【数学】2019届一轮复习北师大版概率统计学案

【数学】2019届一轮复习北师大版概率统计学案

‎ 讲案【新课标版文 数学】‎ ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【古典概型】【2017天津，改编】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎2.【几何概型】【2016高考新课标2改编】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人 到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.‎ ‎3.【概率与其他知识的交汇】【2017课标3，文18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位 ℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表 ‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题．学 ‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2017山东，文】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【趁热打铁】已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①当时，，情况为符合要求的只有一种；学 ‎ ‎②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况 表示 ‎ ‎，9种情况满足的只有三种 综上所述得 使得函数在区间为增函数的概率为 .‎ ‎【例2】在区间上任取一数，则的概率是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C.‎ ‎【趁热打铁】记集合构成的平面区域分别为，现随机地向中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入中的概率为_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【例3】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动 对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表 ‎ 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 收费比例 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.80‎ 该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表 ‎ 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 频数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题 ‎ ‎(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；‎ ‎(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；‎ ‎(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．‎ ‎【答案】种 ‎【趁热打铁】【2016高考山东文数】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下 ‎ ①若，则奖励玩具一个； ‎ ②若，则奖励水杯一个；‎ ③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎（I）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】（）.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 学 ‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1. 求复杂互斥事件概率的方法 一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．‎ ‎2.求古典概型的概率的基本步骤 算出所有基本事件的个数；求出事件包含的基本事件个数；代入公式，求出；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. ‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示 ‎ ‎(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；‎ ‎(2)现从样本中月收入在[10，20)和[60，70)的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．‎ ‎【规范解答】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，‎ ‎【反思提高】解答概率与统计综合题的2个注意点 ‎(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．‎ ‎(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．‎ ‎【误区警示】求解古典概型问题的关键 先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算． . ‎ 考向二 统计与统计案例 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【分层抽样】【2017·江苏卷】‎ 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.‎ ‎【答案】18 ‎ ‎【解析】丙种型号的产品在所有产品中所占比例为＝，所以应从丙种型号的产品中抽取60×＝18(件)．‎ ‎2．【系统抽样】【2014·广东卷改编】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为________．‎ ‎【答案】25 ‎ ‎【解析】由题意得，分段间隔是＝25. ！ ‎ ‎3.【茎叶图、中位数、平均数】【2017·山东卷改编如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位 件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为________． ‎ ‎【答案】3，5.[ 学+ + ]‎ ‎4.【对标准差、平均数、中位数的理解】【2017·全国卷Ⅰ改编] 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位 g)分别为x1，x2，…，xn，给出下列指标 ①x1，x2，…，xn的平均数；②x1，x2，…，xn的标准差；③x1，x2，…，xn的最大值；④x1，x2，…，xn的中位数．其中所给出的指标中可以用 评估这种农作物亩产量稳定程度的是________．(填序号) ‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】根据标准差的概念，可知标准差是刻画一组数据波动与稳定程度的一个量，所以选②.‎ ‎5.【回归直线方程及其应用】【2017·山东卷改编】为了研究某班学生的脚长x(单位 厘米)和身高y(单位 ‎ 厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋.已知xi＝255，yi＝1600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________．‎ ‎【答案】166‎ ‎【解析】易知x＝＝22.5，y＝＝160.因为＝4，所以160＝4×22.5＋，解得＝70，所以回归直线方程为＝4x＋70，当x＝24时，＝96＋70＝166.‎ ‎6．【对频率分布直方图的认识】【2017·北京卷改编】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，整理得到如图所示的频率分布直方图，已知样本中分数小于40的学生有5人，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为________． ‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎7．【2×2列联表及独立性检验公式】【2017·全国卷Ⅱ改编】海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，得到如下列联表 ‎ ‎[ ]‎ 箱产量＜50 g 箱产量≥50 g 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 根据列联表判断________(填“有”或“没有”)99 的把握认为箱产量与养殖方法有关． ‎ ‎【答案】有 ‎【解析】 ＝≈15.705>6.635，‎ ‎∴有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 从近五年高考试题 看,高考对概率的考查重点是基本概念和基本公式,如互斥事件的概率、古典概型、几何概型等;高考对统计与统计案例的考查密度小,有增强的趋势,考查的重点有用样本估计总体、回归分析和独立性检验等. 