数学(理)卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试(2017-01)

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数学(理)卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试(2017-01)

大庆铁人中学2016-2017学年高二年级上学期期末考试 数学(理)试题 命题人:郭晓梅 谷淑艳 审题人:车卫东 试卷说明:‎ ‎ 1、本试卷满分100分,考试时间120分钟 ‎ 2、请将答案填写在答题卡上,考试结束只上交答题卡。‎ 一、选择题:(每小题5分,共计60分,每题只有一个选项符合题目要求)‎ ‎1.抛物线的准线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ a=c c=b b=a ‎2.将两个数交换,使,下列语句正确的是( )‎ b=a a=b c=a a=b b=c a=b b=a A. B. C. D.‎ 第3题 ‎3.如图,面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分,若往矩形ABCD中随机投掷1000个点,落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为350个,试估计阴影部分的面积为( )‎ A.1.4 B.1.6 C.2.6 D.2.4‎ ‎4.已知向量,,且与互相垂直,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 执行右面的程序框图,若输入,则输出的的值是( )‎ 第6题 ‎ A. 38 B. 39 C. 18 D. 19‎ ‎7.在区间内随机取个实数,则直线,直线与轴围成的面积大于的概率是(  ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.下列说法正确的个数为( )‎ ‎①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱。线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱。‎ ‎②回归直线一定通过样本点的中心.‎ ‎③为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩情况,准备从中抽取一个容量为50的样本,现采用系统抽样的方法,需要从总体中剔除3个个体,在整体抽样过程中,每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和。‎ ‎④将一组数据中每个数都加上或者减去同一个常数后,方差恒不变。‎ A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎9. 袋子中装有大小相同的4个球,其中2个红球和2个白球.游戏一,从袋中取一个球,若取出的是红球则甲获胜,否则乙获胜;游戏二,从袋中无放回地取一个球后再取一个球,若取出的两个球同色则甲获胜,否则乙获胜,则两个游戏( )‎ A.只有游戏一公平 B.只有游戏二公平 C.两个游戏都不公平 D.两个游戏都公平 ‎10. 过点的直线与椭圆交于两点, 且点平分弦,则直线方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11. 如图所示,在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点所在曲线的形状为(   )‎ ‎       ‎ A B C D 12.已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的中心,是双曲线右支上的点,的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点,过作直线的垂线,垂足为,若为双曲线的离心率,则( )‎ A. B.‎ C. D.与关系不确定 第II卷非选择题(共90分)‎ 二、填空题:(本大题包括4小题,每小题5分,共计20分,把正确答案填写在答题卡的指定位置)‎ ‎13.如图是甲,乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图,甲乙两人中成绩较为稳定的是_______‎ 第13题 第14题 (1) 如图,在平行六面体中,‎ 则=______________‎ (3) 下列4个命题中,正确的是 (写出所有正确的题号).‎ ‎(1)命题“若则”的否命题为“若则”‎ ‎(2)“”是“”的充分不必要条件 ‎(3)命题“若,则”是真命题 ‎(4)若命题则 ‎16.设椭圆()的左、右焦点分别为,,若在椭圆上存在一点,使得,则椭圆离心率的取值范围为______________‎ 三.解答题:(本大题包括6个小题,共计70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:双曲线的离心率;若为真,且为假,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,正三棱柱的底面边长是,侧棱长是,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值. ‎ ‎19.(本小题满分12分)中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注,我校对高二名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(满分分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.‎ (1) 填写频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;‎ (2) 请你估算该年级学生成绩的中位数;‎ ‎(3)如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,再从6人中选2人,求2人分数都在[80,90)的概率.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知动点在抛物线上,过点作垂直于轴,垂足为,设.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)已知点,过点的直线交曲线于、两点,求证:直线与直线的斜率之积为定值.‎ ‎21.(本小题满分12分) 如图所示,在四棱锥中,底面四边形是菱形,是边长为2的等边三角形,.‎ ‎(1)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(2)在线段上是否存在一点,使得∥平面?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,动点满足条件.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设直线与曲线分别交于两点,与轴、轴分别交于两点(且在之间或同时在之外).问:是否存在定值,对于满足条件的任意实数,都有的面积与的面积相等,若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ 数学(理)试题答案 ‎1-12 BBCBA DACAB CA ‎13.甲 ‎14.‎ ‎15.(2)(3)‎ ‎16.‎ ‎17.解:命题为真时:,即: ………………… 2分 命题为假时: ‎ 命题为真时:………………… 4分 命题为假时: ‎ 由为真,为假可知: 、一真一假………………… 6分 ② 真假时: ………………… 7分 ‎②假真时: ………………… 8分 综上所述: 或………………… 10分 ‎18.(1)设与相交于点P,连接PD,则P为中点 D为AC中点,PD//,‎ 又PD平面,//平面………………… 5分 ‎(2)取AB中点为O,中点为E点,由于为等边三角形所以,又因为是正三棱柱所以 以为原点OA为x轴,OE为y轴OC为z轴,建立空间直角坐标系.‎ 所求二面角的余弦值为………………… 12分 ‎19.(1)‎ ‎………………… 5分 ‎(2)设中位数为,依题意得,解得. 所以中位数约为83.125. …………………7分 ‎(3)由题意知样本分数在[60,70)有8人,样本分数在[80,90)有16人,用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,则抽取的分数在[60,70)和[80,90)的人数分别为2人和4人。‎ 记分数在[60,70)为在[80,90)的为.‎ 从已抽取的人中任选两人的所有可能为:共种.‎ 设“人分数都在[80,90)”为事件,则事件包括 共6种.………………… 8分 所以………………… 12分 ‎20.(1)设点,则,‎ 而动点在抛物线,‎ 代入得的方程为:.…………………4分 ‎(2)设过点的直线为 直线L交于P、Q两点设点,直线L与曲线C 联立方程有:,‎ 显然.‎ ‎∴.………………… 6分 ‎∵,…………… 10分 即代入得………………… 12分 ‎21. (1)因为底面是菱形,,‎ 所以为中点. ‎ 又因为,‎ 所以, ‎ 所以底面. ………………… 2分 由底面是菱形可得,‎ 可知.‎ 以为原点OA为x轴,OB为y轴OP为z轴,建立空间直角坐标系.‎ 由是边长为2的等边三角形,,‎ 可得.‎ 所以. ‎ 所以,.‎ 由已知可得 设平面的法向量为,则 即 令,则,所以. ‎ 因为,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为,‎ 所以直线与平面所成角的大小为. …………………6分 ‎(2)设,则 ‎. ‎ 若使∥平面,需且仅需且平面,‎ 解得, 13分 所以在线段上存在一点,使得∥平面.‎ 此时=.………………… 12分 ‎22. (1)因为满足,整理得,‎ ‎∴轨迹的方程为………………… 4分 ‎(2)联立消去得,‎ ‎,由得.‎ 设,则,………………… 6分 由题意,不妨设,‎ 的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合………………… 8分 ‎∴,解得,………………… 10分 即存在定值,对于满足条件,且(据()的任意实数,‎ 都有的面积与的面积相等.………………… 12分
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