2017-2018学年北京市西城区高二第二学期期末数学（理科）试题

2017-2018学年北京市西城区高二第二学期期末数学（理科）试题

北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷 ‎ 高二数学（理科） 2018.7‎ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 .‎ ‎1. 复数（　　）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 若函数，则（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3. 设函数的导函数为，若为奇函数，则有（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎4. 射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分. 已知某运动员每次射击击中目标的概率是，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 14‎ y ‎ ‎ O 1 x ‎1 ‎ ‎-1 ‎ ‎5. 已知一个二次函数的图象如图所示，那么（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎6. 有5名男医生和3名女医生. 现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有（ ）‎ ‎ （A）种 ‎（B）种 ‎（C）种 ‎（D）种 ‎7. 已知函数，若，x0为的一个极大值点，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）前三个答案都不对 ‎8. 某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为A，B，C，D，E，F，G. 其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系. 若加工工序Y必须要在工序X完成后才能开工，则称X为Y的紧前工序. 现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：‎ 工 序 A B C D E F G 加工时间 ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ 紧前工序 无 C 无 C A，B D A，B 现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（ ）‎ ‎（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.）‎ ‎ （A）个小时 ‎（B）个小时 ‎（C）个小时 ‎（D）个小时 14‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9. 函数的图象在处的切线的斜率为___________.‎ ‎10. 在的展开式中，常数项是___________.（用数字作答） ‎ ‎11. 已知某随机变量的分布列如下（）：‎ ‎1‎ P ‎ 那么的数学期望___________， 的方差=___________. ‎ 14‎ ‎12. 若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相，则其中任意2名教师不相邻的站法有_______种. （用数字作答）‎ ‎13. 设函数，其中. 若对于任意，，则实数a 的取值范围是____.‎ ‎14. 某电影院共有个座位. 某天，这家电影院上、下午各演一场电影. 看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）. 已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n的可能取值有_____个. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在数列中，，，其中.‎ 14‎ ‎（Ⅰ）计算，，的值； ‎ ‎（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. ‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. 设每人回答问题正确与否是相互独立的.‎ ‎（Ⅰ） 求乙答对这道题的概率；‎ ‎（Ⅱ） 求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 设，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎ (Ⅰ) 若，求的值；‎ ‎ (Ⅱ) 求函数在区间上的最小值（用b表示）.‎ 14‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：‎ 甲队 ‎ 88， 91， 92， 96‎ 乙队 ‎ 89， 93， 9， 92‎ 乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m表示． ‎ ‎（Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；‎ ‎（Ⅱ）当时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为，求随机变量的分布列；‎ ‎（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出的取值集合.（结论不要求证明）‎ ‎19．（本小题满分14分） ‎ 设函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值； ‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点. ‎ 14‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数，其中. 证明：的图象在图象的下方.‎ 北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 ‎ 2018.7‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. C ‎ ‎2. B ‎ ‎3. D ‎4. A ‎5. C ‎6. A ‎ ‎7. B ‎ ‎8. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11. ，‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.‎ 14‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意，得，，. ………………………… 3分 ‎（Ⅱ）解：由，，，猜想. ………………………… 5分 ‎ ‎ 以下用数学归纳法证明：对任何的，.