数学卷·2018届湖南省浏阳一中、攸县一中高二上学期12月联考数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届湖南省浏阳一中、攸县一中高二上学期12月联考数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年湖南省浏阳一中、攸县一中高二（上）12月联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设x∈R，则x=1是x3=x的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A． B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎3．在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或 120°‎ ‎4．如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（　　）‎ A．﹣++ B． ﹣+ C． +﹣ D． +﹣‎ ‎5．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎6．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎7．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，+∞） B．（0，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）‎ ‎8．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎9．若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，0）∪（，+∞） C．（，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，则下列结论正确的是（　　）‎ A．tanB•tanA=2B B．tanA=2tanB C．tanB=2tanA D．tanA+tanB=2‎ ‎11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2﹣2 D．‎ ‎12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置 ‎13．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=　　．‎ ‎14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=　　．‎ ‎15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是　　．‎ ‎16．椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．‎ ‎19．已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3，‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．‎ ‎20．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，S6=60，且满足．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足，且b1=3，求数列的前n项和Tn．‎ ‎21．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．‎ ‎（1）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；‎ ‎（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎22．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省浏阳一中、攸县一中高二（上）12月联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设x∈R，则x=1是x3=x的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由x3=x解得x=0，±1．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：由x3=x，解得x=0，±1．‎ ‎∴x=1是x3=x的充分不必要条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A． B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】把曲线的方程化为标准方程，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．‎ ‎【解答】解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．正确；‎ B，曲线方程是：﹣y2=1，其渐近线方程是﹣y2=0，整理得y=±‎ x．错误；‎ C，曲线方程是：x2﹣=1，其渐近线方程是x2﹣=0，整理得y=±x．错误；‎ D，曲线方程是：﹣y2=1，其渐近线方程是﹣y2=0，整理得y=±x．错误；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或 120°‎ ‎【考点】梅涅劳斯定理；正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理求得sinA，结合三角形中的大边对大角得答案．‎ ‎【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，‎ ‎∴由正弦定理，得=，‎ ‎∴sinA=，‎ 又a＜b，∴A=30°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（　　）‎ A．﹣++ B． ﹣+ C． +﹣ D． +﹣‎ ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎=+﹣+，‎ ‎=++﹣，‎ ‎=﹣++，‎ ‎∵=， =， =，‎ ‎∴=﹣++，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z的最优解，然后确定a的值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：‎ ‎，‎ z=2x+y，‎ 将最大值转化为y轴上的截距的最大值，‎ 当直线z=2x+y经过点B时，z最小，‎ 由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式求出tanA，tanB的值，结合两角和差的正切公式求出tanC，判断A，B，C的大小即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，‎ ‎∴设a3=﹣4，a7=4，d=tanA，‎ 则a7=a3+4d，‎ 即4=﹣4+4tanA，则tanA=2，‎ ‎∵tanB是以2为公差，9为第五项的等差数列的第二项，‎ ‎∴设b5=9，b2=tanB，d=2‎ 则b5=b2+3d，‎ 即9=tanB+3×2，则tanB=3，‎ 则A，B为锐角，‎ tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣=1，‎ 则C=也是锐角，则这个三角形为锐角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，+∞） B．（0，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）‎ ‎【考点】数列的函数特性；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】由{an}是递增数列，得到an+1＞an，再由“an=n2+λn恒成立”转化为“λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立”求解．‎ ‎【解答】解：∵{an}是递增数列，‎ ‎∴an+1＞an，‎ ‎∵an=n2+λn恒成立 即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，‎ ‎∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．‎ 而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，‎ ‎∴λ＞﹣3，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．‎ ‎【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，‎ ‎∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，‎ 又A1D=A1B=DB=AB，‎ 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，0）∪（，+∞） C．（，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】由已知不等式的解集可求a，b的值，然后解不等式＜即可．‎ ‎【解答】解：因为不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），‎ 所以1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，‎ 所以不等式＜为，‎ 整理得，‎ 解得x＜0或者x＞，‎ 所以不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，则下列结论正确的是（　　）‎ A．tanB•tanA=2B B．tanA=2tanB C．tanB=2tanA D．tanA+tanB=2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由题意和正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC=sin（A+B），由三角函数的和差角公式及弦化切的思想可得结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，‎ 由正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC，‎ ‎∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sin（A+B），‎ ‎∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinBcosA+sinAcosB，‎ 即2sinBcosA=4sinAcosB，‎ 两边同除以cosAcosB，‎ 得2tanB=4tanA，‎ 即tanB=2tanA．