【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十一章第二讲　二项式定理

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十一章第二讲　二项式定理

第二讲　二项式定理 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2017全国卷Ⅰ,6,5分][理](1+‎1‎x‎2‎)(1+x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A.15 B.20 C.30 D.35‎ ‎2.[2017全国卷Ⅲ,4,5分][理](x+y)(2x - y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A. - 80 B. - 40 C.40 D.80‎ ‎3.[2019广东湛江一模](2x - 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x - 2y)n的展开式的二项式系数之和等于(　　)‎ A.16 B.32 C.64 D.128‎ ‎4.[2019安徽十校高三摸底考试](x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为　　　　. ‎ ‎5.[2019天津,10,5分][理](2x - ‎1‎‎8‎x‎3‎)8的展开式中的常数项为　　　　. ‎ ‎6.[2017山东,11,5分][理]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　. ‎ ‎7.[2017浙江,13,6分]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　,a5=　　　. ‎ ‎8.[2020浙江金丽衢十二校第一次联考]在(x2 - ‎1‎‎2x)9的展开式中,常数项为　　　　,系数最大的项是　　　　. ‎ 考法1求二项展开式中的特定项或特定项的系数 ‎1(1)[2018全国卷Ⅲ,5,5分][理](x2+‎2‎x)5的展开式中x4的系数为 A.10 B.20 ‎ C.40 D.80‎ ‎(2)[2019全国卷Ⅲ,4,5分][理](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 A.12 B.16 ‎ C.20 D.24‎ ‎(3)[2019太原二模]‎(x‎2‎+x+y)‎‎4‎的展开式中x3y2的系数是　　　　. ‎ ‎(1)利用(x2+‎2‎x)5的展开式的通项公式求解;‎ ‎(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;‎ ‎(3)把x2+x+y看成x2+x与y的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x2+x+y)4看成4个因式x2+x+y的乘积,利用组合数公式求解.‎ ‎(1)Tr+1=C‎5‎r(x2)5 - r(‎2‎x)r=C‎5‎r2rx10 - 3r,‎ 由10 - 3r=4,得r=2,‎ 所以x4的系数为C‎5‎‎2‎×22=40,故选C.‎ ‎(2)因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2·(1+x)4,(注意各项的分配)‎ 其中(1+x)4的展开式中x3的系数为C‎4‎‎3‎=4,2x2·(1+x)4的展开式中x3的系数为2C‎4‎‎1‎=8,‎ 所以(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为4+8=12,故选A.‎ ‎(3)解法一　‎(x‎2‎+x+y)‎‎4‎‎=‎‎[(x‎2‎+x)+y]‎‎4‎,(把“三项”当“两项”看)‎ 其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=C‎4‎r‎(x‎2‎+x)‎‎4-ryr,(利用通项公式求解)‎ 因为要求x3y2的系数,所以r=2,‎ 即T3=C‎4‎‎2‎‎(x‎2‎+x)‎‎4-2‎y2=6(x2+x)2y2.‎ 因为‎(x‎2‎+x)‎‎2‎的展开式中x3的系数为2,‎ 所以x3y2的系数是6×2=12.‎ 解法二　(x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,‎ 在这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,(利用组合数公式求解)‎ 故x3y2的系数是C‎4‎‎2‎·C‎2‎‎1‎·C‎1‎‎1‎=12.‎ ‎1.