2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高一上学期第二次段考数学试题（解析版）
2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高一上学期第二次段考数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，若，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】求出集合、，得出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可得出集合的子集个数.
【详解】
当时，；
当时，.
所以，集合.
集合，，
集合有两个元素，因此，集合的子集个数为，故选：B.
【点睛】
本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据的定义域求出的定义域，再根据的定义域求出的定义域．
【详解】
解：函数的定义域为，即，
，即的定义域为，
，解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的定义域的求法，是基础题．
3．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先确定函数在上单调递减，然后可以计算最小值，从而求出值域.
【详解】
函数在为单调递减函数，
当时，无最大值，
所以值域为，故选A．
【点睛】
本题考查求函数的值域，确定函数的单调性是解题的关键，属于基础题.
4．若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）
0，再根据幂函数的单调性得到00，故函数
f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．故选D．
【点睛】
(1) 本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线.
5．己知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵,
∴函数为减函数，
要使函数在上是减函数，需满足
，解得。
∴实数的取值范围是。选B。
点睛：
复合函数的单调性满足“同增异减”的性质，解答本题时要注意题目的隐含条件，即且，并由此得到函数为减函数，进一步可得。同时还应注意定义域的限制，对数的真数要满足大于零的条件，这一点在解题中很容易忽视。
6．为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）．
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】分析：函数化成：，利用函数的平移变换可得结果.
详解：∵函数化成：，
∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
故选．
点睛：本题主要考查指数的运算以及函数的“平移变换“，属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.
7．已知上的单调函数满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据可求得，可知在时单调递减，从而得到在上单调递减；根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】
当时，单调递减
为上的单调函数 ，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，关键是明确分段函数在上单调需保证在每一段上单调，且在临界点位置大小关系满足单调性，属于常考题型.
8．函数的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.
【点睛】
本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.
9．标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，对取对数可得，即可得
，分析选项即可得答案．
【详解】
据题意，对取对数可得，即可得
分析选项：B中与其最接近，
故选B.
【点睛】
本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．
10．，则（ ）
A．1-a B． C．a-1 D．-a
【答案】A
【解析】【详解】
又，所以
.
故选A
本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.
11．设实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于和
的比较中，分别设为函数，求导并研究其函数的单调性，再与特殊值的函数值比较大小，从而知 与中介值 的大小，比较出之间的大小关系.
【详解】
因为且，所以
令，则 令得
当时，所以在单调递增，
且又因为，所以
令则则在上单调递增，
且又因为，所以
所以。
故选B.
【点睛】
本题考查比较大小，关键在于和的比较中，设函数，并研究其单调性，再与中介值的函数值比较，属于难度题.
12．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.
【详解】
，
，或，由题意可知：，由题可知：当时，
有2个解且有2个解且 ，
当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；
的取值范围是，故本题选D.
【点睛】
本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.
二、填空题
13．设，则的值为__________．
【答案】1
【解析】由，得，，所以.
14．若函数为奇函数，则________．
【答案】
【解析】根据题意，当时，为奇函数，，则
故答案为.
15．若函数存在零点，且与函数的零点完全相同，则实数的值为________.
【答案】1
【解析】不妨先令为函数零点，得到，根据函数与函数的零点完全相同，得到，进而可求出结果.
【详解】
因为函数存在零点，不妨令为函数零点，则，
又函数与函数的零点完全相同，
所以，即，所以.
故答案为1
【点睛】
本题主要考查根据函数零点相同求参数的问题，熟记复合函数的相关知识即可，属于常考题型.
16．已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为_____．
【答案】
【解析】讨论a的取值范围，分别求出两个函数的 取值范围，结合函数的值域是R，建立不等式关系进行求解即可．
【详解】
当a≤0时，不满足条件．
当a＞0时，
若0＜x＜2，则f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1），
当x≥2时，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞），
要使函数的值域为R，
则4a﹣3≤a+1，
得a≤，即实数a的取值范围是（0，]，
故答案为：（0，]
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，求出函数的各自的取值范围，结合函数的值域建立不等式关系是解决本题的关键．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者。
三、解答题
17．设．
（1）化简上式，求的值；
（2）设集合，全集为，，求集合中的元素个数．
【答案】(1)218 (2)个
【解析】（1）根据根式和对数化简求出的值
（2）求出集合,结合元素个数进行判断即可
【详解】
解：（1）原式
（2），，，
所以中元素个数为．
【点睛】
本题主要考查根式与指数幂的化简，以及集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键
18．设函数的定义域为A,集合.
(1)若,求;
(2)若集合中恰有一个整数,求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）求出的定义域确定出,把代入求出解集确定出,求出即可；（2）根据集合,分或两种情况,根据中恰有一个整数确定出的范围即可.
试题解析：（1） 由， 得：，
解得：,把代入中得：，解得，即，则.
（2）当时，，若只有一个整数，则整数只能是,,当时，若只有一个整数，则整数只能是
，综上所述，实数的取值范围是.
【考点】函数的性质，函数的定义域，集合的基本运算.
19．已知定义域为的函数是奇函数。
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围；
【答案】(1) ； (2)
【解析】（1）根据为奇函数且定义域为，利用和构造出方程，求解得到结果；（2）根据解析式可判断出单调递减；利用奇偶性和单调性将所求不等式变为，从而将问题转变为恒成立，根据判别式求得结果.
【详解】
（1）是奇函数，且定义域为
即，解得：
又得：
（2）由（1）知
在上单调递增 在上单调递减
在上单调递减
由得：
为减函数，由上式得：
即对一切有：
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求解析式、利用函数奇偶性和单调性求解不等式的问题，关键在于能够通过函数的奇偶性统一符号，利用单调性变成自变量的大小关系，从而利用二次函数的图象和性质求得结果.
20．已知函数与函数且图象关于对称
（Ⅰ）若当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数最小值．
【答案】（Ⅰ）且；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由题意，求得函数的解析式为，进而得到，再利用对数函数的性质，即求解.
（Ⅱ）由（1）得，令，得到，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，可知函数与函数且图象关于对称，
所以函数的解析式为，
所以，
又由当时，函数恒有意义，所以在上恒成立，
设，则在上为单调递减函数，
则，解得，
所以实数的取值范围.
（Ⅱ）由（1）知函数，所以
令，则，
当时，函数
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，以及对数函数与二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间和上各有一个零点，求的取值范围；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据二次函数图象以及零点存在定理列不等式，解得的取值范围，（2）根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论满足题意的条件，解不等式得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）因为函数在区间和上各有一个零点，
所以有 解得
所以的取值范围为：
（Ⅱ）要使在区间上恒成立，需满足
或或
解得：无解或 或 无解 所以
所以的取值范围为：.
【点睛】
研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.
22．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【解析】（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可.
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.
【详解】
（Ⅰ）当时，；
当时，，
.
（Ⅱ）若，，
当时，万元 .
若，，
当且仅当时，即时，万元 .
2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【点睛】
解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式.
