高二数学同步辅导教材(第6讲)

高二数学同步辅导教材(第6讲)

高二数学同步辅导教材（第 6 讲） 一、本讲进度 7.1 直线的倾斜角和斜率 课本第 34 页至第 38 页 二、本讲主要内容 1、初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念； 2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。 三、学习指导 1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支——《平面解析几何》。它的研究对象是平 面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及 几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。 通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素——点与实数集中——对有序实数对（x， y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转 换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如， 直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、 纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们 知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语 言可叙述为： 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的 解。此时称该方程为“直线的方程”，这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系，所以可简说 成“直线 y=kx+b”。 上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：①点直线上 坐标满足方程；②有序数对是方程的解 点在线上。 2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：①建立坐标系；②设出必需的点的坐标；③代数运算得到 问题的代数解；④代数解回到几何解。 在用代数方法求解过程中，除未知数 x、y 及已知量外，有时还需引入适当参数。 3、倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。 （1）已知倾斜角为α ，求斜率 k 时 α 0 （0， 2  ） 2  （  ,2 ） k 0 （0，+∞） 不存在 （-∞，0） （2）已知斜率 k，求倾斜角α 时 法一：k≥0 时，α =arctank k<0 时，α =π +arctank 法二：k=0 时，α =0 k≠0 时，α =arccot k 1 4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识的复习及运用。 由教材 P36 方向向量的定义，  21PP 的方向向量为λ （λ ∈R），其中一个特殊的方向向量为（1，k）， k 为直线 P1P2 斜率，它在后面研究直线位置关系时仍会用到。 四、典型例题 例 1、试用解析法证明：△ ABC 中，M 为 BC 中点，则 AB2+AC2=2(AM2+MC)2。 解题思路分析： 第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上， 或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也可以把点 M 作为原点，BC 所在直线为 x 轴等。 第二步是设出必要的已知量。本题△ABC 确定，可设 B（0，0）， C（a，0）， A(b，c)，同时确定与已 知量相关的量，如本题 M( 2 a ，0)。 第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。 |AB|2=b2+c2，|AC|2=(b-a)2+c2 ∴ |AB|2+|AC|2=a2+2b2+2C2-2ab |AN|2=(b- )2+c2，|MC|2=(a- 2 a )2= 4 a 2 ∴ 2(|AM|2+|MC|2)=2(b2+c2+ ab2 a 2  )=a2+2b2+2c2-2ab ∴ |AB|2+|AC|2=2(|AM|2+|MC|2) 最后写出原命题需证的结论： AB2+AC2=2（AM2+MC2） 注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请 同学们思考。 例 2、已知 M(-4，2)，N(2，15)，若直线的倾斜角是直线 MN 的倾斜角的一半，求直线斜率。 解题思路分析： 思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出 MN 的倾斜角，再求的倾斜角。