新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试理科数学（问卷） Word版含解析

新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试理科数学（问卷） Word版含解析

‎2020年新疆高考数学二诊试卷（理科）（问答）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}，则∁UA＝（　　）‎ A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x≤﹣2或x≥4} C．{x|﹣2＜x＜4} D．{x|﹣2≤x≤4}‎ ‎2．设i为虚数单位，复数z满足z（1+i）3＝4i，则在复平面内，z对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知α是第二象限角，且cos(‎3π‎2‎+α)=‎‎1‎‎4‎，则cosα＝（　　）‎ A．‎-‎‎15‎‎4‎ B．‎-‎‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎4‎ D．‎‎15‎‎4‎ ‎4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品．以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如表所示．‎ 薪资 占比 岗位 ‎[0.5，1]‎ ‎（1，2]‎ ‎（2，3]‎ ‎（3，5]‎ 数据开发 ‎8%‎ ‎25%‎ ‎32%‎ ‎35%‎ 数据分析 ‎15%‎ ‎36%‎ ‎32%‎ ‎17%‎ 数据挖掘 ‎9%‎ ‎12%‎ ‎28%‎ ‎51%‎ 数据产品 ‎7%‎ ‎17%‎ ‎41%‎ ‎35%‎ 由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（　　）‎ A．数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 ‎ B．数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 ‎ C．数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 ‎ D．数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发 ‎5．双曲线C：x2﹣y2＝2的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎2‎ C．1 D．2‎ ‎6．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB的中点，以CD为折痕，将△ABC折成直二面角A﹣CD﹣B，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（　　）‎ A．18π B．20π C．22π D．24π ‎7．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数的是（　　）‎ A．f（x）＝|lnx| B．f(x)=‎x‎1‎‎2‎ C．f(x)=x-‎‎1‎x D．f（x）＝3|x|‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（　　）‎ A．‎5‎ B．‎6‎ C．‎7‎ D．‎‎2‎‎2‎ ‎9．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的．负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用．今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U=kcq‎2‎(‎1‎R+‎1‎R+x‎1‎-‎x‎2‎-‎1‎R+‎x‎1‎-‎1‎R-‎x‎2‎)‎，其中kc为静电常量，x ‎1，x2分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且|x1|和|x2|都远小于R，当|x|远小于1时，（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，则U的近似值为（　　）‎ A．‎2‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ B．‎-‎‎2‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ ‎ C．kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ D．‎‎-‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ ‎10．设a=‎‎13‎，b＝log213，b＝21.5，则下列正确的是（　　）‎ A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎11．