数学卷·2018届河北省唐山市曹妃甸一中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省唐山市曹妃甸一中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省唐山市曹妃甸一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．已知直线x﹣y﹣2=0，则该直线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．已知直线l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，那么l2与平面α的关系是（　　）‎ A．l1∥α B．l2⊥α C．l2∥α或l2⊂α D．l2与α相交 ‎3．“a＞0”是“|a|＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎5．以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=9‎ ‎6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（　　）‎ A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（　　）‎ A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣2π D．‎ ‎9．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）‎ A． B．6 C． D．12‎ ‎10．如果一个正四面体的体积为dm3，则其表面积S的值为（　　）‎ A．16dm2 B．18 dm2 C． dm2 D． dm2‎ ‎11．已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（　　）‎ A．12π B．16π C．18π D．‎ ‎12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是　　．‎ ‎14．如图，在棱长为2的正方体中，直线AC1和B1C的夹角是　　‎ ‎15．椭圆2x2+3y2=1的焦距为　　．‎ ‎16．若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）‎ ‎17．求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：‎ ‎（1）AC⊥BC1；‎ ‎（2）AC1∥平面B1CD．‎ ‎19．已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）； 若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎20．已知过点P（3，2）的圆C的圆心在y轴的负半轴上，且圆C截直线l：2x﹣y+3=0所得弦长为4，求圆C的标准方程．‎ ‎21．在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=．（如图所示）‎ ‎（1）证明：平面SBC⊥平面SAC；‎ ‎（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；‎ ‎（3）求三棱锥的体积VS﹣ABC．‎ ‎22．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省唐山市曹妃甸一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．已知直线x﹣y﹣2=0，则该直线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】设该直线的倾斜角为α，利用斜率与倾斜角的关系k=tanα即可得出．‎ ‎【解答】解：设该直线的倾斜角为α，由直线x﹣y﹣2=0，变形为．‎ ‎∴，‎ ‎∵α∈[0°，180°），∴α=30°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知直线l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，那么l2与平面α的关系是（　　）‎ A．l1∥α B．l2⊥α C．l2∥α或l2⊂α D．l2与α相交 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】以正方体为载体，列举出所有情况，能求出结果．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 取AB=l1，CD=l2，‎ 当取面CDD1C1为平面α时，‎ ‎∴满足l1∥l2，l1∥α，此时l2⊂α；‎ 当取面B1A1D1C1为平面α时，‎ ‎∴满足l1∥l2，l1∥α，此时l2∥α．‎ ‎∴当直线l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α时，‎ l2与平面α的关系是l2∥α或l2⊂α．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．“a＞0”是“|a|＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件．‎ ‎【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．‎ ‎【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，‎ ‎∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选A ‎　‎ ‎4．已知焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a+b=10，2c=4，a2﹣b2=c2，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意可得a+b=10，2c=4，‎ a2﹣b2=c2，‎ 解方程可得a=6，b=4．‎ 即有椭圆方程为+=1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=9‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出半径即可求得圆的方程．‎ ‎【解答】解：r==3，所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．‎ ‎【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ ‎∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．‎ 在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（　　）‎ A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．‎ ‎【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．‎ 当k﹣3≠0时，由 =≠，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（　　）‎ A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣2π D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．‎ ‎【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，‎ 正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，‎ 则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，‎ 则该几何体的体积为V=8﹣，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）‎ A． B．6 C． D．12‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，‎ 可得△ABC的周长为4a=，‎ 故选C ‎　‎ ‎10．如果一个正四面体的体积为dm3，则其表面积S的值为（　　）‎ A．16dm2 B．18 dm2 C． dm2 D． dm2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】根据棱长为a的正四面体的体积V=a3，求出棱长，再由棱长为a的正四面体的表面积S=a2，可得答案．‎ ‎【解答】解：如果一个正四面体的棱长为a．‎ 则体积V=a3=dm3，‎ 故a=4dm，‎ 则其表面积S=a2=dm2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（　　）‎ A．12π B．16π C．18π D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R=，‎ ‎∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，‎ ‎∴得r2﹣r2=3，得r2=．‎ 球的表面积S=4πr2=4π×=π．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）‎ ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，‎ ‎∵•=0，‎ ‎∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．‎ 又M点总在椭圆内部，‎ ‎∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．