(1)在(1 - ‎3‎x)7+(x‎+‎ax)6的展开式中,若x2的系数为19,则a=　　　　. ‎ ‎(2)[2019浙江,13,6分]在二项式(‎2‎+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. ‎ ‎(3)[2020河北石家庄高三二模]已知‎0‎‎2‎x‎3‎dx‎=‎n,则(x+y+1)n展开式中x2y的系数为　　　　　. ‎ 考法2二项式系数的性质及应用 命题角度1　二项展开式中的系数和问题 ‎2(1)已知(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为　　　　. ‎ ‎(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为　　　　. ‎ ‎(3)[2015新课标全国Ⅱ,15,5分][理](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　. ‎ ‎(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.‎ ‎(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,再给x赋值 - 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,再代入条件,列出方程求解.‎ ‎(3)展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.‎ ‎(1)因为(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,‎ 所以Cn‎2‎‎=‎Cn‎7‎,解得n=9.‎ 令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1,(对(1 - 2x)n中的x赋值)‎ 所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为 - 1.‎ ‎(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,‎ 令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,‎ 又(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2‎ ‎=(a0+a1+a2+…+a9)(a0 - a1+a2 - a3+…+a8 - a9)=39,‎ 所以(2+m)9·m9=39,所以m(2+m)=3,‎ 解得m= - 3或m=1,故m的值为 - 3或1.‎ ‎(3)解法一　直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,‎ 由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.‎ 解法二　(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=C‎4‎rxr,‎ 由题意可知,a(C‎4‎‎1‎‎+‎C‎4‎‎3‎)+C‎4‎‎0‎‎+C‎4‎‎2‎+‎C‎4‎‎4‎=32,解得a=3.‎ 解法三　设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5=32.‎ 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5　①.‎ 令x= - 1,得0=a0 - a1+a2 - a3+a4 - a5　②.‎ 由① - ②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.‎ 命题角度2　与二项展开式中的系数有关的最值问题 ‎3已知(‎3‎x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - ‎1‎x)2n的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　,系数的绝对值最大的项为　　　　. ‎ 先根据两个二项式系数和的关系求出n,由n值来确定(2x - ‎1‎x)2n中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.‎ 由题意知,22n - 2n=992,即(2n - 32)(2n+31)=0,‎ 故2n=32,解得n=5.‎ 由二项式系数的性质知,(2x - ‎1‎x)10的展开式中第6项的二项式系数最大,‎ 故二项式系数最大的项为T6=C‎10‎‎5‎(2x)5( - ‎1‎x)5= - 8064.‎ 设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=C‎10‎k·(2x)10 - k·( - ‎1‎x)k=( - 1)kC‎10‎k·210 - k·x10 - 2k,‎ 令C‎10‎k‎·‎2‎‎10-k≥C‎10‎k-1‎·‎2‎‎10-k+1‎,‎C‎10‎k‎·‎2‎‎10-k≥C‎10‎k+1‎·‎2‎‎10-k-1‎,‎得C‎10‎k‎≥2C‎10‎k-1‎,‎‎2C‎10‎k≥C‎10‎k+1‎,‎ 即‎11-k≥2k,‎‎2(k+1)≥10-k,‎解得‎8‎‎3‎≤k≤‎11‎‎3‎.‎ 因为k∈Z,所以k=3.