湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题

湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题

数学试卷 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.‎ ‎2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 1． 已知是平行四边形的一条对角线，为坐标原点，，，若点满足 ，则点的坐标为 ‎ ‎ 　　 　 ‎ 2． 已知数列和都是等差数列，若则等于 ‎　　 　 　 ‎ ‎3．设,若在方向上的投影为, 且在方向上的投影为, 则和的夹角等于 ‎ ‎ ‎4.设a＜b＜0，c＞0，则下列不等式中不成立的是 ‎ ‎ 5． 已知等差数列和的前项和分别为和,且，则的值为 ‎ ‎ ‎6．中， 则角为 ‎ ‎ ‎7.当时，关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是 ‎ ‎ ‎8．已知，，则的最小值是 ‎ ‎ ‎9.在中，角所对的边分别为且，若的面积为，则的最小值为 ‎ ‎ ‎10.设等差数列的前项和为，若则满足的正整数为 ‎ ‎ ‎11.为三角形中不同两点,若,,则为 ‎ ‎ ‎12．已知点为的重心，设的内角的对边为且满足向量，若，则实数 ‎ ‎ 第II卷 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ 13． 如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则两处岛屿间的距离为__________海里．‎ ‎14．若是正项递增等比数列，表示其前项之积，且，则当取最小值时，的值为 . ‎ ‎15.已知中，点满足，过的直线与直线，分别交于点，，.若则的最小值为________．‎ ‎16．已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足则__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：‎ ‎（1）若求实数的值；‎ ‎（2）设且满足，求 ‎18.(本小题满分12分）在中，点在线段上，且,‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求和的长.‎ ‎19.(本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(1)若关于的不等式的解集是，求实数的值；‎ ‎(2)若解关于的不等式 ‎20.(本小题满分12分）已知为单调递增的等差数列，设数列满足 ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎21.(本小题满分12分）在锐角三角形中，分别为角的对边，且 ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，求面积的取值范围．‎ ‎22．(本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，数列满足 ‎，且.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.‎ 数学参考答案：‎ 选择题： 1-5 C B A D D 6-10 C A A B B 11-12 C D 填空题：13． 14．15 15. 16．‎ 解答题：‎ ‎17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：‎ ‎（1）若求实数的值；‎ ‎（2）设且满足，求 ‎（1），，；（5分）‎ ‎（2） 或.（10分）‎ ‎18.(本小题满分12分）在中，点在线段上，且,‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求和的长.‎ 试题解析：（1）（4分）‎ ‎(2）设则在中，,‎ 即①（6分）‎ 在中，，由 得…②（10分）由①、②解得，所以（12分）‎ ‎19.(本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(1)若关于的不等式的解集是，求实数的值；‎ ‎(2)若解关于的不等式 解：(1)∵不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，‎ ‎∴可得解得（5分）‎ ‎(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，‎ ‎①当a＝0时，f(x)＞0，即2x＋2＞0，∴x＞－1（6分）‎ ‎②a＞0，∴(x＋1)(ax－a＋2)＞0⇔(x＋1)＞0，（7分）‎ ‎(ⅰ)当－1＝，即a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；（8分）‎ ‎(ⅱ)当－1＞，即0＜a＜1时，解集为{x|x＜或x＞－1}；（10分）‎ ‎(ⅲ)当－1＜，即a＞1时，解集为.（12分）‎ 20. ‎(本小题满分12分）已知为单调递增的等差数列，设数列满 ‎（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和 ‎（1）设的公差为，∵为单调递增的等差数列，∴且由得解得（4分）∴，，∴（6分）‎ ‎（2）‎ 由……①‎ 得……②‎ 得，∴，（9分）‎ 又∵不符合上式，∴（10分）‎ 当时，‎ ‎∵符合上式，∴（12分）‎ ‎21.(本小题满分12分）在锐角三角形,中分别为角的对边，且 ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，求面积的取值范围．‎ 解：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cos A①，‎ ‎∵3A＝2A＋A，∴sin 3A＝sin(2A＋A)＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A②，（2分）又sin 2A＝2sin Acos A③，‎ 将①②③代入已知，得2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋，‎ 整理得sin A＋cos A＝，即sin＝，（5分）又A∈，∴A＋＝，即A＝.（6分）‎ ‎(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴－B∈且B∈，解得B∈，（8分）‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，∴c＝＝＝＋1，（10分）‎ 又B∈，∴∈(0，)，∴c∈(1，4)，∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈.（12分）‎ ‎22．(本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（1）由已知可得.当时，，，‎ 所以.显然也满足上式，所以.（2分）‎ 因为，所以.又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 所以.（4分）‎ ‎（2）由（1）可得，所以.所以，‎ 所以，‎ 两式作差，得所以. （8分）‎ 不等式，化为.当为偶数时，则.因为数列单调递增，所以.所以.当为奇数时，即，即.‎ 因为单调递减，所以.所以.综上可得：实数的取值范围是.（12分）‎