将函数f(x)=‎3‎sin2x+2cos‎2‎x-1‎的图象向右平移φ(0＜φ＜π‎2‎)‎个单位长度后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，有‎|x‎1‎-x‎2‎‎|‎min=‎π‎6‎，则φ＝（　　）‎ A．π‎6‎ B．π‎4‎ C．π‎3‎ D．‎‎5π‎12‎ ‎12．已知函数f(x)=‎‎(x+2)ex，x≤0‎x‎2‎‎-3x+2，x＞0‎，g(x)=‎f(x)，x≤m‎-x+3，x＞m，若g（x）恰好有3个零点，则m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，1） B．（﹣2，1] ‎ C．[1，2）∪[3，+∞） D．（1，2]∪[3，+∞）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（x‎+‎‎2‎x）6的展开式中常数项为　 　．（用数字作答）‎ ‎14．在平行四边形ABCD中，AD‎→‎‎=(0，2)‎，AC‎→‎‎=(2，3)‎，则AB‎→‎‎⋅BD‎→‎=‎　 　．‎ ‎15．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为b‎2‎‎4sinB，且cos(A-C)-cosB=‎‎2‎‎3‎，则cosB＝　 　．‎ ‎16．已知椭圆C的焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为　 　．‎ 三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足‎2an-Sn=1(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn＝log2（1+Sn），求数列‎{‎1‎bnbn+1‎}‎的前n项和Tn．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，E，F分别是AC和AB上动点，且AE＝BF．‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥C1F；‎ ‎（Ⅱ）若AE＝2EC，求二面角A1﹣EF﹣A的平面角的余弦值．‎ ‎19．某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A，B，C（A，B，C的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗．患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如表所示：（表中的数据都以一个疗程计）‎ 药物 A B C 单价（单位：元）‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎800‎ 治愈率 ‎85%‎ ‎95%‎ ‎90%‎ 市场使用量（单位：人）‎ ‎305‎ ‎122‎ ‎183‎ ‎（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？‎ ‎（Ⅱ）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望．‎ ‎20．已知⊙M：‎(x-1‎)‎‎2‎+y‎2‎=‎‎1‎‎4‎，直线l：x=-‎‎1‎‎2‎，动圆P与⊙M相外切，且与直线l相切．设动圆心P的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（﹣1，0）的直线与曲线C交于A，B两点（点A在点D，B之间），点Q满足QA‎→‎‎=3‎AM‎→‎，求△ABM与△ADQ的面积之和取得最小值时直线AB的方程．‎ ‎21．已知f（x）＝xex﹣ax+2（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若a≤1，求证f（x）≥lnx+3．‎ 选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，将曲线C：x2+y2＝1上的点按坐标变换x′=2xy′=y，得到曲线C'，M为C与x轴负半轴的交点，经过点M且倾斜角为60°的直线l与曲线C的另一个交点为N，与曲线C'的交点分别为A，B（点A在第二象限）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C'的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求|AN|﹣|BM|的值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x+4，若函数f（x）的图象与函数g（x ‎）的图象只有一个公共点，求a的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}，则∁UA＝（　　）‎ A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x≤﹣2或x≥4} C．{x|﹣2＜x＜4} D．{x|﹣2≤x≤4}‎ ‎【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．