【数学】2018届一轮复习北师大版专题09三角化简技巧学案

【数学】2018届一轮复习北师大版专题09三角化简技巧学案

一．陷阱类型 ‎1.用已知角表示未知角 ‎2.降幂公式的灵活应用 ‎3.“1”的变通 ‎4.特殊角的替换作用 ‎5.角的一致性 ‎6.辅助角公式的灵活应用 ‎7.正切公式的灵活应用 ‎8.正切变两弦 ‎9. 与的关系 二．防陷阱演练 ‎1.用已知角表示未知角 例1．已知， ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.选A.‎ ‎【防陷阱措施】用题目所给的已知角表示未知角能够简化解题步骤，节约解题时间 练习1．设，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习2．若 ，则tan2α=（　　）‎ A. ﹣3 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以 ，则 ；故选D.学 ‎ 练习3. 若是锐角，且满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是锐角，且，所以也为锐角，‎ 所以.‎ ‎.‎ 故选B.‎ 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下 ，尤其是要利用角的终边确定好正负.学 ‎ 练习4. 已知， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习5. 已知， ，且， ,则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵<α<π，∴π<2α<2π.‎ ‎∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<，而sin(2α－β)＝>0，‎ ‎∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.‎ 又－<β<0且sin β＝，‎ ‎∴cosβ＝，‎ ‎∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]‎ ‎＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sin β ‎.‎ 又cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.‎ 又，∴sin α＝.‎ ‎2.降幂公式的灵活应用 例2. 已知是第一象限的角，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【防陷阱措施】当幂比较高时，注意先使用平方关系把幂降下 ‎ 练习1‎ ‎3.“1”的变通 例3若=,则=‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵==.‎ 故选A 练习1已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）-3（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可． （2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．‎ ‎4.特殊角的替换作用 例4. 等于（ ）‎ A. B. C. D. [ :学 ]‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ 练习1．‎ A. B. -1 C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 故选：D.‎ ‎5.角的一致性 例5. 的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习1=______________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 因为，所以.‎ 所以原式为-1.‎ 答案为-1.‎ 练习2__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 故答案为 练习3．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，及，‎ 可得，所以.‎ 练习4．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎.‎ 故答案为： ‎ 练习5. 求值： ________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 ‎ 故答案为4‎ 练习6__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。‎ 练习7．化简的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式 ，故答案为.‎ 练习8求的值.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.‎ 试题解析：‎ 原式 ‎ [ :学 ]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.辅助角公式的灵活应用 例6. 已知，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎7.正切公式的灵活应用 例7. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 所以 ‎ 所以原式等于．‎ 故选D ‎【防陷阱措施】巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系．‎ 练习1在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令， ， ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比， ， ，由，又 ， ， ， ，故答案为 ‎.‎ 练习2________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ,，‎ ‎，故答案为.‎ 练习3．__________． ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】注意到可化为.项证明一般结论如下： ，由于，故原式.‎ ‎8.正切变两弦 例8的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ，故选C.‎ ‎【防陷阱措施】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求解.‎ 练习1．（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D.‎ ‎9. 与的关系 例9. 已知，，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 练习1已知， ，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ， ，因为所以舍去，所以，所以， ，故答案为.‎ 三．高考真题演练 ‎1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：三角恒等变换. ‎ ‎【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：‎ ‎(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．‎ ‎(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．‎ ‎2.【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎【考点定位】三角函数求值.‎ ‎【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.‎ ‎3.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知，‎ ‎＝，选C.‎ ‎【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.‎ ‎【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．‎ ‎4.【2015陕西理6】“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．学 ‎ ‎5.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：化简三角函数的解析式：‎ ‎，‎ 由自变量的范围：可得：，‎ 当时，函数取得最大值1。‎ ‎【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。‎ ‎【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。‎ ‎6.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.‎ 若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，，‎ 这样. ‎ ‎【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.‎ ‎【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 .‎ ‎7.【2017江苏，5】 若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】．故答案为．‎ ‎【考点】两角和正切公式 ‎【名师点睛】三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎8.【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】两角差正切公式 ‎【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上 看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎9.【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】法一、.‎ 法二、.‎ 法三、.‎ ‎【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.‎ 有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【名师点睛】这是一个 自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎10.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎【答案】，，.‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数的性质，属于中档题，首先利用二倍角的 降幂变形对的表达式作等价变形，其次利用辅助角公式化为形如的形式，再由正 弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间，三角函数是高考的热点问题，常考查的知识点有三角 恒等变形，正余弦定理，单调性周期性等.‎