当然只需求 出相关角的三角函数值即可。 设直线 MN 倾斜角为α ，则 tanα = )4(2 315   =2 ∵ tanα >0 ∴ α ∈（0， 2  ） ∴ sinα = 5 2 ，cosα = 5 1 则直线α 倾斜角为 2  ∴ tan 2 15 5 2 5 11 sin cos1 2     ∴ 2 15k  思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线α 倾斜角为α ，则直线 MN 倾斜角为 2α 。下找关 于 tanα 的等量关系。 ∵ tan2α =kMN=2 ∴   tan1 tan2 =2 ∴ tanα +tanα -1=0 ∴ tanα = 2 51 ∵ 2α ∈[0，π ） ∴ α ∈[0， )2  ∴ tanα = 2 15  例 3、已知 P（3，-1）， M（6，2）， N（- 3,3 ），直线过点 P，求满足下列条件的的倾斜角范围。 （1）直线与线段 MN 相交； （2）直线与线段 MN 的延长线（或反向延长线）相交； 解题思路分析： 可首先求出直线的斜率范围，画出示意图帮助分析。 考虑临界状态： kPN=1，kPM=- 3 3 （1）1≤k≤- ，即 1≤tan≤- 3 3 tanα 在α ∈[0， 2  )上递增，由 1≤tanα 得 4  ≤α < 2  tanα 在（ 2  ，π ）上递增，由 tnaα ≤- 3 3 得  2 ≤ 6 5 、 当α = 2  时，仍与 MN 相交 综上所述，倾斜角α 范围为[  6 5,4 ] 或直接看示意图得到α ∈[ ] （2）思路一：借助于集合的补集思想 kMN= 33 3815 36 32    当绕点 P 绕转[0，π ]时， k ∈R 当∥MN 时， 33 3815k  ，直线与直线 MN 无交点；否则，直线与线段 MN 相交，或与 MN 是直线 相交。 ∴ k <1，或 k >- 3 3 ，且 k ≠ 33 3815 ∴ 倾斜角α ≤α < 4  ，或 6 5 <α <π ，且α ≠arctanα 33 3815 思路二：从运动的角度，研究α 在 0～π 之间变化时，直线与 MN 的位置关系。 例 4、若直线的斜率 k=1-m2（m∈R），求直线的倾斜角α 范围。 解题思路分析： 首先求出斜率 k 的范围，将等量关系 k=1-m2 看成是 k 关于 m 的二次函数，则 k≤1，即 tanα ≤1。 其次利用正切函数的单调性：0≤tanα ≤1 时，0≤α ≤ 4  ；tanα <0 时，α > 2  。 ∴ α ∈[0， 4  ]∪（ 2  ，π ） 注：由 tanα 范围求α 范围，也可利用单位圆或正切函数图象。 例 5、过 P（6， 3 ）的直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，若 P 分有向线段  AB所成的分 比λ = 2 1 ，求直线的的斜率和倾斜角。 解题思路分析： 由斜率的坐标公式，只需求出 A，或 B 的坐标即可。利用解方程的思想。 思路一：设 A（a，0）， B（0，b） 由分比 BP PA xx xx   公式得： 6 ba 2 1  ，a=9 ，A（9，0） 3 3k AB  ，AB 倾解角 6 5 或利用分比λ 公式：λ = BP BA yy yy   得： b3 30 2 1   ，b= 33 ，B（0， 33 下略 思路二：利用定比分点公式：           1 yyy 1 xxx BA P BA P ∴             2 3 2 b 3 2 3 a6 ∴      33b 9a 下同思路一。 五、同步练习 （一）选择题 1、若直线过点（1，2），（ 4，2+ 3 ），则此直线倾斜角为： A、 6  B、 4  C、 3  D、 2  2、设有斜率的直线一定是： A、过原点的直线 B、垂直于 x 轴的直线 C、垂直于 y 的直线 D、垂直于坐标轴的直线 3、下列命题中正确的是： A、直线倾斜角为α ，则些直线的斜率为 tanα B、直线的斜率为 tanα ，则此直线倾斜角为α C、直线的倾斜角为α ，则 sinα ≥0 D、直线的斜率为 0，则此直线的倾斜角为 0 或π 4、若三点 A（2，3）， B（a，4）， B（8，a）共线，则 a 值为： A、 0 B、5 C、0 或 5 D、0 或-5 5、直线：y=kx+6 沿 x 轴负向平移 3 个单位，再沿 y 轴正向平移 1 个单位，回到原位置，则 k 等于： A、- 3 1 B、-3 C、 3 1 D、3 6、已知直线的倾斜角α 满足 sinα = 5 3 ，则直线的斜率是： A、 3 4 B、 4 3 C、 4 3 或- 3 4 D、 4 3 或- 4 3 7、过点 A（-2，m）， B（M，4）的直线倾斜角为π -arctan 2 1 ，则实数 m 的值是： A、10 B、2 C、0 D、-8 8、如图直线1、2、3 的斜率分别为 k1、k2、k3，则： A、k1

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