‎ 证明：① 当时，由已知，得左边，右边，‎ ‎ 所以时等式成立. ……………………… 7分 ‎ ‎② 假设当时，成立， ……………………… 8分 ‎ 则时，， ‎ 所以 当时，等式也成立. ………………………… 12分 ‎ 根据 ① 和 ②，可知对于任何，成立. …………………… 13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ） 解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C， ………………1分 ‎ 设乙答对这道题的概率，‎ ‎ 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件. ‎ ‎ 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，‎ ‎ 得 ………………………… 4分 ‎ 解得， ‎ 14‎ ‎ 所以，乙对这道题的概率为. ………………………… 6分 ‎（Ⅱ）解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的 ‎ 概率， ………………………… 7分 ‎ 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，‎ ‎ 得， ………………………… 9分 ‎ 解得 . ………………………… 10分 ‎ 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 ‎ ‎ ‎ . …………………… 12分 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答 ‎ 对这道题”是对立事件，‎ ‎ 所以，所求事件概率为. ………………………… 13分 ‎17.（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）解：求导，得. ………………………… 1分 ‎ 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ ‎ 所以. ………………………… 3分 ‎ 又因为，‎ ‎ 所以，验证知其符合题意. ………………………… 4分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得，即.‎ ‎ 所以，. ……5分 14‎ ‎ 当时，得当时，，‎ ‎ 此时，函数在上单调递增. 这与题意不符. …………………… 7分 ‎ 当时，‎ ‎ 随着的变化，与的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 ‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎ 由题意，得. ………………………… 9分 ‎ 所以当时，函数在上的最小值为； …………… 11分 ‎ 当，函数在上的最小值为， ‎ ‎ 综上，当时，在上的最小值为；当，在上的最小值为. ………………………… 13分 ‎(或写成：函数在上的最小值为 ）.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件， ………………………… 1分 依题意 ，共有10种可能. ………………………… 2分 由乙队平均得分超过甲队平均得分，得，‎ 14‎ 解得，‎ 所以当时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能．…… 4分 所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率． ………………… 5分 ‎（Ⅱ）解：当时，记甲队的4次比赛得分88, 91, 92, 96分别为，乙队的4次比赛得分89, 93, 95, 92分别为，‎ ‎ 则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有种， 它们是：，，，，，，，，，，，，，，，，……… 6分 则这2个比赛得分之差的绝对值为的所有取值为. …………… 7分 因此，，，，， ，. ………………………… 9分 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎………………………… 10分 ‎（Ⅲ）解：． ………………………… 13分 ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：求导，得，……………………2分 ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所以当时，，函数为减函数；‎ 14‎ ‎ 当时，，函数为增函数. ‎ ‎ 故当时，存在极小值；不存在极大值. …………… 5分 ‎（Ⅱ）证明：解方程，得，.‎ ‎ 当，即时，‎ ‎ 随着的变化，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ 极大值 极小值 ‎ ………………………… 7分 ‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ 又因为， ‎ ‎ 所以函数至多在区间存在一个零点； ……………………… 9分 ‎ 当，即时，‎ ‎ 因为（当且仅当时等号成立），‎ ‎ 所以在上单调递增，‎ ‎ 所以函数至多存在一个零点； ………………………… 11分 ‎ 当，即时，‎ ‎ 随着的变化，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ 14‎ 极大值 极小值 ‎ ………………………… 12分 ‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以当时，，‎ ‎ 所以函数至多在区间存在一个零点.‎ ‎ 综上，当时函数不可能存在两个零点. ………………………… 14分 ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：求导，得， ………………………… 1分 ‎ 又因为，，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ………………… 3分 ‎（Ⅱ）解：设函数，‎ ‎ 求导，得，‎ ‎ 因为函数在区间上为单调函数，‎ ‎ 所以在区间上，恒成立，或者恒成立， ………… 4分 ‎ 又因为，且，‎ ‎ 所以在区间上，只能是恒成立，即恒成立. … 6分 ‎ 又因为函数在区间上单调递减，‎ ‎ 所以，‎ 14‎ ‎ 所以. ………………………… 8分 ‎（Ⅲ）证明：设，. …………………… 9分 ‎ 求导，得． ‎ ‎ 设，则（其中）. ‎ ‎ 所以当时，（即）为增函数. ………………………… 10分 ‎ 又因为，，‎ ‎ 所以，存在唯一的，使得． ………………… 11分 ‎ 且与在区间上的情况如下：‎ ‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 所以． ………………………… 12分 ‎ 又因为，，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，即的图象在图象的下方. ………………………… 14分 14‎ 14‎