数学（1-2班）卷·2018届江西省新干县第二中学高二下学期第一次段考（2017-03）

数学（1-2班）卷·2018届江西省新干县第二中学高二下学期第一次段考（2017-03）

新干二中高二年级第一次段考 数学（1-2班）试卷 命题人：刘国飞 2017.3‎ 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．若集合，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ 2. ‎“”是“复数为纯虚数”的 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． ‎《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为 A． B． C． D．‎ ‎4.已知向量，则与 ‎ A．平行且同向 B．垂直 C．不垂直也不平行 D．平行且反向 ‎5．若∈，＝，则－的值是 ‎ A． B. C. D. ‎ ‎6．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A． B． C． D．‎ 7． 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 A. ‎ B. C. D.‎ ‎8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为 ‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎9．已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为 A. ‎ 　　 B.　　C.　　D.‎ ‎11.由曲线，直线所围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设定义在的单调函数，对任意的都有．若是方程的一个解，且，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).‎ ‎13．摄像师要对已坐定一排照像的位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)‎ ‎14.双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方程是__．‎ ‎15．若二项式的展开式中的第5项是常数项，则n=_______.‎ ‎16．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　　　　　． ‎ ‎　‎ 三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知锐角中内角、、所对边的边长分别为、、，满足 ‎，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数,图象上相邻两最高点间的距离为,求的取值范围．‎ 18. ‎(本小题满分12分)‎ ‎　某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（I）试估计该校数学的平均成绩；‎ ‎（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在[135，145]的人数记为X，求X的分布列和期望．‎ 19． ‎（本题满分12分）‎ ‎ 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的正弦值．‎ 20． ‎（本小题满分12分）‎ ‎　已知圆，圆，动圆与圆和圆均内切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）点为轨迹上点，且点为第一象限点，过点作两条直线与轨迹交于两点，直线斜率互为相反数，则直线斜率 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．‎ ‎21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．‎ ‎（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若g（x）=ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 ‎　　已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）设为上任意一点，求的最大值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎　　关于的不等式．‎ ‎（Ⅰ）当时，解此不等式；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立？‎ 高二段考数学（1-2班）答案 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1--5．CACBB 6--10AADBD　 11—12DA 二． 填空题：(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13. 14. 15. 6 16. 13π 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（Ⅰ）因为,由余弦定理知 所以 ............. .......2分 ‎ 又因为,则由正弦定理得:，.........4分 所以，所以 .............6分 ‎（Ⅱ）‎ 由已知，则 .............9分 因为，，由于，所以． ‎ 所以，所以 ......12分 ‎18（I解：（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12‎ 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112‎ ‎（2）、X的取值为0，1，2，3．‎ 所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；‎ 所以X的分布列为 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．‎ ‎19. 解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．‎ 取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．……… 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，‎ 所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，－1，0），B1（，0，0），A（0，0，），…… 6分 设平面CAB1的法向量为m＝（x1，y1，z1）， 因为 ‎，，‎ 所以，取m＝（1，－，1）． ……… 8分 设平面A1AB1的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 因为 ‎，，‎ 所以，取＝（1，0，1）． ……… 10分 则，‎ 所以二面角C-AB1-A1的正弦值为． 　　　　　　　　　…… 12分 ‎20.（1）设点坐标为，圆的半径为．则 从而，所以圆心的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．‎ ‎　　所以动圆圆心的轨迹的方程为：．……4分 ‎ （2）由(1)轨迹的方程为：，代入得点，‎ 设，设直线，联立椭圆方程，得，则，‎ 同理：， ……8分 故直线斜率为定值. ……12分 ‎21解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）== （x＞0），‎ ‎∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，‎ 即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，‎ ‎∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），‎ 将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；‎ ‎（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负情况进行讨论：‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，‎ 当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：‎ ‎ 0‎ ‎（a，+∞） ‎ ‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎↑ ‎ 由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递增；‎ 综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；‎ 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+∞）；‎ ‎（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣ex，‎ ‎∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：ex﹣lnx﹣2＞0，‎ 令g（x）=ex﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，‎ 由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，‎ ‎∵g（1）=e﹣1＞0， =，∴g（1），‎ ‎∴g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，‎ 设g（x）的零点为t，则g（t）=，即 （），‎ 由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；‎ 当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，‎ 所以当x＞0时，，‎ 又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）22.（1）曲线的普通方程是，极坐标方程是．‎ ‎　　　　　点的极坐标为 ‎ 从而点的直角坐标为. ……5分 ‎ （2））曲线的普通方程是，参数方程是 ‎　　　故可设其中为参数． ‎ ‎　　　　 ‎ ‎　　　　　 ‎ ‎ 的最大值为. ……10分 ‎ ‎23.解:（Ⅰ）当时，原不等式可变为，‎ 可得其解集为 …………………4分 ‎（Ⅱ）设， ‎ 则由对数定义及绝对值的几何意义知， …………… 7分 因在上为增函数， ‎ 则，当时，， ………………… 9分 故只需即可，‎ 即时，恒成立． ………………… 10分 ‎ ‎