数学理卷·2019届山东省淄博第一中学高二1月月考(2018-01)

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数学理卷·2019届山东省淄博第一中学高二1月月考(2018-01)

淄博一中2017-2018学年第一学期阶段性检测二 高二理科数学试题 命题人:肖萍 审核人:钱汝富 2018年1月 一、 选择题(本大题共12小题,共60分,只有一个选项正确)‎ ‎1. 现要完成下列3项抽样调查:‎ ‎①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;‎ ‎②科技报告厅有32排座位,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,邀请32名听众进行座谈;‎ ‎③某中学高三年级有12个班,文科班4个,理科班8个,为了了解全校学生对知识的掌握情况,拟抽取一个容量为50的样本.‎ 较为合理的抽样方法是 (  )‎ A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 ‎ B. ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C. ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 ‎ D. ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 ‎2. 已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出成立的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎3. 在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,已知事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是(  )‎ A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡 ‎4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币。如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币,直径22毫米,面额100元。为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是( )‎ A. mm2 B. mm2 C. mm2 D. mm2 ‎ ‎5. ‎ 某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是( )‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13‎ 6. 双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为300的直线与y轴和双曲线右支分别交于A,B两点,若点A平分F1B,则该双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. 2 D. ‎7. 如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,当P在圆上运动时,则点M的轨迹C的方程是( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎8. 下列命题:‎ ‎①“在三角形中,若,则”的逆命题是真命题;‎ ‎②命题或,命题,则是的必要不充分条件;‎ ‎③“”的否定是“”;‎ ‎④“若,则”的否命题为“若,则”;‎ 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9. 小王计划租用A,B两种型号的小车安排30名队友(都有驾驶证)出去游玩, A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人,租金分别为1000元/辆和600元/辆,要求租车总数不超过12辆且不少于6辆,且型车至少要有1辆,则租车所需的最少租金为( )‎ A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元 ‎10. 已知椭圆:的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线的距离等于,则椭圆E的焦距长为( )‎ A. B. C. D. ‎ 11. ‎ 已知不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是( ) A. m>-6 B. m<-6 C. m>-8 D. m<-8‎ ‎12. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1 ,F2,P是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则的最大值是( )‎ A. ‎ B. C. 2 D. 3‎ 二、 填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13.执行程序框图,该程序运行后输出的S的值是__________.‎ ‎14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,点在直线上,则____________‎ ‎15.已知抛物线 上有一条长为的动弦,则弦的中点到轴的最短距离为 _________‎ ‎16.下列四个命题:‎ ‎①一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真;‎ ‎②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4成等比数列,则公差为﹣;‎ ‎③已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为5+2;‎ ‎④在△ABC中,若sin2A<sin2B+sin2C,则△ABC为锐角三角形.‎ 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)‎ 三、 解答题(本大题共6小题,共70分)‎ 17. ‎(本题满分10分)‎ ‎(1)若抛物线的焦点是椭圆左顶点,求此抛物线的标准方程;‎ ‎(2)某双曲线与椭圆共焦点,且以为渐近线,求此双曲线的标准方程.‎ 18. ‎(本题满分12分)‎ 在ΔABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知c=, ΔABC的面积为,又 tanA+tanB=(tanAtanB-1)‎ ‎(1)求角C的大小; (2)求a+b的值。‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知; 方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎(1)当时,判断的真假;(2)若为假,求的取值范围.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示. ‎ ‎(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图);‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[160,165)‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎[165,170)‎ ‎①‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎[170,175)‎ ‎30‎ ‎②‎ 第4组 ‎[175,180)‎ ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎[180,185]‎ ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.000‎ ‎(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试,求每组各抽取多少位学生进入第二轮面试.‎ ‎(3)在(2)的前提下,学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试,求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知正项等比数列满足 (1) 求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.