【数学】江苏镇江市省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一下学期期中考试试题

【数学】江苏镇江市省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一下学期期中考试试题

江苏镇江市省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一．单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.‎ ‎1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数的虚部为(　 　)‎ A．1 B． -1 C． D．‎ ‎3.已知向量,则等于( )‎ A.(5,3) B.(5,1) C.(-1,3) D.(-5,-3) ‎ ‎4.如图，已知向量，那么下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在△ABC中，a＝2，b＝，B＝，则角A为( )‎ ‎ A． B． C． D．或 ‎6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎7.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC和DC的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在△ABC中，A＝60°，b＝1， 求=( )‎ A． B． C． D．‎ 二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.漏选得3分，错选不得分）.‎ ‎9.在下列四个命题中，错误的有（ ）‎ A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是，‎ C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2‎ ‎10.已知复数，则以下说法正确的是（ ）‎ A．复数的虚部为 B．的共轭复数 C． D．在复平面内与对应的点在第二象限 ‎11.对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）‎ A．若，则 ‎ B．若，则为等腰三角形 C．若，则是钝角三角形 D． 若，，，则符合条件的有两个 ‎12.在△ABC中，下列结论正确的是( )‎ A.; ‎ B.; ‎ C. 若,则△ABC是锐角三角形 D. 若,则△ABC是等腰三角形;‎ 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13.直线l过点M(1，－2)，倾斜角为60°.则直线l的斜截式方程为______________‎ ‎14.如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为 ‎，则塔高= ‎ ‎15.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.‎ ‎16.在△中，为边的中点，,, ，则 ．‎ 四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求复数的模．‎ ‎18.已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x)，x∈R.‎ ‎(1)若⊥，求x的值；‎ ‎(2)若∥，求|－|的值．‎ ‎19.已知，，分别是中角，，的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎20.如图，已知正三角形的边长为1，设，.‎ ‎（1）若是的中点，用分别表示向量，；‎ ‎（2）求； ‎ ‎（3）求与的夹角.‎ ‎21.已知直线l过点P（3，4）‎ ‎(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程.‎ ‎(2)若直线l与轴，轴的正半轴分别交于点，求△的面积的最小值.‎ ‎22.如图，在中，，，.是内一点，且.‎ ‎（1）若，求线段的长度；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7. C 8.D 二．多项选择题 ‎9.BCD 10.CD 11.AC 12.ABD ‎ 三．填空题 ‎13. 14.20 15. 16. ‎ 四．解答题 ‎17. （1）, ……………………………………………………………2分 ‎ 因为为纯虚数，所以，解得：． …………………………………………………5分 ‎（2），，………………………………………8分 ‎．…………………………………………………10分 ‎18. (1)若⊥，则·＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，………………… 3分 整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. …………………………………5分 ‎(2)若∥，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，‎ 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. ……………………………7分 当x＝0时，＝(1，0)，＝(3，0)，－＝(－2，0)，‎ ‎∴|－|＝＝2；………………………………………… 9分 当x＝－2时，＝(1，－2)，＝(－1，2)，－＝(2，－4)，‎ ‎∴|－|＝＝2.……………………………………11分 综上，可知|－|＝2或2.…………………………………………………12分 ‎19.（1）由及正弦定理，………………………2分 得，所以，又，故.……………………………………5分 ‎（2）由及，得.………………………………………7分 由及余弦定理，‎ 得.所以，.……………………………………………10分 故.…………………………………………………12分 ‎20（1），…………………………………………………1分 ‎ ………………………………3分 ‎（2）由题意知，，且，‎ 则 …………5分 所以 …………………………………………………7分 ‎（3） 与（2）解法相同，可得…………………………………………………9分 设与的夹角为，‎ 则，…………………11分 因为 所以与的夹角为.…………………………………………………12分 ‎(范围不写或写错扣1分)‎ ‎21.（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率k=，直线方程为，‎ 即4x﹣3y=0；.…………………………………………………2分 ‎②当直线l不过原点时，∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，‎ ‎∴可设直线l的方程为：．‎ ‎∵直线l过点P（3，4），∴，解得a=5．‎ ‎∴直线l的方程为：，即2x+y﹣10=0．.………………………………………………5分 综上所述，所求直线l方程为4x﹣3y=0或2x+y﹣10=0．.…………………………………6分 ‎（2）设直线l的方程为（a＞0，b＞0），‎ 由直线l过点P（3，4）得：．.…………………………………8分 ‎∴，化为ab≥48，当且仅当a=6，b=8时取等号．.……………………………10分 ‎∴△AOB的面积==24，其最小值24．.…………………………………………………12分 ‎22.（1）因为，‎ 所以在中，，，，‎ 所以．.………………………………………2分 在中，，，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以．.…………………………………………………5分 ‎（2）设，则，‎ 在中，，，，‎ 所以，.……………………………………7分 在中，，，，，‎ 由正弦定理得，.所以 ，‎ 所以，‎ 又，所以，.…………………………………………………10分 所以 ..…………………………………………………12分