高考数学真题专题归纳专题13二项式含解析理

高考数学真题专题归纳专题13二项式含解析理

专题13 二项式定理 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·新课标Ⅰ）的展开式中x3y3的系数为（ ）‎ A. 5 B. 10‎ C. 15 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】展开式的通项公式为（且）‎ 所以与展开式的乘积可表示为：‎ 或 在中，令，可得：，该项中的系数为，‎ 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 ‎2.（2020·北京卷）在的展开式中，的系数为（ ）．‎ A. -5 B. 5 C. -10 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】展开式的通项公式为：，‎ 令可得：，则的系数为：.‎ ‎3.（2020·天津卷）在的展开式中，的系数是_________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为的展开式的通项公式为 8‎ ‎，令，解得．‎ 所以的系数为．‎ ‎4.（2020·新课标Ⅲ）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ 其二项式展开通项：‎ 当，解得 的展开式中常数项是：.‎ ‎【2019年】‎ ‎1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 )(1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得x3的系数为，故选A．‎ ‎2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．‎ ‎【答案】 5‎ ‎【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项． ‎ 8‎ ‎3．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）设，其中，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以，‎ ‎．‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得．‎ ‎（2）由（1）知，．‎ ‎．‎ 解法一：‎ 因为，所以，‎ 从而．‎ 解法二：‎ ‎．‎ 因为，所以．‎ 因此．‎ ‎【2018年】‎ 8‎ ‎1. （2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得 令,则，所以，故选C.‎ ‎2. （2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】二项式的展开式的通项公式为,‎ 令得，故所求的常数项为 ‎3. （2018年天津卷）在的展开式中，的系数为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合二项式定理的通项公式有：，‎ 令可得：，则的系数为：.‎ ‎【2017年】‎ ‎1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ ‎2.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D 8‎ ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。‎ ‎3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 1080‎ ‎【解析】 ‎ ‎4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ ‎【2016年】‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.‎ ‎2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4‎ ‎【答案】A 8‎ ‎【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.‎ ‎3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项 为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有 ‎（ ）‎ ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 8‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎5.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。‎ ‎6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.‎ ‎7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】－56‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． ‎ ‎8.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】因为，所以由，因此 ‎9.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ ‎（1）求 的值；‎ 8‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m，求证： ‎ ‎（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.‎ ‎【答案】（1）0（2）详见解析 ‎【解析】‎ 解：（1）‎ ‎（2）当时，结论显然成立，当时 又因为 所以 因此 ‎ ‎ 8‎