‎ 故系数的绝对值最大的项是第4项,T4= - C‎10‎‎3‎·27·x4= - 15360x4.‎ 故二项式系数最大的项为 - 8064,系数的绝对值最大的项为 - 15360x4.‎ ‎2.(1)[2020山西大同高三调研]若(x‎-‎‎2‎x‎2‎)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(　　)‎ A.210 B.180 C.160 D.175‎ ‎(2)[2020河北衡水中学高三联考]若(1+x)(1 - 2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是(　　)‎ A. - 2 B. - 3 C.125 D. - 131‎ ‎(3)已知(2x - ‎1‎x)n的展开式中的二项式系数和为32.若(x+ax)(2x - ‎1‎x)n的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为　　　　　. ‎ 易错混淆二项展开式中项的系数与二项式系数致误 ‎4(1)[2020安阳高三第一次调研考试]已知(2x+‎1‎x+a)(1 - x)4的展开式中含x3的项的系数为5,则a=　　　　. ‎ ‎(2)设(5x - x)n的展开式中的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M - N=240,则展开式中二项式系数最大的项为　　　　. ‎ ‎(1)(2x+‎1‎x+a)(1 - x)4的展开式中含x3的项为2x·C‎4‎‎2‎( - x)2+‎1‎x( - x)4+aC‎4‎‎3‎( - x)3,即(13 - 4a)x3,由已知条件知13 - 4a=5,解得a=2.‎ ‎(2)令x=1,可得M=4n=(2n)2,易知N=2n,于是有M - N=(2n)2 - 2n=240,即(2n+15)(2n - 16)=0,解得n=4.‎ 要使展开式中二项式系数C‎4‎k最大,则k=2,‎ 故展开式中二项式系数最大的项为T3=C‎4‎‎2‎(5x)2·( - x)2=150x3.‎ 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 ‎(1)根据展开式中含x3的项的系数的产生情况列方程;(2)根据项的系数和及二项式系数和列方程求n,求二项式系数最大项.‎ 二 数学运算 组合数公式应用及解方程计算.‎ 一 易错警示　‎ 解答此题的易错点有两处:(1)混淆二项式系数与项的系数,在(ax+b)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是指Cnk,第k+1项的系数是Cnkan - kbk;(2)混淆二项式系数和与项的系数和,在(ax+b)n的展开式中,令x=1即得各项系数之和为(a+b)n,而(ax+b)n的展开式中的二项式系数之和为Cn‎0‎‎+‎Cn‎1‎+…+Cnn=2n.解题时一定要仔细审题,准确把握每一个概念和条件,以免差之毫厘,谬以千里.‎ ‎1.C　(1+x)6展开式的通项Tr+1=C‎6‎rxr,所以(1+‎1‎x‎2‎)(1+x)6的展开式中x2的系数为1×C‎6‎‎2‎+1×C‎6‎‎4‎=30,故选C.‎ ‎【技巧点拨】　求解二项式与代数式的积的展开式的特定项的系数问题的关键:一是将二项式看作一个整体,利用分配律整理所给式子;二是利用二项展开式的通项公式求特定项.‎ ‎【易错警示】　本题易错点有两个:一是漏掉“代数式的分配”,导致错解;二是混淆二项展开式的某一项的系数与二项式系数,注意它们是两个不同的概念.‎ ‎2.C　当第一个括号内取x时,第二个括号内要取含x2y3的项,即C‎5‎‎3‎(2x)2( - y)3,当第一个括号内取y时,第二个括号内要取含x3y2的项,即C‎5‎‎2‎(2x)3( - y)2,所以x3y3的系数为C‎5‎‎2‎×23 - C‎5‎‎3‎×22=10×(8 - 4)=40.‎ ‎3. A　∵(2x - 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,∴Cnn - 1‎·21·( - 3)n - 1= - Cnn - 2‎·22·( - 3)n - 2,解得n=4,24=16,则(3x - 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.‎ ‎【易错警示】　本题主要考查二项式定理的应用,注意区分二项式系数与项的系数.‎ ‎4.120　(x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项为C‎6‎‎4‎x2·C‎4‎‎1‎( - y)3·( - 2z)=120x2y3z,故展开式中含x2y3z的项的系数为120.‎ ‎5.28　二项展开式的通项Tr+1=C‎8‎r(2x)8 - r( - ‎1‎‎8‎x‎3‎)r=( - ‎1‎‎8‎)r·28 - r·C‎8‎rx8 - 4r,令8 - 4r=0,可得r=2,故常数项为( - ‎1‎‎8‎)2×26×C‎8‎‎2‎=28.‎ ‎6.4　由题意可知Cn‎2‎32=54,所以Cn‎2‎=6,解得n=4.