2017-2018学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期第二次（1月）月考 数学（文）

2017-2018学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期第二次（1月）月考 数学（文）

泉港一中2017-2018学年上学期第二次月考 高二数学（文科）‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．‎ ‎1．命题“”的否定是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2．命题“若，则”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是 ‎ A.0 B.2 C.3 D.4 ‎ ‎3.已知双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有 ‎ A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个 ‎6．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎7.已知条件p：,条件q: ，则 A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条 ‎ C． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 ‎8.已知是的导函数，即 ，则等 A． B．‎ C． D．‎ 9. 抛物线在点处的切线方程为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.若椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．函数f(x)＝2x3＋x2－x＋1的图象与x轴交点个数为_‎ A．0　 B 1　 C．　2　　D．3‎ ‎12．已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物 线的焦点，若，则k的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．‎ ‎13．抛物线的焦点到准线的距离是________．‎ ‎14．若函数在处取极值，则 ‎ ‎15．已知函数 在R上是减函数，则实数a的取值范围是___________.‎ ‎16. 已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点， 是坐标原点．则 中点的轨迹方程_______. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎18.（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）。‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知命题：方程表示焦点在y轴上的椭圆； 命题：双曲线的离心率，‎ ‎(I)若为真命题，求实数的取值范围 ‎(II)若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求点到曲线上的点的距离的最大值和最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）试用表示A、B之间的距离；‎ ‎（3）当时，求的余弦值.‎ 参考公式：.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 定义在R上的函数同时满足以下条件：‎ ‎①是偶函数；②f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数 ‎③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋5垂直．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)<，求实数m的取值范围。‎ ‎2017-2018学年泉港一中高二（上）第2次月考 数学试卷（文科）参考答案 ‎　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D A C B A D C A B C 二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.2‎ ‎ ‎ ‎14.8‎ ‎【解析】‎ 试题分析： =．因为f（x）在1处取极值，所以2是f′（x）=0的根，将x=2代入得a=8．故答案为8 .‎ 考点：利用导数研究函数的极值．‎ ‎15 ‎ ‎16. ‎ ‎（Ⅰ）法一：设， ， ‎ 直线的方程为： 则 ‎ ‎（1）（2）得： 所以， ‎ 即： ， 所以 所以代入所以即为所求 法二：设， ， ‎ 则 ‎（1）-（2）得： ‎ 即： 即： 所以即为所求 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 试题解析：（1）由，得．‎ 当时，得， ‎ 解之，得．‎ ‎（2）因为．‎ 从而，列表如下：‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 有极大值 ‎↘‎ 有极小值 ‎↗‎ 所以的单调递增区间是和；‎ 的单调递减区间是．‎ ‎18. （本小题满分12分）（Ⅰ）众数，‎ 解析】试题分析：（1）借助题设条件将极坐标和参数方程与直角坐标互化求解；（2）借助题设条件运用直线与圆的位置关系建立不等式求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由消去参数得：，‎ ‎∴直线的普通方程为。由得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的平面直角坐标方程为。‎ ‎（2）∵直线与圆恒有公共点，‎ ‎∴。解得：或。‎ ‎∴的取值范围是。‎ 考点：极坐标参数方程与直角坐标之间的关系等有关知识的综合运用。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：若p为真命题则 ‎ ‎ 所以； --------------2分 ‎ 若q为真命题则 且 ‎ 所以 --------------4分 ‎（1）若 则 无解 ………………8分 ‎（2）若 则 ＜15 ‎ ‎ 故m的取值范围为＜15 ………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】(I)由极坐标根据公式,可得M的直角坐标为(4,4).‎ ‎(II)由于M在圆C外，所以最小距离应等于|MC|-r.‎ 解：（Ⅰ）由点的极坐标为得点的直角坐标为，……2分 所以直线的直角坐标方程为．………………………………5分 ‎（Ⅱ）由曲线的参数方程 化为普通方程为，……………………………8分 圆心为，半径为．10分 由于点M在曲线C外，故点到曲线上的点的距离最小值为　12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：6．解：（1）焦点，过抛物线焦点且倾斜角为的直线方程是. …（3分）‎ ‎（2）由. ‎ ‎……（8分）‎ ‎（3）由.‎ ‎ . ……（13分）‎ ‎ ∴的大小是与无关的定值. ……（14分） ‎ ‎【解析】略 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞‎ ‎)上是增函数，‎ ‎∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0 ①‎ 由f′(x)是偶函数得：b＝0 ②‎ 又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1 ③‎ 由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分 ‎(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－xlnx－x3＋x …………………………6分 设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………8分 设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝ ……………10分 ‎∴M(x)在[1，e]上递减，‎ ‎∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减 于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ‎ ‎∴M(x)≥M(e)＝2e－e3‎ 于是有m>2e－e3为所求． ……………12分