【数学】2018届一轮复习北师大版第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[学生用书P164]
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d
0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
[解析] 如图，
过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.
因为 ∠AOB＝120°，OA＝OB，
所以∠OBD＝30°，
所以|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
[答案] 2
直线与圆的位置关系[学生用书P164]
[典例引领]
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．[－，] B．(－，)
C. D．
【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，
所以直线与圆相交．
(2)设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，因为直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，
所以圆心到直线的距离d小于或等于半径，
所以d＝≤1，解得－≤k≤.
【答案】 (1)B (2)C
若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？
[解] 由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝1，则直线与圆O相切．
[通关练习]
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A [解析] 法一：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，
所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
2．(2017·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [解析] 因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
圆与圆的位置关系[学生用书P165]
[典例引领]
(1)(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )
A. B．
C. D．2
【解析】 (1)由
得两交点为(0，0)，(－a，a)．
因为圆M截直线所得线段长度为2，
所以＝2.又a>0，所以a＝2.
所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，所以|MN|＝＝.因为r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，所以两圆相交．
(2)由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．故选C.
【答案】 (1)B (2)C
[通关练习]
1．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
D [解析] 圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C2(2，1)，半径长r2＝1.
所以d＝＝，r1＋r2＝3，
所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．
2．(2017·郑州质检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
[解析] 由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(2)2＋()2＝m2，所以m＝±5，|AB|＝2×＝4.
[答案] 4
与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)[学生用书P165]
与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．
高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求圆的切线方程；
(2)求弦长及切线长；
(3)由弦长及切线问题求参数．
[典例引领]
(1)(2015·高考重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
(2)(2016·高考全国卷乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
【解析】 (1)因为以原点O为圆心的圆过点P(1，2)，
所以圆的方程为x2＋y2＝5.
因为 kOP＝2，所以切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
(2)圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
【答案】 (1)x＋2y－5＝0 (2)4π
解决直线与圆综合问题的常用结论
(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形：①圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
[题点通关]
角度一 求圆的切线方程
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
A [解析] 设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝＝，c＝±5，所以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
角度二 求弦长及切线长
2．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4 B．2
C．6 D．5
C [解析] 因为＝＝
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆O所截得的弦长为2＝2＝6，故选C.
3．(2017·云南省统一考试)已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
[解析] 过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝＝.又|OA|＝1，所以|PA|＝＝2.
[答案] 2
角度三 由弦长及切线问题求参数
4．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
A. B．
C．[－，] D．
B [解析] 如图，
设圆心C(2，3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若|MN|≥2，
则d2＝r2－≤4－3＝1，
即≤1，
解得－≤k≤.
[学生用书P166]
——直线与圆的综合问题
(本题满分12分)已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
[思维导图]
(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意知
(2分)
解得或(4分)
又因为S＝πr2<13，
所以a＝1，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(5分)
(2)不存在这样的直线l.
理由如下：当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
(6分)
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，(7分)
因为l与圆C相交于不同的两点，
所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，
解得k<1－或k>1＋.(8分)
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)．
(9分)
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
所以3×＝，
解得k＝，∈/∪，
(11分)
所以假设不成立．
不存在这样的直线l.(12分)
(1)在解题过程中，注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题，不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法．如本例(1)中，设出圆的方程，利用待定系数法求出圆的方程．
(2)本例(2)中由＝＋求出，再利用∥可求得k，两步都应验证，不应忽视．
[学生用书P300(独立成册)]
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C [解析] 法一：(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1＝r，所以直线与圆相交．
法二：(数形结合法)画图可得(图略)．
2．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A [解析] 因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k<0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交．
3．(2017·兰州市实战考试)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－1 B．－1
C．1或－1 D．1
C [解析] 由题意得，圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，所以＝，解得a＝±1，故选C.
4．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为( )
A．±2 B．2
C．－2 D．无解
A [解析] 圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径r＝|a|.
将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减，
可得a2＋ay－6＝0，即得两圆的公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0.
原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离d＝，
根据勾股定理可得a2＝()2＋，
所以a2＝4，所以a＝±2.故选A.
5．(2017·福建福州八中模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．(－3，3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2)
D．[－3，3]
A [解析] 由圆的方程可知圆心为O(0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d－)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