‎ ‎∴e2=＜，∴0＜e＜．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是　y=﹣2x+1　．‎ ‎【考点】直线的斜截式方程．‎ ‎【分析】要求的直线垂直于直线y=x，可得要求直线的斜率为﹣2，利用斜截式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵要求的直线垂直于直线y=x，‎ ‎∴要求直线的斜率为﹣2，‎ 由斜截式可求得l的方程为：y=﹣2x+1．‎ 故答案为：y=﹣2x+1．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在棱长为2的正方体中，直线AC1和B1C的夹角是　90°　‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先根据条件得到侧面BCC1B1是正方形，进而得到对角线垂直，再结合AB⊥B1C；得到B1C⊥平面ABC1，进而得到结论．‎ ‎【解答】解：连接BC1，‎ 因为棱长为2的正方体，‎ 所以侧面BCC1B1是正方形；‎ 所以：BC1⊥B1C；‎ 又AB⊥B1C；‎ 且AB∩BC1=B；‎ ‎∴B1C⊥平面ABC1，‎ ‎∴AC1⊥B1C．‎ 即异面直线AC1和B1C所成的角是90°．‎ 故答案为：90°．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆2x2+3y2=1的焦距为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用椭圆的标准方程化简求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆2x2+3y2=1，可得a2=，b2=，则c==．‎ 椭圆2x2+3y2=1的焦距为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】曲线y=表示一个半圆，当直线y=x+m与半圆相切时，求得m的值；当直线y=x+m过点（﹣2，0）时，求得m的值；当直线y=x+m过点（2，0）时，求得m的值，数形结合可得m的范围．‎ ‎【解答】解：曲线y=即 x2+y2=4 （y≥0），‎ 表示以原点为圆心，半径等于2的半圆，如图．‎ 当直线y=x+m与半圆相切时，由2=，可得 m=2，或m=﹣2（舍去）．‎ 当直线y=x+m过点（﹣2，0），‎ 把点（﹣2，0）代入直线y=x+m可得0=﹣2+m，故m=2．‎ 当直线y=x+m过点（2，0），‎ 把点（2，0）代入直线y=x+m可得，0=2+m，故m=﹣2．‎ 数形结合可得，当直线y=x+m与曲线y=有且只有 一个公共点时，‎ 则m的取值范围是：，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）‎ ‎17．求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】设所求直线的方程为y=x+b，由此求出纵截距y=b，横截距x=﹣b，由已知得||=6，由此能求出直线方程．‎ ‎【解答】解：设所求直线的方程为y=x+b，‎ 令x=0，得y=b，‎ 令y=0，得x=﹣b，‎ 由已知，得||=6，‎ 即b2=6，解得b=±3．‎ 故所求的直线方程是y=x±3，即3x﹣4y±12=0．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：‎ ‎（1）AC⊥BC1；‎ ‎（2）AC1∥平面B1CD．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；‎ ‎（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理 即可得证．‎ ‎【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴CC1⊥AC，‎ 又AC⊥BC，BC∩CC1=C，‎ ‎∴AC⊥平面BCC1B1‎ ‎∴AC⊥BC1．‎ ‎（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，‎ ‎∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，‎ 又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，‎ ‎∴AC1∥平面B1CD．‎ ‎　‎ ‎19．已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）； 若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由命题p成立得x的范围为A，由命题q成立求得x的范围为B，由题意可得A⊊B，可得关于m的不等关系式，由此求得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由p：﹣2≤x≤10，记A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}．‎ 由q：x2﹣2x+1≤m2即x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0），得 1﹣m≤x≤1+m．…‎ 记B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，‎ ‎∵¬p是¬q的必要不充分条件，‎ ‎∴p是q的充分不必要条件，即 p⇒q，且 q不能推出 p，∴A⊊B．…‎ 要使A⊊B，又m＞0，则只需 ，…‎ ‎∴m≥9，‎ 故所求实数m的取值范围是[9，+∞）． …‎ ‎　‎ ‎20．已知过点P（3，2）的圆C的圆心在y轴的负半轴上，且圆C截直线l：2x﹣y+3=0所得弦长为4，求圆C的标准方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】设圆心C（0，﹣b），b＞0，则半径r=CP=，再由条件利用弦长公式、点到直线的距离公式求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：设圆心C（0，﹣b），b＞0，则半径r=CP=，‎ 再根据圆C截直线l：2x﹣y+3=0所得弦长为4，可得弦心距d==，‎ 即 =，求得b=2，可得圆心为（0，﹣2），半径为 5，‎ 故要求的圆的方程为 x2+（y+2）2=25．‎ ‎　‎ ‎21．在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=．（如图所示）‎ ‎（1）证明：平面SBC⊥平面SAC；‎ ‎（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；‎ ‎（3）求三棱锥的体积VS﹣ABC．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；由三视图求面积、体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）首先根据已知条件证明SA⊥平面ABC，得到SA⊥BC，从而利用线面垂直判断证明BC⊥平面SAC；‎ ‎（2）∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．利用数量关系即可求得二面角；‎ ‎（3）三棱锥S﹣ABC以SA为高，△ABC为底面，利用体积公式直接可求出体积；‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，‎ ‎∴SA⊥AB，SA⊥AC．‎ 又AB∩AC=A，‎ ‎∴SA⊥平面ABC．‎ ‎∵BC⊂平面ABC ‎∴SA⊥BC；‎ 由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵SA，AC在平面SAC内相交于A点，‎ ‎∴BC⊥平面SAC．‎ ‎∵BC⊂平面SBC ‎∴平面SBC⊥平面SAC；‎ ‎（2）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC．‎ ‎∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．‎ 在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10．‎ 在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cos∠SCA=，‎ ‎∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°．‎ ‎（3）解：在Rt△SAC中，‎ ‎∵SA=，‎ S△ABC=•AC•BC=×5×5=，‎ ‎∴VS﹣ABC=•S△ACB•SA=．‎ ‎　‎ ‎22．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题设知， =，b=1，‎ 结合a2=b2+c2，解得a=，‎ 所以+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），‎ 代入椭圆方程+y2=1，‎ 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，‎ 由已知得（1，1）在椭圆外，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．‎ 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+‎ ‎=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•‎ ‎=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．‎ 即有直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日