‎ 解：∵A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，U＝R，‎ ‎∴∁UA＝{x|﹣2≤x≤4}．‎ 故选：D．‎ ‎2．设i为虚数单位，复数z满足z（1+i）3＝4i，则在复平面内，z对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．‎ 解：z（1+i）3＝4i，∴z•2i（1+i）＝4i，∴z‎=‎2‎‎1+i=‎2(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=‎1﹣i．‎ 则在复平面内，z‎=‎1+i对应的点（1，1）位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎3．已知α是第二象限角，且cos(‎3π‎2‎+α)=‎‎1‎‎4‎，则cosα＝（　　）‎ A．‎-‎‎15‎‎4‎ B．‎-‎‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎4‎ D．‎‎15‎‎4‎ ‎【分析】又已知利用诱导公式可求sinα的值，结合α是第二象限角，利用同角三角函数基本关系式即可求解．‎ 解：∵cos(‎3π‎2‎+α)=‎1‎‎4‎=‎sinα，‎ 又∵α是第二象限角，‎ ‎∴cosα‎=-‎1-sin‎2‎α=-‎‎15‎‎4‎．‎ 故选：A．‎ ‎4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品．以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如表所示．‎ 薪资 占比 岗位 ‎[0.5，1]‎ ‎（1，2]‎ ‎（2，3]‎ ‎（3，5]‎ 数据开发 ‎8%‎ ‎25%‎ ‎32%‎ ‎35%‎ 数据分析 ‎15%‎ ‎36%‎ ‎32%‎ ‎17%‎ 数据挖掘 ‎9%‎ ‎12%‎ ‎28%‎ ‎51%‎ 数据产品 ‎7%‎ ‎17%‎ ‎41%‎ ‎35%‎ 由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（　　）‎ A．数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 ‎ B．数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 ‎ C．数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 ‎ D．数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发 ‎【分析】推导出数据挖掘岗位（51%）薪资水平最高，数据分析岗位（17%）的薪资水平最低，数据产品岗位（41%）的薪资水平要高于数据开发岗位（32%）的薪资水平．‎ 解：由表格中薪资落在区间（3，5]的比例可知，‎ 数据挖掘岗位（51%）薪资水平最高，数据分析岗位（17%）的薪资水平最低，‎ 再由薪资落在区间（2，3]的比例，‎ 可知数据产品岗位（41%）的薪资水平要高于数据开发岗位（32%）的薪资水平．‎ 故选：B．‎ ‎5．双曲线C：x2﹣y2＝2的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎2‎ C．1 D．2‎ ‎【分析】求得双曲线的焦点和渐近线方程，设出P的坐标，由三角形的面积公式可得所求值．‎ 解：双曲线C：x2﹣y2＝2的右焦点为F（2，0），‎ 渐近线方程y＝±x，‎ 由|PO|＝|PF|，可设P在渐近线y＝x上，‎ 若|PO|＝|PF|，可得P（1，1），‎ 则S△OPF‎=‎‎1‎‎2‎|OF|•|yP|‎=‎1‎‎2‎×‎2×1＝1．‎ 故选：C．‎ ‎6．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB的中点，以CD为折痕，将△ABC折成直二面角A﹣CD﹣B，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（　　）‎ A．18π B．20π C．22π D．24π ‎【分析】由CD⊥AB，可得BD⊥CD，AD⊥CD．∠ADB为直二面角A﹣CD﹣B的平面角，∠ADB＝90°．设三棱锥B﹣ACD的外接球的半径为R，根据长方体的性质即可得出过A，B，C，D四点的球的半径．‎ 解：如图所示，‎ ‎∵CD⊥AB，∴第二个图中，BD⊥CD，AD⊥CD．‎ ‎∴∠ADB为直二面角A﹣CD﹣B的平面角，∠ADB＝90°．‎ 设三棱锥B﹣ACD的外接球的半径为R，‎ ‎∴（2R）2＝2×22‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎，‎ 可得：4R2＝20．‎ ‎∴过A，B，C，D四点的球的表面积＝4πR2＝20π．‎ 故选：B．‎ ‎7．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数的是（　　）‎ A．f（x）＝|lnx| B．f(x)=‎x‎1‎‎2‎ C．f(x)=x-‎‎1‎x D．