2018-2019学年湖南省湘东六校高一4月联考数学试题

2018-2019学年湖南省湘东六校高一4月联考数学试题

‎2018-2019学年湖南省湘东六校高一4月联考数学试题 总分：150分 时量：120分钟 ‎ 一、选择题（本大题共102小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.直线与直线垂直,则a等于(  )‎ A.1 B.－1 C.±1 D. －2 ‎ ‎3．设（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4． P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A．( 1, 2 ) B．( e, 3 ) C．( 2，e ) D．( e，＋∞ )‎ ‎6．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：①；‎ ‎②⊥；③⊥；④．‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①③ B． ②③④ C．②④ 　D．①②③‎ ‎7．设，则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在 之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为（ ）‎ A．39 B．35 C．15 D．11‎ ‎9. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( 　).‎ A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 ‎10．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）‎ A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 ‎11．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎12.定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则 ( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知 ‎ ‎14．函数且的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则___________．‎ ‎15．若曲线与直线相交于A，B两点，若｜AB|=,则=_______. ‎ ‎16．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球 O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为___________．‎ 三、解答题（本题共6道小题，共70分）‎ ‎18、已知全集U=R，集合，.‎ ‎（Ⅰ）求集合；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数a的取值范围．‎ ‎19、某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图如图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（用来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．‎ 甲班 茎 乙班 ‎　‎ ‎12‎ ‎3 6 8‎ ‎　‎ ‎13‎ ‎0 3‎ ‎ 7 4 3‎ ‎14‎ ‎1‎ ‎ 4 4 2‎ ‎15‎ X 8‎ ‎9 8 7 0 ‎ ‎16‎ ‎1 3‎ ‎ 8‎ ‎17‎ ‎5 6‎ ‎ 6‎ ‎18‎ ‎3‎ ‎(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值； (2)成绩在175分以上(含175分)为“优秀”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．‎ ‎20、如图，在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,D是AC中点，平面SAC⊥平面ABC, SA=SC=2,M、 N分别是AB, SB的中点.‎ ‎(1) 求证:AC⊥SB. (2) 求三棱锥C-MNB的体积.‎ ‎21、已知以点C（t,）(,)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点。‎ (1) 求证：△OAB的面积为定值；‎ (2) 设直线与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.‎ ‎ ‎ ‎22、已知函数，．‎ 若函数为奇函数，求实数a的值；‎ 设函数，且，已知对任意的恒成立，求a的取值范围．‎ 数学参考答案 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共102小题，每小题5分，共60分）‎ BCCBC AADBB DD 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、27 15、 16、‎ 三、解答题（本题共6道小题，共70分）‎ ‎17、（1）原式 ……………………5分 ‎ ‎ ‎……………………5分 ‎18、（1）由得 所以P= …………………3分 ‎=（0,6） ……………………5分 ‎（2）当时，‎ 得符合题意。 ……………………7分 当时，且，‎ 解得 …………………10分 综上：的取值范围为 ………………12分 ‎19、（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为(154+160)＝157.........2分 乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；..............4分 （Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”． 设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3． 则从5人中选出3人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），‎ ‎（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），‎ ‎（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况，.............7分 其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），‎ ‎（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种..........10分 由古典概型概率计算公式可得P（A）=...............12分 ‎20、(1) 因为SA=SC, AB=BC,‎ 所以AC⊥SD且AC⊥BD,‎ 所以AC⊥平面SDB.‎ 又SB⊂平面SDB,所以AC⊥SB. -----------6分 ‎(2) 因为SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC, SD⊂平面SAC,‎ 所以SD⊥平面ABC.又SD=2, N是SB的中点,‎ 所以,N到平面ABC的距离为,‎ 又S△MBC=×2×2=2. ‎ 所以---------- 12分 ‎21、(1)∵圆C过原点O，．‎ 设圆C的方程是 ，[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 令，得；令，得，‎ ‎∴S△OAB=|OA|·|OB|=×||×|2t|=4，即：△OAB的面积为定值．……………5分 ‎(2）垂直平分线段．‎ ‎，直线的方程是．‎ ‎，解得：， ……………8分 当时，圆心C的坐标为，，‎ 此时C到直线的距离，‎ 圆C与直线相交于两点， ……………10分 当时，圆心C的坐标为(－2, －1)，‎ 此时C 到直线的距离，‎ 圆C与直线相交，所以不符合题意舍去.‎ 所以圆C的方程为 …………………12分 ‎22、解为奇函数 ‎ 即：‎ 化简得： ……………4分 ‎（2）‎ 即： ‎ 化简得： ……………6分 设，‎ 则 ‎ 对任意的恒成立 对任意，不等式恒成立 即：，又 ……………9分 设，，即 ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ 的取值范围为 ……………12分