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2﹣2 D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，‎ ‎∴（1+2d）2=1+12d．‎ 得d=2或d=0（舍去），‎ ‎∴an =2n﹣1，‎ ‎∴Sn==n2，‎ ‎∴=．‎ 令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4‎ 当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．‎ ‎【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），‎ 由=2，可得B（﹣，﹣），‎ 把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，‎ 即=1，整理可得c=a，‎ 即离心率e==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置 ‎13．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=　98　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣1，d=1，‎ ‎∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．‎ 故答案为：98．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=　4　．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．‎ ‎【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，‎ ‎∴‎ ‎∴b=4‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是　3　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值．‎ ‎【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=，‎ ‎∴2x+y=2x+==≥2=3．‎ 当且仅当即x=1时取等号．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是　[，]　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．‎ ‎【解答】解：由椭圆的标准方程可知，‎ 左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），‎ 设点P（a，b）（a≠±2），则 ‎…①， =， =；‎ 则=•=，‎ 将①式代入得=﹣，‎ ‎∵∈[﹣2，﹣1]，‎ ‎∴∈[，]．‎ 故答案为：[，]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先求出命题p，q为真命题时a的范围，据复合函数的真假得到p，q中均为真，即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：p真，则a≤1，‎ q真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，‎ 即a≥1或a≤﹣2，‎ ‎∵命题￢（p∧q）是假命题，‎ ‎∴p∧q为真命题，‎ ‎∴p，q均为真命题，‎ ‎∴，‎ ‎∴a≤﹣2，或a=1‎ ‎∴实数a的取值范围为a≤﹣2，或a=1．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；‎ ‎（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又sinA＞0，∴‎ ‎（Ⅱ）如图，由正弦定理得 ‎∴，‎ 又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3，‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值，从而解决问题．‎ ‎（2）设P（a，0），先求点P（a，0）到AB：2x﹣y﹣4=0距离，再根据三角形的面积公式，求出a 值，可求P得坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由，‎ ‎∴4x2+4（m﹣1）x+m2=0，‎ 由△＞0有 16（m﹣1）2﹣16m2＞0，‎ 解得 m＜；‎ 设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=1﹣m，x1x2=，‎ ‎∵|AB|===•=3，‎ 解得 m=﹣4．‎ ‎（2）设点P（a，0），P到直线AB的距离为d，‎ 则d==，‎ 又S△ABP=|AB|•d=9=×3×=3|a﹣2|，‎ ‎∴|a﹣2|=3，‎ 解得a=5或a=﹣1，‎ 故点P的坐标为（5，0）或（﹣1，0）‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，S6=60，且满足．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足，且b1=3，求数列的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）通过设等差数列{an}的公差为d，利用S6=60、计算可知首项、公差，进而可得结论；‎ ‎（2）通过bn+1﹣bn=an可知bn﹣bn﹣1=an﹣1（n≥2，n∈N*），利用bn=（bn﹣bn﹣1）‎ ‎+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1计算可知当n≥2时bn=n（n+2），验证b1=3也适合，裂项可知=（﹣），进而并项相加即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，‎ 解得，‎ ‎∴an=2n+3；‎ ‎（2）由bn+1﹣bn=an，∴bn﹣bn﹣1=an﹣1（n≥2，n∈N*），‎ 当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1‎ ‎=an﹣1+an﹣2+…+a1+b1‎ ‎=（n﹣1）（n﹣2+5）+3‎ ‎=n（n+2），‎ 又∵b1=3也适合，‎ ‎∴bn=n（n+2），=（﹣），‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．‎ ‎（1）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；‎ ‎（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；‎ ‎（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；‎ ‎（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，‎ ‎∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，‎ ‎∵G，I是中点，‎ ‎∴GI∥BD，GI=BD．‎ ‎∵O是正方形ABCD的中心，‎ ‎∴OB=BD．‎ ‎∴EF∥GI，EF=GI，‎ ‎∴四边形EFIG是平行四边形，‎ ‎∴EG∥FI，‎ ‎∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，‎ ‎∴EG∥平面ADF；‎ ‎（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），‎ F（0，0，2），‎ 设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）‎ ‎∵OC⊥平面OEF，‎ ‎∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），‎ ‎∵|cos＜，＞|=‎ ‎∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；‎ ‎（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．‎ 设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．‎ ‎∴a=﹣，b=0，c=，‎ ‎∴=（﹣，，），‎ ‎∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．‎ ‎　‎ ‎22．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；‎ 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 ‎【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①‎ 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=‎ 故椭圆的方程为 ‎（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③‎ 代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ x1+x2=，④‎ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），‎ 从而，， =k﹣‎ 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）‎ ‎=2k﹣×⑤‎ ‎④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1‎ 又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3‎ 故存在常数λ=2符合题意 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为 令x=4，求得M（4，）‎ 从而直线PM的斜率为k3=，‎ 联立，得A（，），‎ 则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=‎ 所以k1+k2=+=2×=2k3，‎ 故存在常数λ=2符合题意 ‎　‎