f（x）＝3|x|‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别进行判断即可．‎ 解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），函数关于原点不对称性，为非奇非偶函数，不满足条件．‎ B．f（x）的定义域是[0，+∞），函数关于原点不对称性，为非奇非偶函数，不满足条件．‎ C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝﹣x‎+‎1‎x=-‎（x‎-‎‎1‎x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，不满足条件．‎ D．f（﹣x）＝3|﹣x|＝3|x|＝f（x），则函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝3x 为增函数，满足条件，‎ 故选：D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（　　）‎ A．‎5‎ B．‎6‎ C．‎7‎ D．‎‎2‎‎2‎ ‎【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的最大棱长．‎ 解：根据几何体的三视图转换为几何体图形如下：该几何体为四棱锥体．‎ 所以：该几何体的最大棱长为l‎=‎(‎3‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎2‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎7‎ 故选：C．‎ ‎9．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的．负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用．今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U=kcq‎2‎(‎1‎R+‎1‎R+x‎1‎-‎x‎2‎-‎1‎R+‎x‎1‎-‎1‎R-‎x‎2‎)‎，其中kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且|x1|和|x2|都远小于R ‎，当|x|远小于1时，（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，则U的近似值为（　　）‎ A．‎2‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ B．‎-‎‎2‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ ‎ C．kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ D．‎‎-‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎ ‎【分析】把U中的式子变形为（1+x）﹣1的形式，利用当|x|远小于1时，（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，即可求出U的近似值．‎ 解：‎U=kcq‎2‎(‎1‎R+‎1‎R+x‎1‎-‎x‎2‎-‎1‎R+‎x‎1‎-‎1‎R-‎x‎2‎)‎ ‎=kcq‎2‎(‎1‎R+‎1‎R(1+x‎1‎‎-‎x‎2‎R)‎-‎1‎R(1+x‎1‎R)‎-‎1‎R(1-x‎2‎R)‎)‎‎ ‎ ‎≈‎kcq‎2‎R‎[1+1‎-x‎1‎‎-‎x‎2‎R+‎（x‎1‎‎-‎x‎2‎R）2﹣1‎+x‎1‎R-‎（x‎1‎R）2﹣1‎-x‎2‎R-‎（x‎2‎R）2]‎ ‎=-kcq‎2‎R⋅‎‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎2‎‎ ‎ ‎=-‎‎2‎kcq‎2‎x‎1‎x‎2‎R‎3‎‎，‎ 故选：B．‎ ‎10．设a=‎‎13‎，b＝log213，b＝21.5，则下列正确的是（　　）‎ A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎【分析】由‎13‎‎＞‎8‎=‎21.5，可得a与c的大小关系．由135＞219，可得b＝log213＞3.8‎＞‎‎13‎，即可得出b与a的大小关系．‎ 解：∵‎13‎‎＞‎8‎=‎21.5，∴a＞c．‎ ‎∵135＞219，∴b＝log213＞3.8‎＞‎‎13‎，∴b＞a．‎ 故选：C．‎ ‎11．将函数f(x)=‎3‎sin2x+2cos‎2‎x-1‎的图象向右平移φ(0＜φ＜π‎2‎)‎个单位长度后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，有‎|x‎1‎-x‎2‎‎|‎min=‎π‎6‎，则φ＝（　　）‎ A．π‎6‎ B．π‎4‎ C．π‎3‎ D．‎‎5π‎12‎ ‎【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ 解：函数f(x)=‎3‎sin2x+2cos‎2‎x-1=‎3‎sin2x+cos2x=2sin(2x+π‎6‎)‎．