概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题，这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.备考重点是互斥事件的概率、古典概型、几何概型、用样本估计总体、回归分析、独立性检验等.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】已知关于 的二次函数 ‎（Ⅰ）设集合和，分别从集合中随机取一个数作为和， 在区间上是增函数的概率．‎ ‎（Ⅱ）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ） .[ 学* * *X*X* ]‎ 由，求得．所以区域内满足且的面积为．‎ 所以所求概率．‎ ‎【趁热打铁】为迎接校运动会的到 ，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动)．学 ‎ ‎(1)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；‎ ‎(2)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护)，任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？‎ ‎【答案】(1)6(人)．(2).‎ ‎【例2】【2018届北京市石景山区高三第一学期期末】某学校高三年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.‎ ‎（Ⅰ）完成下面的列联表；‎ 不喜欢运动 喜欢运动 合计 女生 ‎50‎ 男生 合计 ‎100‎ ‎200‎ ‎（Ⅱ）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段和的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 两人的运动时间恰好在同一区间段的可能情况有7种.‎ ‎ .‎ ‎【趁热打铁】【2018届重庆市九校联盟高三上第一次联考】某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位 小时），活动时间按照、、…、从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；‎ ‎（3）在、这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.学 ‎ ‎【答案】(1) (2) （3）‎ ‎【例3】【2018届湖南师大附中高三上月考（五）】在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数， 表示这个分店的年收入之和．‎ ‎（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（百万元）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位 百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？‎ 参考公式 ‎ ‎， ， ．‎ ‎【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．‎ ‎【趁热打铁】某商场对A商品30天的日销售量y(件)与时间t(天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y(件)与时间t(天)之间具有线性相关关系．‎ 时间t(天),2,4,6,8,10‎ 日销售量y(件),38,37,32,33,30‎ ‎(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程＝t＋.‎ ‎(2)已知A商品30天内的销售价格 (元)与时间t(天)的关系为 ＝ 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t为何值时，A商品的日销售额最大．参考公式 ＝，＝.‎ ‎【答案】(1)＝－t＋40.(2)预测当t＝20时，A商品的日销售额最大，最大值为1600元．‎ ‎【例4】【2017课标II，文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个 箱，测量各箱水产品的产量（单位 g）, 其频率分布直方图如下 ‎ （1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 g”，估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 ‎ 箱产量＜50 g 箱产量≥50 g 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。‎ 附 ‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎ ‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）0.62.（2）有把握（3）新养殖法优于旧养殖法 ‎【解析】‎ 箱产量＜50 g 箱产量≥50 g 旧养殖法 ‎ ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎ 2= ‎ 由于15.705＞6.635,故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45 g到50 g之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.‎ ‎【趁热打铁】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下 ‎ 未发病 发病 合计 未注射疫苗 ‎20‎ 注射疫苗 ‎30‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎[ 学 ]‎ 现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求列联表中的数据,,,的值；‎ ‎（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？‎ ‎（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？‎ ‎0.8 -‎ ‎0.7 -‎ ‎0.6 -‎ ‎0.5 -‎ ‎0.4 -‎ ‎0.3 -‎ ‎0.2 -‎ ‎0.1 -‎ 未注射 注射 附 ‎ ‎0.8 -‎ ‎0.7 -‎ ‎0.6 -‎ ‎0.5 -‎ ‎0.4 -‎ ‎0.3 -‎ ‎0.2 -‎ ‎0.1 -‎ 未注射 注射 ‎0.66‎ ‎0.25‎ ‎（Ⅲ） ．‎ 所以至少有99.9 的把握认为疫苗有效.‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围 总体中的个体较少．‎ ‎2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围 总体中的个体数较多．‎ ‎3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围 总体由差异明显的几部分组成．‎ ‎4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中 ‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；学 ‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎5.求回归直线方程的关键 ‎①正确理解计算， 的公式和准确的计算．‎ ‎②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图 确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．‎ ‎6.独立性检验的关键 ‎①根据2×2列联表准确计算 2，若2×2列联表没有列出 ，要先列出此表．‎ ‎② 2的观测值 越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】【2017北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组 [20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图 ‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数 不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【规范解答】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为.‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.学 ‎ 所以总体中分数在区间内的人数估计为.‎ ‎【反思提升】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图 估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.‎ ‎2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎【误区警示】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．‎