数学文卷·2019届湖南省双峰县第一中学高二下学期第二次月考（2018-04）
2017-2018 学年湖南省双峰县第一中学高二下学期第二次月
考(文科)数学
一、选择题(每小题 5 分，共 60 分）
1 设集合 M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合 M 的真子集个数为( )
A．8 B．7 C．4 D．3
2．若复数 （ ， ）满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3．若 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4．已知平面向量 和 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默
写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于 85 分的学生得到“诗
词达人”的称号，小于 85 分且不小于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到
“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，
则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几
何体的体积为（ ）
iz x y= + x Ry∈ ( )1 i 3 iz+ = − x y+
3− 4− 5− 6−
1cos 4 3
πα + = 0, 2
πα ∈ sinα
4 2
6
− 4 2
6
+ 7
18
2
3
A. B. C. D.
7．若变量 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 （ ）
A. 9 B. 3 C. D.
8 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9．已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a
的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1，0) D．[－1，0)
10. 已知 、 为双曲线 ： 的左、右焦点，点 为双曲线 右支上一点，
， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数 （ ）的最小正周期为 ，且 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
12．已知函数 若关于 的方程 恰有四个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
( ) 23sin cos 4cosf x x x xω ω ω= − 0ω > π ( ) 1
2f θ =
2f
πθ + =
5
2
− 9
2
− 11
2
− 13
2
−
( ) 2 4 5, 1,{
, 1,
x x xf x
lnx x
− − + ≤=
> x ( ) 1
2f x kx= −
k
A. B. C. D.
二解答题（每小题 5 分，共 20 分）
13.函数 在点 处的切线方程是 ___________．
14)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0
0 的解集为Error!，则a2＋b2＋7
a－b (其中 a>b)的
最小值为________．
16 若数列 是正项数列，且 ，则 __________．
三解答题（每题 12 分，共 60 分）
17 ． 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 是 ， ， ， 且
.
（1）求角 的大小；
（2）已知等差数列 的公差不为零，若 ，且 ， ， 成等比数列，求
的前 项和 .
18．如图，将边长为 的正六边形 沿对角线 翻折，连接 、 ，形成如图所示的多
面体，且 .
（I）证明：平面 平面 ；
（II）求三棱锥 的体积.
19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生
sinxxy e= + ( )0,1
1 , e2
1 , e2
1 e,2 e
1 e,2 e
ABC A B C a b c
( )3 cos 2 3 cosa C b c A= −
A
{ }na 1sin 1a A = 2a 4a 8a
1
4
n na a +
n nS
互评.某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，
采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
表二：女生
（1）从表二的非优秀学生中随机抽取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的
概率；
（2）由表中统计数据填写下面的 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优
秀与性别有关”.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
20．已知椭圆 的一个焦点为 ，左，右顶点分别为 ，经过点的直
线与椭圆 交于 两点.
（I）求椭圆 的方程；
（II）记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.
21．已知函数 f(x)=(2－a)(x－1)－2lnx，,其中 a∈R，
2 2×
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
（1）求 f(x)的单调区间；
（2）若函数 f(x)在（0， ）上无零点，求 a 的取值范围.
四（10 分）22．选修 4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=accost,y=1+asint（t 为参数，a＞0）。在以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=cosθ.
（I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 C3 的极坐标方程为，其中满足 tan=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求
a。
参考答案
一、选择题
BCADB，ACBDC，BD
二、填空题
13..y=2x+1 14.-2 15.6 16.2n2+6n
三、解答题
18.
19. ：（1）设从高一年级男生中抽出 人，则 ， ，
∴
表 2 中非优秀学生共 人，记测评等级为合格的 人为 ，尚待改进的 人为
，
则 从 这 人 中 任 选 人 的 所 有 可 能 结 果 为 ：
，共 种．
设事件 表示“从表二的非优秀学生 人中随机选取 人，恰有 人测评等级为合
格”，
则 的结果为： ，共 种．
∴ ， 故所求概率为 ．
（2）
男生 女生 总计
优秀 15 15 30
非优秀 10 5 15
总计 25 20 45
∵ ， ，
而 ， 所 以 没 有
的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
20.
21.
(1)当 a=2 时，f(x)=-lnx,故函数 f(x)递减区间为（0， ）；
当 a 2 时，
若 a>2,当 x>0 时，都有 ，所以函数 f(x)递减区间为（0， ）；
若 a<2,当 x 变化时， 的变化情况如下表：
x
－ 0 +
f(x) 极小值
故函数 f(x)递减区间为： ，
故函数 f(x)递增区间为：
（2）因为 f(x)<0 在区间 上恒成立不可能，故要使函数 f(x) 在区间 上无零
点，只要对任意的 x ，f(x)>0 恒成立即可，
即对 x ，a> 恒成立.
令
则
再令
则
故 h(x)在 上为减函数，于是 h(x)>h ,
从而， 于是 g(x)在 上为增函数，
所以 g(x)< ,
故要使函数 f(x)在 上无零点，a 的取值范围为：
22.