‎ 把函数f（x）的图象向右平移φ个单位，得到：g（x）＝2sin（2x﹣2φ‎+‎π‎6‎）．‎ 采用代入法，当φ‎=‎π‎3‎时，正好满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，有‎|x‎1‎-x‎2‎‎|‎min=‎π‎6‎，‎ 故选：C．‎ ‎12．已知函数f(x)=‎‎(x+2)ex，x≤0‎x‎2‎‎-3x+2，x＞0‎，g(x)=‎f(x)，x≤m‎-x+3，x＞m，若g（x）恰好有3个零点，则m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，1） B．（﹣2，1] C．[1，2）∪[3，+∞） D．（1，2]∪[3，+∞）‎ ‎【分析】根据m的取值范围分类讨论，确定函数g（x）的解析式，再根据零点的定义求解即可得出．‎ 解：当m＝0时，g（x）＝0即x≤0时，（x+2）ex＝0或x＞0时﹣x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝3，不符合题意；‎ 当m＜0时，g（x）＝0即x≤m时，（x+2）ex＝0或x＞m时﹣x+3＝0，最多只有两个解，不符合题意；‎ 当m＞0时，g（x）＝0即x≤0时，（x+2）ex＝0或当0＜x≤m时，x2﹣3x+2＝0或当x ‎＞m时，﹣x+3＝0，‎ 解得x＝﹣2，或当0＜x≤m时，x＝1或x＝2，或当x＞m时，x＝3‎ 因为函数g（x）恰好有3个零点，若零点为﹣2，1，3，则m∈[1，2），‎ 若零点为﹣2，1，2，则m∈[3，+∞）‎ 综上，m的取值范围是[1，2）∪[3，+∞）．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（x‎+‎‎2‎x）6的展开式中常数项为　60　．（用数字作答）‎ ‎【分析】根据二项展开式的通项公式，求出常数项来．‎ 解：∵‎(x+‎2‎x)‎‎6‎的展开式中，‎ Tr+1‎=‎C‎6‎r•‎(x)‎‎6-r•‎(‎2‎x)‎r‎=‎2γ•C‎6‎r•x‎3-‎‎3r‎2‎，‎ 令3‎-‎3r‎2‎=‎0，‎ 解得r＝2；‎ ‎∴常数项为T2+1＝22‎×C‎6‎‎2‎=‎4×15＝60．‎ 故答案为：60．‎ ‎14．在平行四边形ABCD中，AD‎→‎‎=(0，2)‎，AC‎→‎‎=(2，3)‎，则AB‎→‎‎⋅BD‎→‎=‎　﹣3　．‎ ‎【分析】把所求问题用向量的三角形法则转化为用已知向量表示，代入求解即可．‎ 解：如图；‎ ‎∵平行四边形ABCD中，AD‎→‎‎=(0，2)‎，AC‎→‎‎=(2，3)‎，‎ 则AB‎→‎‎⋅BD‎→‎=‎（AC‎→‎‎+‎CB‎→‎）•（BC‎→‎‎+‎CD‎→‎）＝（AC‎→‎‎-‎AD‎→‎）•（AD‎→‎‎+AD‎→‎-‎AC‎→‎）＝（AC‎→‎‎-‎AD‎→‎）•（2AD‎→‎‎-‎AC‎→‎）＝（2，1）•（﹣2，1）＝（﹣2）×2+1×1＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎15．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为b‎2‎‎4sinB，且cos(A-C)-cosB=‎‎2‎‎3‎，则cosB＝　‎1‎‎6‎　．‎ ‎【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式cos(A-C)-cosB=‎‎2‎‎3‎，解得cosAcosC‎=‎‎1‎‎3‎，由题意根据三角形的面积公式，正弦定理结合sinB≠0，可解得sinAsinC‎=‎‎1‎‎2‎，进而利用三角函数恒等变换的应用可求cosB的值．‎ 解：∵cos(A-C)-cosB=‎‎2‎‎3‎，可得cos（A﹣C）+cos（A+C）‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴2cosAcosC‎=‎‎2‎‎3‎，解得cosAcosC‎=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∵△ABC的面积为b‎2‎‎4sinB‎=‎‎1‎‎2‎acsinB，‎ ‎∴可得b2＝2acsin2B，由正弦定理可得sin2B＝2sinAsinCsin2B，‎ ‎∵sinB≠0，‎ ‎∴解得sinAsinC‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴cosB＝﹣cos（A+C）＝sinAsinC﹣cosAcosC‎=‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 故答案为：‎1‎‎6‎．‎ ‎16．已知椭圆C的焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为　‎3‎‎3‎　．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义可求出‎|AB|=‎3‎‎2‎a，|AF2|＝a＝|AF1|，再在△AF1F2和△ABF2中分别利用余弦定理，通过角A建立关于a和c的等量关系，化简后即可得解．