新疆乌鲁木齐市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

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新疆乌鲁木齐市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2018-2019学高一下学期【数学】期中考试(试卷)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题仅有一个正确答案)‎ ‎1.在中,,,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理的推论即可求解.‎ ‎【详解】因为,,‎ 由正弦定理.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了正弦定理的推论,属于基础题.‎ ‎2.△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=4,∠C=60°,则c的值等于 ( ).‎ A. 5 B. ‎13 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得c的值.‎ ‎【详解】 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查应用余弦定理求解三角形的边长,意在考查余弦定理的掌握情况,解题中要注意选择合适的表达式,准确代入数值.‎ ‎3.如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正视图和左视图可以得到A,俯视图可以得到B和D,结合三视图定义和作法即可得出选项.‎ ‎【详解】正视图和左视图相同,说明组合体上面是锥体,下面是正四棱柱或圆柱,‎ 俯视图可知下面是圆柱.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了三视图还原直观图,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.‎ ‎4.已知数列的通项公式为,则15是数列的( )‎ A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得,解方程即可求解.‎ ‎【详解】由题意:,‎ ‎,‎ 解得或,,.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式的应用,属于基础题.‎ ‎5.在等比数列中,已知,公比,则( )‎ A. 27 B. ‎81 ‎C. 243 D. 192‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先求出数列中的首项,再利用数列的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】是等比数列,且,,所以,‎ 所以,所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,熟记公式是关键,属于基础题.‎ ‎6.在等差数列中,,则( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质即可求解.‎ ‎【详解】是等差数列,由等差数列的性质可得 ‎,解得.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质,需熟记若,则,属于基础题.‎ ‎7.己知三个数1,4,成等比数列,则的值为( )‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 10 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项即可求解.‎ ‎【详解】由三个数1,4,成等比数列,‎ 则,即.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了利用等比中项求数列中的项,属于基础题.‎ ‎8.在中,,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 中,∵,故三个内角分别为 , 则 ‎ 故选A.‎ ‎9.如图,设、两点在河两岸,一测量者在的同侧河岸边选定一点,测出、的距离是,,,则、两点间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的内角和定理求出,再利用正弦定理即可求解.‎ ‎【详解】由三角形的内角和可得,‎ 在中,由正弦定理可得,‎ 所以,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用,需熟记正弦定理,属于基础题.‎ ‎10.已知数列的前项和为,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用裂项求和法即可求解.‎ ‎【详解】由,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了裂项求和法求数列的前的和,属于基础题.‎ ‎11.若数列满足,,则( )‎ A. 512 B. ‎1023 ‎C. 2047 D. 4096‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意把构造成的形式,然后依据等比数列的知识求出数列的通项公式,进而求出的值.‎ ‎【详解】,‎ ‎,,‎ 数列是以为首项,为公比的等比数列,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了由递推关系式求数列中的项,涉及构造法求数列的通项公式以及等比数列的通项公式,属于中档题.‎ ‎12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为 (  )‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:由三角形面积公式可得,再由余弦定理可得,最后结合正弦定理即可得结果.‎ 详解:根据三角形面积公式得,,得,则,即,,故正确答案为C.‎ 点睛:此题主要考三角形面积公式的应用,以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能,属于中低档题型,也是常考考点.此类题的题型一般有:1.已知两边和任一边,求其他两边和一角,此时三角形形状唯一;2.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,此时三角形形状不一定唯一.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.在中,已知,,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理直接求解即可.‎ ‎【详解】在中,由正弦定理可得,‎ 又,,,所以,即或,‎ 又因为,所以,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,注意三角形中“大边对大角”的性质,属于基础题.‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图作出几何体的直观图即可求出表面积.‎ ‎【详解】由三视图可得几何体的直观图如下:‎ ‎ ‎ 所以几何体的表面积为 ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图还原直观图以及求多面体的表面积,属于基础题.‎ ‎15.若数列的前项和,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件,利用公式求解即可.‎ ‎【详解】前项和,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了利用与的关系求数列中的项,属于基础题.‎ ‎16.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-等比数列,则a5等于________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 由题意可得=(-)n-1(n≥2),所以=-,=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的4个式子两边分别相乘得=(-)1+2+3+4=32,又a1=1,所以a5=32.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤)‎ ‎17.已知在中,,,,解三角形.‎ ‎【答案】,,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理直接求解即可.‎ ‎【详解】在中,,,, ‎ 由正弦定理可得,‎ 所以,所以或,‎ 又,所以,即,.‎ 综上可得,,.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,需熟记正弦定理的内容,属于基础题.‎ ‎18.记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)求,并求的最小值.‎ ‎【答案】(1)an=2n–9,(2)Sn=n2–8n,最小值–16.‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(2)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解:(1)设{an}的公差为d,由题意得‎3a1+3d=–15.‎ 由a1=–7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.‎ 点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎19.在中,角,,所对的边分别为,,,且满足.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)已知,的面积为,求边长的值.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据正弦定理,将边化为角,进一步化简,即得结果;(2)结合上一问的结果,列三角形面积公式,解出,然后根据余弦定理求解边.‎ 试题解析:(1)在中,由正弦定理得:‎ 因为,所以 从而,又 所以,所以.‎ ‎(2)在中,,得 由余弦定理得:所以.‎ 考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式.‎ ‎20.已知等比数列的公比,且,.‎ ‎(1)求等比数列的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列的前项和为,求.‎ ‎【答案】(1);(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意求出等比数列的公比,再利用等比数列的通项公式即可求解.‎ ‎(2)利用等比数列的前项和求出,然后利用分组求和法即可求解.‎ ‎【详解】(1)由是等比数列,,‎ 所以,即,又,所以,‎ ‎,,‎ ‎ ‎ ‎(2)由等比数列的前项和公式可得 ‎ 则 ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、前项和公式以及分组求和,需熟记公式,属于基础题.‎ ‎21.在中,内角,,所对的边分别是,,,已知,.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若的面积,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把的值代入求出,利用余弦定理表示出,将各自的值代入即可求出的值.‎ ‎(2)利用平方关系求出,结合三角形的面积求出,的值,再由余弦定理求得,最后由正弦定理求得的值.‎ ‎【详解】(1)由,,代入可得: ‎ 由余弦定理得:,‎ 解得.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 由,得,,‎ 由,得,‎ 由,得 ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正、余弦定理,三角形的面积公式以及同角三角函数的平方关系,熟记公式是关键,属于基础题.‎ ‎22.已知正项等差数列的前项和为,若,且成等比数列.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,记数列的前项和为,求 ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列S3=12,等差中项的性质,求得a2=4,结合 ‎2a1,a2,a3+1成等比数列,得a22=2(a2-d)(a2+d+1),进而求得的通项公式;(2)确定数列的通项,利用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】设公差为d,则∵S3=12,,即a1+a2+a3=12,∴‎3a2=12,∴a2=4,‎ 又∵‎2a1,a2,a3+1成等比数列,∴a22=2(a2-d)(a2+d+1),解得d=3或d=-4(舍去),‎ ‎∴an=a2+(n-2)d=3n-2‎ ‎(2) ,∴ ①‎ ‎①× 得 ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ,‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质,以及等差数列的通项公式和等比数列的求和公式,考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于{}型数列,其中分别是等差数列和等比数列.‎
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