‎ 22. ‎(本题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为,其左、右焦点分别为,点是坐标平面内一点,且, (为坐标原点).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过该点?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由。‎ 淄博一中2017-2018学年第一学期阶段性检测二答案解析 高二理科数学试题 一。选择题(本大题共12小题,共60分,只有一个选项正确)‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】在①中因为个体数量较少,采用简单随机抽样即可; 在②中,因为个体数量多,且已按座位自然分组,故采用系统抽样较好; 在③中,因为文科生和理科生的差异明显,故采用分层抽样较好. 故选A ‎2.【答案】C ‎【解析】 ①中,因为,所以,因此①能推出成立;‎ ‎②中,因为,所以,所以,所以,因此②正确的;‎ ‎③中,因为,所以,所以③不正确的;‎ ‎④中,因为,所以,所以③正确的;‎ ‎ 故选C.‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】由于,结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件,即“至多有一张移动卡”.选A。‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为,得半径 则圆形金质纪念币的面积为 所以估计军旗的面积大约是 故答案选 ‎5.【答案】C ‎【解析】试题分析::∵甲组学生成绩的平均数是88,‎ ‎∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7,∴m=3‎ 又乙组学生成绩的中位数是89,∴n=9,‎ ‎∴m+n=12‎ ‎6.【答案】A ‎【解析】因为AO分别是的中点,所以∥,故,在中, ,设,则,又,即,由得,所以, ,故选A.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】设,则 ,所以 ,选A.‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 对于①“在中,若,则 ” 的逆命题为“在中,若,则”,若,则,根据正弦定理可知,,所以逆命题是真命题,所以①正确;‎ 对于②,由,或,得不到,比如,,不是的充分条件;若,则一定有,则,即能得到,或,是的必要条件,是的必要不充分条件,所以②正确;‎ 对于③,“”的否定是“” ,所以③不对;‎ 对于④“若,则”的否命题为“若,则”;所以④正确,‎ 故选C.‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】设分别租用A,B两种型号的小车x辆、y辆,所用的总租金为z元,‎ 则 其中x,y满足不等式组, ‎ 作出可行域:‎ 当直线经过D点时,z最小,此时D(1,5)‎ ‎∴租车所需的最少租金为 故选:D ‎10.【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示,设为椭圆的左焦点,连接,则四边形是平行四边形,可得,解得,取,可得点到直线的距离,即有,解得,,则焦距为,故选B.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】不等式即: 恒成立,‎ 则 结合可得: ,‎ 由均值不等式的结论有:‎ ‎,‎ 当且仅当时等号成立,‎ 据此可得实数的取值范围是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12.【答案】A ‎【解析】‎ 如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,则根据椭圆及双曲线的定义:‎ ‎,‎ ‎, ‎ 设,‎ 则,在中根据余弦定理可得到 化简得: ‎ 该式可变成: ‎ ‎,‎ 故选 二、 填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13.【答案】-9‎ ‎【解析】由程序框图得:‎ 第一次运行: , ‎ 第二次运行: , ‎ 第三次运行: , ,不满足条件,输出 故答案为 ‎14.【解析】点在直线上,所以.‎ ‎.‎ ‎15.【解析】由题意得抛物线的准线的方程为,过A作于,过B作于,设弦AB的中点为M,过M作于,则,设抛物线的焦点为F,则,即(当且仅当三点共线时等号成立),所以,解得。即弦的中点到轴的最短距离为。‎ ‎16.【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 试题分析:①利用命题的逻辑关系可判断;‎ ‎②根据等差数列和等比数列的性质判断 ‎③根据条件,进行变形即可;‎ ‎④根据正弦定理得出边的关系,进行判断.‎ 解:①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题,故正确;‎ ‎②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4成等比数列,则公差为﹣或零,故错误;‎ ‎③已知a>0,b>0,a+b=1,则+=+=5++≥5+2,故正确;‎ ‎④在△ABC中,若sin2A<sin2B+sin2C,可推出a2<b2+c2,A为锐角,但不能得出是锐角三角形,故错误.‎ 故答案为①③.‎ 二、 解答题(本大题共6小题,共70分)‎ 17. ‎(本题满分10分)‎ 试题解析:‎ ‎(1)椭圆左顶点为,‎ 设抛物线的方程为,‎ 可得,‎ 计算得出,‎ 则抛物线的标准方程为;‎ ‎(2)椭圆的焦点为,‎ 可设双曲线的方程为,‎ 则,‎ 由渐近线方程,‎ 可得,‎ 计算得出,‎ 则双曲线的方程为.‎ 17. ‎(本题满分12分)‎ ‎【解析】试题解析:(1),‎ ‎, ‎ 又∵为的内角 ‎,‎ ‎∴. ‎ ‎(2)由,及得, ‎ ‎ 又, .‎ ‎. ‎ ‎19.(本题满分12分)‎ ‎【解析】试题解析:‎ 因为,‎ 所以若为真,则,‎ 由得,‎ 若为真,则,解得。‎ ‎(1)当时, 为假命题,为真命题,故为真命题;‎ ‎(2)若为真,则 ,‎ 所以,若为假,则或,‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ ‎[解析] (1)由题可知,第2组的频数为0. 35×100=35(人),第3组的频率为=0. 300,频率分布直方图如下图.‎ ‎(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为第3组:×6=3(人),第4组:×6=2(人),第5组:×6=1(人),所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.‎ ‎(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种可能,如下:‎ ‎(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),‎ ‎(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),‎ ‎(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).‎ 第4组至少有一位同学入选的有:‎ ‎(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1).共9种可能.所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为=.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 试题解析:‎ ‎(1)设公比为,∵,∴, ‎ ‎∵‎ ‎(2)∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 故 22. ‎(本题满分12分)‎ ‎【解析】试题分析:(1)设的坐标,利用和求得c,通过椭圆的离心率求得a,最后利用a,b和c的关系求出b,则椭圆的方程可得.‎ ‎(2)设出直线l的方程,与椭圆方程联立消去y,设, ,则可根据韦达定理表示出和,假设在y轴上存在定点,满足题设,则可表示出,利用,求出m的值 试题解析:(1)设, , ,则由,得;‎ 由得,‎ 即.‎ 所以.‎ 又因为,所以.‎ 因此所求椭圆的方程为: .‎ ‎(2)设动直线的方程为: ,‎ 由得.‎ 设, ,则, .‎ 假设在轴上是否存在定点,满足题设,则, .‎ ‎ ‎ 由假设得对于任意的, 恒成立,‎ 即解得.‎ 因此,在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过该点,‎ 点的坐标为.‎
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