‎ ‎【技巧点拨】　通项公式Tr+1=Cnran - rbr(r=0,1,2,…,n)中含有a,b,n,r,Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关求参数问题中,常利用等价转化的思想方法把求参数问题转化为解方程(组)问题.‎ ‎【易错警示】　此类题易错点有两处:一是符号因子易弄丢,导致失分;二是组合数与排列数的公式搞混,导致解方程出错.‎ ‎7.16　4　由题意知a4为含x的项的系数,根据二项式定理得a4=C‎3‎‎2‎×12×C‎2‎‎2‎×22+C‎3‎‎3‎×13×C‎2‎‎1‎×2=16,又a5是常数项,所以a5=C‎3‎‎3‎×13×C‎2‎‎2‎×22=4.‎ ‎8.‎21‎‎16‎　9x12　展开式的通项公式为Tr+1=C‎9‎r(x2)9 - r( - ‎1‎‎2x)r,当18 - 2r=r时,r=6,所以常数项为T7=C‎9‎‎6‎(x2)3( - ‎1‎‎2x)6=‎21‎‎16‎,要使项的系数最大,r必须为偶数,即有 C‎9‎r‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥C‎9‎r - 2‎(‎1‎‎2‎‎)‎r - 2‎,‎C‎9‎r‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥C‎9‎r+2‎(‎1‎‎2‎‎)‎r+2‎,‎则‎9!‎r!(9 - r)!‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥‎9!‎‎(r - 2)!(11 - r)!‎(‎1‎‎2‎‎)‎r - 2‎,‎‎9!‎r!(9 - r)!‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎r≥‎9!‎‎(r+2)!(7 - r)!‎(‎1‎‎2‎‎)‎r+2‎,‎解得‎1609‎‎ - 29‎‎6‎≤r≤‎1609‎‎ - 17‎‎6‎.‎ 又r是偶数,故r=2,所以系数最大项为T3=C‎9‎‎2‎(x2)7( - ‎1‎‎2x)2=9x12.‎ ‎1.(1)2　(1 - ‎3‎x)7+(x‎+‎ax)6的展开式中x2的系数为C‎7‎‎6‎( - 1)6+C‎6‎‎1‎(a)1=C‎7‎‎6‎+aC‎6‎‎1‎,则aC‎6‎‎1‎‎+‎C‎7‎‎6‎=19,解得a=2.‎ ‎(2)16‎2‎　5　‎(‎2‎+x)‎‎9‎的通项公式为Tr+1=C‎9‎r‎(‎2‎)‎‎9 - rxr(r=0,1,2,…,9),可得常数项为T1=C‎9‎‎0‎‎(‎2‎)‎‎9‎=16‎2‎,当系数为有理数时,r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10,共5个项.‎ ‎(3)12　‎0‎‎2‎x3dx=x‎4‎‎4‎‎　‎‎　‎‎0‎‎2‎=4,则n=4.(x+y+1)4中含x2y的项为C‎4‎‎2‎x2C‎2‎‎1‎y=12x2y,故展开式中x2y的系数为12.‎ ‎2.(1)B　解法一　因为(x‎-‎‎2‎x‎2‎)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x‎-‎‎2‎x‎2‎)10的展开式的通项公式为Tk+1=C‎10‎k(x)10 - k( - ‎2‎x‎2‎)k=‎ ‎( - 2)kC‎10‎kx‎10 - k‎2‎‎ - 2k=( - 2)kC‎10‎kx‎5 - ‎5‎‎2‎k,令5 - ‎5‎‎2‎k=0,解得k=2,所以常数项为( - 2)2C‎10‎‎2‎=180.‎ 解法二　因为(x‎-‎‎2‎x‎2‎)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x‎-‎‎2‎x‎2‎)10可以看成10个多项式x‎-‎‎2‎x‎2‎相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取 - ‎2‎x‎2‎,余下的8个多项式中都取x,则常数项为C‎10‎‎2‎( - ‎2‎x‎2‎)2(x)8=180.‎ ‎(2)C　对于题中等式,令x=0,得a0=1,令x=1,得 - 2=a0+a1+a2+…+a7+a8,所以a1+a2+…+a7+a8= - 3.‎ 因为(1+x)(1 - 2x)7=(1+x)×[C‎7‎‎0‎×17×( - 2x)0+C‎7‎‎1‎×16×( - 2x)1+…+C‎7‎‎7‎×10×( - 2x)7],所以a8=C‎7‎‎7‎×10×( - 2)7= - 128,所以a1+a2+…+a7=125,故选C.‎ ‎(3)40　因为(2x - ‎1‎x)n的展开式中的二项式系数和为32,所以2n=32,所以n=5.令x=1,得(x+ax)(2x - ‎1‎x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a)(2 - 1)5=2,即a=1,所以(x+ax)(2x - ‎1‎x)5的展开式中的常数项为C‎5‎‎3‎·( - 1)3·25 - 3+C‎5‎‎2‎·( - 1)2·25 - 2=40.‎