‎ 解：由椭圆的定义可知，|BF1|+|BF2|＝2a，∴‎1‎‎3‎‎|AB|+|AB|=2a即‎|AB|=‎3‎‎2‎a，‎ ‎∴|AF1|‎=‎2‎‎3‎|AB|=a，‎ ‎∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a＝|AF1|，即点A位于椭圆的上或下顶点，‎ 在△AF1F2中，由余弦定理可知，cosA=‎|AF‎1‎‎|‎‎2‎+|AF‎2‎‎|‎‎2‎-|‎F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎‎2⋅|AF‎1‎|⋅|AF‎2‎|‎=‎a‎2‎‎+a‎2‎-4‎c‎2‎‎2⋅a⋅a①，‎ 在△ABF2中，由余弦定理可知，cosA=‎|AB‎|‎‎2‎+|AF‎2‎‎|‎‎2‎-|BF‎2‎‎|‎‎2‎‎2⋅|AB|⋅|AF‎2‎|‎=‎‎(‎3‎‎2‎a‎)‎‎2‎+a‎2‎-(‎3‎‎2‎a‎)‎‎2‎‎2⋅‎3‎‎2‎a⋅a②，‎ 由①②化简整理得，a=‎3‎c，‎ ‎∴离心率e=ca=‎‎3‎‎3‎．‎ 故答案为：‎3‎‎3‎．‎ 三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足‎2an-Sn=1(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn＝log2（1+Sn），求数列‎{‎1‎bnbn+1‎}‎的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求数列的首项，再研究数列{an}相邻项的关系，得出通项公式；‎ ‎（Ⅱ）先求Sn，再求bn，然后利用裂项相消法求Tn．‎ 解：（Ⅰ）∵2an﹣Sn＝1，令n＝1，解得a1＝1，n≥2，又2an﹣1﹣Sn﹣1＝1，两式相减，得an＝2an﹣1，‎ ‎∴{an}是以a1＝1为首项，q＝2为公比的等比数列，∴an‎=‎‎2‎n-1‎；‎ ‎（Ⅱ）∵1+Sn＝2n，∴bn‎=log‎2‎(1+Sn)=log‎2‎‎2‎n=n，‎‎1‎bnbn+1‎‎=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎ ‎∴Tn‎=‎1‎‎1×2‎+‎1‎‎2×3‎+⋯+‎1‎n(n+1)‎=(1-‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+⋯+(‎1‎n-‎1‎n+1‎)=1-‎1‎n+1‎=‎nn+1‎．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，E，F分别是AC和AB上动点，且AE＝BF．‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥C1F；‎ ‎（Ⅱ）若AE＝2EC，求二面角A1﹣EF﹣A的平面角的余弦值．‎ ‎【分析】以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，不妨设AB＝3，求出相关点的坐标，‎ ‎（Ⅰ）设AE＝n，通过证明B‎1‎E‎→‎‎⊥‎C‎1‎F‎→‎，推出B1E⊥C1F．‎ ‎（Ⅱ）求出平面A1EF的法向量，平面EAF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A1﹣EF﹣A的余弦值即可．‎ 解：以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，不妨设AB＝3，‎ 则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），A1（0，0，3），B1（3，0，3），C1（0，3，3）．‎ ‎（Ⅰ）设AE＝n，则E（0，n，0），F（3﹣n，0，0），∴B‎1‎E‎→‎‎=(-3，n，-3)‎，C‎1‎F‎→‎‎=(3-n，-3，-3)‎，‎ ‎∵B‎1‎E‎→‎‎⋅C‎1‎F‎→‎=(-3，n，-3)⋅(3-n，-3，-3)=0‎，∴B‎1‎E‎→‎‎⊥‎C‎1‎F‎→‎即B1E⊥C1F．‎ ‎（Ⅱ）由AE＝2EC，得E（0，2，0），F（1，0，0），‎ ‎∴A‎1‎E‎→‎‎=(0，2，-3)‎，EF‎→‎‎=(1，-2，0)‎，AF‎→‎‎=(1，0，0)‎，‎ 设平面AEF的法向量n‎1‎‎→‎‎=(x，y，z)‎，∵A‎1‎E‎→‎‎=(0，2，-3)‎，EF‎→‎‎=(1，-2，0)‎，‎ 由n‎1‎‎→‎‎⋅A‎1‎E‎→‎=0‎n‎1‎‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎，得‎2y-3z=0‎x-2y=0‎，令y＝3，得x＝6，z＝2，∴n‎1‎‎→‎‎=(6，3，2)‎，‎ ‎∵A1A⊥平面EAF，∴平面EAF的法向量n‎2‎‎→‎‎=(0，0，1)‎，‎ ‎∴cosθ=‎|n‎1‎‎→‎⋅n‎2‎‎→‎|‎‎|n‎1‎‎→‎|⋅|n‎2‎‎→‎|‎=‎‎2‎‎7‎．‎ 所以二面角A1﹣EF﹣A的余弦值为‎2‎‎7‎．‎ ‎19．某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A，B，C（A，B，C的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗．患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如表所示：（表中的数据都以一个疗程计）‎ 药物 A B C 单价（单位：元）‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎800‎ 治愈率 ‎85%‎ ‎95%‎ ‎90%‎ 市场使用量（单位：人）‎ ‎305‎ ‎122‎ ‎183‎ ‎（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？‎ ‎（Ⅱ）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件，直接求解一个疗程被治愈的概率．‎ ‎（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率，治疗费是1000元的概率，治疗费是800元的概率，得到分布列，然后求解期望即可．‎ 解：（Ⅰ）‎305×85%+122×95%+183×90%‎‎305+122+183‎‎=0.885‎；‎ ‎（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为‎305‎‎305+122+183‎‎=0.5‎，‎ 治疗费是1000元的概率为‎122‎‎305+122+183‎‎=0.2‎；‎ 治疗费是800元的概率为‎183‎‎305+122+183‎‎=0.3‎；‎ 分布列为 X ‎600‎ ‎1000‎ ‎800‎ P ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ EX＝600×0.5+1000×0.2+800×0.3＝740元．‎ ‎20．已知⊙M：‎(x-1‎)‎‎2‎+y‎2‎=‎‎1‎‎4‎，直线l：x=-‎‎1‎‎2‎，动圆P与⊙M相外切，且与直线l相切．设动圆心P的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（﹣1，0）的直线与曲线C交于A，B两点（点A在点D，B之间），点Q满足QA‎→‎‎=3‎AM‎→‎，求△ABM与△ADQ的面积之和取得最小值时直线AB的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设P（x，y），根据题意有‎(x-1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=x+1‎，推出结果．‎ ‎（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，且不为零，其方程为y＝kx+k，设A（x1，y1），B（x2，y2），QA‎→‎‎=3‎AM‎→‎，推出yQ＝4y1，A（x1，y1），B（x2，y2）满足y=kx+ky‎2‎‎=4x，利用韦达定理，结合S△ABM+S△ADQ＝S△QDM+S△BDM﹣2S△ADM，转化求解即可．‎ 解：（Ⅰ）设P（x，y），根据题意有‎(x-1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=x+1‎，‎ 化简后，得y2＝4x．‎ ‎（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，且不为零，其方程为y＝kx+k，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），QA‎→‎‎=3‎AM‎→‎，即（x1﹣xQ，y1﹣yQ）＝3（1﹣x1，0﹣y1），‎ ‎∴yQ＝4y1，A（x1，y1），B（x2，y2）满足y=kx+ky‎2‎‎=4x，‎ 消去x，得ky2﹣4y+4k＝0，y1y2＝4，‎ S△ABM+S△ADQ＝S△QDM+S△BDM﹣2S△ADM‎=‎1‎‎2‎×2|yQ|+‎1‎‎2‎×2|y‎2‎|-2×‎1‎‎2‎×2|y‎1‎|‎ ‎＝|yQ|+|y2|＝2|y1|＝4|y1|+|y2|＝2|y1|‎ ‎=2|y‎1‎|+|y‎2‎|≥2‎2|y‎1‎|⋅|y‎2‎|‎=2‎2|y‎1‎y‎2‎|‎=4‎‎2‎‎．‎ 当且仅当y‎1‎y‎2‎‎=4‎‎|y‎2‎|=2|y‎1‎|‎，即y‎1‎‎=‎‎2‎y‎2‎‎=2‎‎2‎或y‎1‎‎=-‎‎2‎y‎2‎‎=-2‎‎2‎时，‎ ‎△ABM与△ADQ的面积之和最小，最小值为‎4‎‎2‎．‎ y‎1‎‎=‎‎2‎时，x‎1‎‎=y‎1‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎，A(‎1‎‎2‎，‎2‎)‎，直线l的方程为y=‎2‎‎2‎‎3‎x+‎‎2‎‎2‎‎3‎；‎ y‎1‎‎=-‎‎2‎时，x‎1‎‎=y‎1‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎，A(‎1‎‎2‎，-‎2‎)‎，直线l的方程为y=-‎2‎‎2‎‎3‎x-‎‎2‎‎2‎‎3‎．‎ ‎∴△ABM与△ADQ的面积之和最小值直线l的方程为y=‎2‎‎2‎‎3‎x+‎‎2‎‎2‎‎3‎或y=-‎2‎‎2‎‎3‎x-‎‎2‎‎2‎‎3‎．‎ ‎21．已知f（x）＝xex﹣ax+2（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若a≤1，求证f（x）≥lnx+3．