点,分别在边,上,且,.若有,则在正方形的四条边上,使得成立的点有( )个 A.2 B.4 C.6 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】若在上,;‎ 若在上,;‎ 若在上,;‎ 同理,在上时也有;‎ 若在上,;‎ 同理,在上时也有;‎ 所以,综上可知当时,有且只有4个不同的点使得成立.‎ ‎10.已知双曲线的左、右顶点分别为、,动直线与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为,,则的最小值为( )‎ A. B.2 C.4 D.‎ ‎【答案】A 与圆相切,,.‎ 由,得,‎ ‎,‎ ‎,,故的取值范围为.‎ 由于,,‎ ‎,当时,取最小值.‎ ‎11已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,等式成立,若数列满足,且,则下列结论成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】 ‎ 当 时 与时,矛盾,因此 ‎ 当时,,‎ 设 ,则,因此为单调减函数,从而 ,,,,,选D.‎ ‎13.设是数列的前项和,,且,则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时,,解得;‎ 当时,,‎ 整理得.‎ 因为,所以,即,‎ 所以是以3为首项,3为公差的等差数列,所以,即.‎ ‎14.从某大学随机抽取的5名女大学生的身高(厘米)和体重(公斤)数据如下表;‎ x ‎165‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎155‎ ‎170‎ y ‎58‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎43‎ 根据上表可得回归直线方程为,则表格中空白处的值为________.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】根据回归直线经过样本中心可得,表格中空白处的值为60.‎ ‎15.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为该抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示,,,过作准线的垂线,垂足是,由对称性,不妨令在第一象限,,‎ 问题等价于求的最小值,‎ 而,当且仅当时等号成立,‎ 所以,即:.‎ ‎16 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为___‎ ‎ 解  因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以。注意到分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得, 。‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)设的内角的对边分别为,且,若,求 的值.‎ 试题解析:‎ ‎(1) .‎ 由,得 ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由,得, ,‎ ‎.‎ 又,由正弦定理得①;‎ 由余弦定理得,即,②由①②解得. ‎ ‎18.为了展示中华汉字的无穷魅力,传递传统文化,提高学习热情,某校开展《中国汉字听写大会》的活动.为响应学校号召,2(9)班组建了兴趣班,根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图,如图所示,甲的成绩中有一个数的个位数字模糊,在茎叶图中用表示.(把频率当作概率).‎ ‎(1)假设,现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛,从统计学的角度,你认为派哪位学生参加比较合适?‎ ‎(2)假设数字的取值是随机的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为 ‎,‎ ‎,‎ ‎∴ ‎ ‎∵, ,‎ ‎∴两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.‎ ‎(2)由,得,∴,‎ 又为整数,∴,‎ 又的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.‎ ‎19.正项数列满足, ,数列为等差数列, , .‎ ‎(1)求证: 是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和 试题解析:‎ ‎(1)由题可得,‎ ‎∵,∴,∴,‎ 又,∴ 数列是首项为,公比为3的等比数列. ‎ ‎∴,∴ .∴ ,‎ 由题意得,解得∴.‎ ‎(2)由(1)得, ,∴,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 令 ①,‎ 则②,‎ ‎①②得 ‎ .‎ 所以.∴‎ ‎20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.‎ ‎(I)求证:M为PB的中点;‎ ‎(II)求二面角B-PD-A的大小;‎ ‎(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.‎ 试题解析:解:(I)设交点为,连接.‎ 因为平面,平面平面,所以.‎ 因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.‎ ‎(II)取的中点,连接, .‎ 因为,所以.‎ 又因为平面平面,且平面,所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ 因为是正方形,所以.‎ 如图建立空间直角坐标系,则, , ,‎ ‎, .‎ 设平面的法向量为,则,即.‎ 令,则, .于是.‎ 平面的法向量为,所以.‎ 由题知二面角为锐角,所以它的大小为.‎ ‎(III)由题意知, , .‎ 设直线与平面所成角为,则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎21.已知函数为奇函数, 为常数. ‎ ‎(1)确定的值; ‎ ‎(2)求证: 是上的增函数; ‎ ‎(3)若对于区间上的每一个值,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 试题解析:‎ ‎(1)∵函数是奇函数, ,‎ 即 ∴,整理得, ∴,解得,‎ 当时, ,不合题意舍去,‎ ‎∴。‎ ‎(2)由(1)可得,设,‎ 则,‎ ‎ ∵,∴∴,∴,‎ ‎∴,即.∴是上的增函数. ‎ ‎(3)依题意得在上恒成立,‎ 设, ,‎ 由(2)知函数在上单调递增,‎ ‎∴当,所以. ‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎22.如图, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为,离心率为;双曲线 的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)过点作的不垂直于轴的弦, 为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.‎ ‎(1)由题可得,且,因为,且,所以且 且,所以椭圆方程为 ‎,双曲线的方程为.‎ ‎(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得 ,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,‎ 则 ,又因为在直线上,所以 ,‎ 则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.‎
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