高考数学二轮复习专题能力提升训练：数系的扩充与复数的引入

高考数学二轮复习专题能力提升训练：数系的扩充与复数的引入

北京师范大学附中2014版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数，则它的共轭复数等于( )[来源:学科网ZXXK]‎ A．－2+i B．－2－i C．2－i D．2+i ‎【答案】D ‎2．已知复数，则该复数的模等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3．定义运算，则符合条件的复数对应的点( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎4．复数为纯虚数的充要条件是( )‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎5．已知i为虚数单位，则=( )‎ A． B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎6．已知i是虚数单位，则复数的虚部等于( )‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】D ‎7．的值是( )‎ A．0 B． C．i D． 2i ‎【答案】A ‎8．复数的共轭复数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎9．设复数，是的共轭复数，则( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】D ‎10．复数的虚部是( )‎ A．2i B． C．i D．‎ ‎【答案】B ‎11．若复数，，且是实数，则实数t等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎12．若角分别是锐角的两个内角，则复数表示的点P在第( )象限。‎ A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ ‎【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=____________‎ ‎【答案】‎ ‎14．定义运算，则符合条件的复数对应的点位于复平面内的第____________象限．‎ ‎【答案】一 ‎15．复数的实部为____________． ‎ ‎【答案】3‎ ‎16．计算：____________ (其中为虚数单位).‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足 其中S为实数且|S|≤2．[来源:学_科_网]‎ 求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．‎ ‎【答案】设====q，则由下式得a1(1+q+q2+q3+q4)=(1+q+q2+q3+q4)．‎ ‎∴ (a12q4－4) (1+q+q2+q3+q4)=0，故a1q2=±2，或1+q+q2+q3+q4=0．[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎⑴ 若a1q2=±2，则得±2(++1+q+q2)=S．ÞS=±2[(q+)2+(q+)－1]=±2[(q++)2－]．‎ ‎∴ 由已知，有(q++)2－∈R，且|(q++)2－|≤1．[来源:学科网]‎ 令q++=h(cosθ+isinθ)，(h>0)．则h2(cos2θ+isin2θ)－∈R．Þsin2θ=0．‎ ‎ －1≤h2(cos2θ+isin2θ)－≤1．Þ≤h2(cos2θ+isin2θ)≤，Þcos2θ>0．Þθ=kπ(k∈Z)‎ ‎ ∴ q+∈R．再令q=r(cosα+isinα)，(r>0)．则q+=(r+)cosα+i(r－)sinα∈R．Þsinα=0或r=1．‎ ‎ 若sinα=0，则q=±r为实数．此时q+≥2或q+≤－2．此时q++≥，或q++≤－．‎ 此时，由|(q++)2－|≤1，知q=－1．此时，|ai|=2． ‎ 若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上．‎ ‎⑵ 若1+q+q2+q3+q4=0．则q5－1=0，∴ |q|=1．此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上．‎ 综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．‎ ‎18．已知，且以下命题都为真命题：‎ 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；‎ 命题 存在复数同时满足且.‎ 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】由命题为真，可得;‎ 由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，‎ 于是由图形不难得到，‎ 故两个命题同时为真的实数的取值范围是.‎ ‎19．（1）已知复数当实数取什么值时，复数是：‎ ‎ ①零； ②纯虚数； ③‎ ‎ (2）设复数满足,且是纯虚数,求.‎ ‎【答案】 (1) ①m=1；②m=0；③m=2‎ ‎(2）‎ ‎20．设复数，当取何实数时？‎ ‎ (1）是纯虚数；‎ ‎ (2）对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎【答案】（1）是纯虚数当且仅当，‎ ‎ 解得，‎ ‎ (2）由 ‎ ‎ ‎ 所以当3时，[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎ 对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎21．求同时满足下列条件的所有的复数z, ①z+∈R, 且10时, x+≥2>6．故y=0时, ①无解．当x2+y2=10时, ①可化为1<2x≤6, 即

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