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由f'（0）＝1﹣a及f（0）＝2可求得曲线y＝f（x）在x＝0处切线方程为y＝（1﹣a）x+2，由切线与坐标轴围成的图形面积为4，即可求得实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）令g（x）＝xex﹣x﹣lnx﹣1（x＞0），则g′(x)=(x+1)(ex-‎1‎x)‎，设g'（x）的零点为x0，可求得g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0＝0，从而可证得a≤1时，f（x）≥lnx+3总成立．‎ 解：（Ⅰ）由f'（x）＝（x+1）ex﹣a，∴f'（0）＝1﹣a，又f（0）＝2，∴切线方程为y＝（1﹣a）x+2，（a≠1）．‎ 当x＝0时，y＝2；‎ 当y＝0时，x‎=‎‎2‎a-1‎，‎ 由于y＝f（x）在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，‎ 则S=‎1‎‎2‎×2×‎2‎‎|a-1|‎=4‎，解得a=‎‎1‎‎2‎，或a=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎（Ⅱ）证明：由f（x）﹣lnx﹣3＝xex﹣ax﹣lnx﹣1，可知x＞0，‎ 又当a≤1时，x•ex﹣ax﹣lnx﹣1≥x•ex﹣x﹣lnx﹣1，‎ 令g（x）＝xex﹣x﹣lnx﹣1（x＞0），‎ 则g′(x)=(x+1)(ex-‎1‎x)‎，‎ 设g'（x）的零点为x0，‎ 则ex‎0‎‎-‎1‎x‎0‎=0‎，即x‎0‎ex‎0‎‎=1‎且lnx0＝﹣x0，g（x）在（0，x0）上递减，（x0，+∞）上递增，‎ ‎∴g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0＝0，‎ ‎∴x＞0时，g（x）≥0恒成立，‎ 从而f（x）﹣lnx﹣3≥0恒成立，‎ ‎∴a≤1时，f（x）≥lnx+3总成立．‎ 选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，将曲线C：x2+y2＝1上的点按坐标变换x′=2xy′=y，得到曲线C'，M为C与x轴负半轴的交点，经过点M且倾斜角为60°的直线l与曲线C的另一个交点为N，与曲线C'的交点分别为A，B（点A在第二象限）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C'的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求|AN|﹣|BM|的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）由题得x=‎x′‎‎2‎y=y′‎代入C的方程x2+y2＝1得C'：x‎′‎‎2‎‎4‎‎+y‎′‎‎2‎=1‎，‎ 即C'的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，‎ l的参数方程为x=-1+‎1‎‎2‎ty=‎3‎‎2‎t（t为参数）；‎ ‎（Ⅱ）M（﹣1，0），|MN|＝1，‎ 将x=-1+‎1‎‎2‎ty=‎3‎‎2‎t（t为参数）代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，‎ 整理得13t2﹣4t﹣12＝0，设t1，t2为方程的两个根，‎ 则t‎1‎‎+t‎2‎=‎‎4‎‎13‎，t‎1‎‎⋅t‎2‎=-‎‎12‎‎13‎，‎ ‎∴‎|AN|-|BM|=|AM|-|BM|-1=t‎1‎+t‎2‎-1=-‎‎9‎‎13‎．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x+4，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象只有一个公共点，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后由f（x）≥0得到|x+1|≥|2x﹣1|，两边平方求出解集；‎ ‎（Ⅱ）由条件知，y＝|x+a|与y＝|2x﹣1|+x+4的图象只有一个交点，然后画出图象这两个函数的图象，结合图象得到a的范围．‎ 解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，‎ ‎∵f（x）≥0，∴|x+1|≥|2x﹣1|，‎ 两边平方，得3x2﹣6x≤0，∴0≤x≤2，‎ ‎∴f（x）≥0的解集为[0，2]；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，方程|x+a|﹣|2x﹣1|＝x+4只有一个实根，‎ 即y＝|x+a|与y＝|2x﹣1|+x+4的图象只有一个交点，‎ ‎∵y＝|2x﹣1|+x+4‎=‎‎5-3x，x≤‎‎1‎‎2‎x+3，x＞‎‎1‎‎2‎，‎ 而y＝|x+a|的图象由y＝|x|向左（a＞0）或向右（a＜0）平移了|a|个单位，‎ 结合图象可知，它们只有一个公共点，则a＞3或a＝﹣4，‎ ‎∴a的取值范围为{﹣4}∪（3，+∞）．‎ ‎ ‎