江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一下学期期中测试数学试题

江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一下学期期中测试数学试题

江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试 高一数学 命题人： 审核人：‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求. ‎ ‎1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），‎ 绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）‎ A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 ‎2． 某中学有学生2500人，其中男生人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的 时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为的样本，若样本 中女生恰有20人，则的值为（ ）‎ A．30 B．50 C．70 D．80 ‎ ‎3． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，‎ 则a∶b∶c等于（ ）‎ A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶∶2‎ ‎4． △ABC中，若c=，则角C的度数是（ ）‎ A．60° B．120° C．60°或120° D．45°‎ ‎5． 已知直线，，则它们的图象可能为（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎6． 已知直线，直线，‎ 且，则的值为（ ）‎ A．-1 B． C．或-2 D．-1或-2‎ ‎7． 在△ABC中，，，则△ABC一定是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎8． 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系 是（ ）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎9． 已知圆方程，圆与直线相交于两点，‎ 且（为坐标原点），则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎10．在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，‎ ‎1为半径的圆与圆：有公共点，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求. ‎ ‎11．圆（ ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（ ）‎ A．a2=b2+c2-2bccosA B．asinB=bsinA ‎ C．a=bcosC+ccosB D．acosB+bcosC=c ‎13．，，是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若与相交，与相交，则与也相交 C．若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若与相交，与异面，则与异面 三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分.‎ ‎14．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是 ．‎ ‎ 参考公式：.‎ ‎15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，‎ 缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，‎ 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注：丈等于尺）‎ ‎16．已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于A，B两点，‎ 另一直线：与圆M交于C，D两点，则______，‎ 四边形面积的最大值为 ．‎ ‎17．已知实数，满足，则的最大值为 ．‎ 四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.（本小题12分）‎ 如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在 上，且.‎ ‎（1）求证：四点共面；‎ ‎（2）设与交于点，求证：三点共线.‎ ‎19.（本小题14分）‎ 如图，在中，为边上一点，且，已知，.‎ ‎（1）若是锐角三角形，，求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的长.‎ ‎20.（本小题14分）‎ 下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元）‎ 的几组对照数据:‎ x（年）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y（万元）‎ ‎1‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，‎ 求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）‎ 求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能 否比技术改造前降低？‎ 参考公式:，.‎ ‎21.（本小题14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的 圆及其上一点.‎ ‎（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.‎ ‎22.（本小题14分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，‎ 已知满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的取值范围．‎ ‎23.（本小题14分）‎ 已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．‎ ‎（1）若直线l与圆O相切，求k的值；‎ ‎（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；‎ ‎（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，‎ 探究：直线CD是否过定点．‎ 江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试 高一数学参考答案及评分标准 命题人： 审核人：‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求. ‎ ‎1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），‎ 绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）‎ A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 ‎【答案】B ‎2． 某中学有学生2500人，其中男生人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的 时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为的样本，若样本 中女生恰有20人，则的值为（ ）‎ A．30 B．50 C．70 D．80 ‎ ‎【答案】B ‎3． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，‎ 则a∶b∶c等于（ ）‎ A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶∶2‎ ‎【答案】D ‎4． △ABC中，若c=，则角C的度数是（ ）‎ A．60° B．120° C．60°或120° D．45°‎ ‎【答案】B ‎5． 已知直线，，则它们的图象可能为（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6． 已知直线，直线，‎ 且，则的值为（ ）‎ A．-1 B． C．或-2 D．-1或-2‎ ‎【答案】D ‎7． 在△ABC中，，，则△ABC一定是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】D ‎8． 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系 是（ ）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎【答案】B ‎9． 已知圆方程，圆与直线相交于两点，‎ 且（为坐标原点），则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎10．在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，‎ ‎1为半径的圆与圆：有公共点，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求. ‎ ‎11．圆（ ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎【答案】ABC ‎12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（ ）‎ A．a2=b2+c2-2bccosA B．asinB=bsinA ‎ C．a=bcosC+ccosB D．acosB+bcosC=c ‎【答案】ABC ‎13．，，是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若与相交，与相交，则与也相交 C．若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若与相交，与异面，则与异面 ‎【答案】AC 三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分.‎ ‎14．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是 ．‎ ‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】2‎ ‎15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，‎ 缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，‎ 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注：丈等于尺）‎ ‎【答案】37(或)‎ ‎16．已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于A，B两点，‎ 另一直线：与圆M交于C，D两点，则______，‎ 四边形面积的最大值为 ．‎ ‎【答案】 , ‎ ‎17．已知实数，满足，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】10‎ 四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.（本小题12分）‎ 如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在 上，且.‎ ‎（1）求证：四点共面；‎ ‎（2）设与交于点，求证：三点共线.‎ 证明：（1）因为分别为的中点，‎ 所以.‎ 在中，，‎ 所以，所以.‎ 所以四点共面.…………6分 ‎（2）因为，所以，又因为平面，‎ 所以平面，‎ 同理平面，‎ 所以为平面与平面的一个公共点.‎ 又平面平面.‎ 所以，所以三点共线. …………12分 ‎19.（本小题14分）‎ 如图，在中，为边上一点，且，已知，.‎ ‎（1）若是锐角三角形，，求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的长.‎ 解：（1）在中，，，，由正弦定理得，‎ 解得，所以或.‎ 因为是锐角三角形，所以.‎ 又，所以.…………7分 ‎（2）由题意可得，解得，‎ 由余弦定理得 ，‎ 解得，‎ 则.‎ 所以的长为.…………14分 ‎20.（本小题14分）‎ 下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元）‎ 的几组对照数据:‎ x（年）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y（万元）‎ ‎1‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，‎ 求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）‎ 求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能 否比技术改造前降低？‎ 参考公式:，.‎ 解：（1）根据所给表格数据计算得,, , , ‎ ‎,,‎ 所以,y关于x的线性回归方程为.…………10分 ‎（2）由（1）得,当时,‎ ‎,即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了0.9万元. …………14分 ‎21.（本小题14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的 圆及其上一点.‎ ‎（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.‎ 解：（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.‎ 由圆N圆心在直线y=6上，可设 因为圆N与y轴相切，与圆M外切 所以，圆N的半径为 从而 解得.‎ 所以圆N的标准方程为.…………7分 ‎（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为，即 则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得 或.‎ 故直线l的方程为或.…………14分 ‎22.（本小题14分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，‎ 已知满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的取值范围．‎ 解：（1）‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ …………6分 ‎（2）由正弦定理得： ‎ 同理：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的面积的取值范围为：…………14分 ‎23.（本小题14分）‎ 已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．‎ ‎（1）若直线l与圆O相切，求k的值；‎ ‎（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；‎ ‎（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，‎ 探究：直线CD是否过定点．‎ 解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，‎ ‎∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，‎ 即d==，‎ 解得k=±1．…………4分 ‎（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），‎ 将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，‎ ‎∴，，‎ ‎△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，‎ 当∠AOB为锐角时，‎ ‎=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）‎ ‎=‎ ‎=＞0，‎ 解得k2＜3，‎ 又k2＞1，∴-或1＜k＜．‎ 故k的取值范围为（-）∪（1，）．…………5分 ‎（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，‎ 设P（t，），其方程为x（x-t）+y（y）=0，‎ ‎∴，‎ 又C，D在圆O：x2+y2=2上，‎ 两圆作差得lCD：tx+，即（x+）t-2y-2=0，‎ 由，得，‎ ‎∴直线CD过定点（）．…………5分