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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版选修4－4坐标系与参数方程学案
选修4－4坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系. 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 1．判断题 (1)平面直角坐标系中点P(－2,3)在变换φ：的作用下得到的点为P′(－1,1)．( ) (2)已知伸缩变换φ：经φ变换得到点A′(2,4)，则原来点的坐标为A(4，－2)．( ) 答案：(1)√ (2)× 2．填空题 (1)直线l：x－2y＋3＝0经过φ：变换后得到的直线l′方程为________________． 解析：设l′上的任一点P(x′，y′)由题得代入x－2y＋3＝0得x′－y′＋3＝0，直线l′的方程为x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0 (2)已知平面直角坐标系中点A(－2,4)经过φ变换后得A′的坐标为，则伸缩变换φ为________． 解析：设伸缩变换φ： 则有解得∴φ： 答案：φ： 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标． [解] 设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 由题意，将代入x2－＝1 得－＝1， 化简得－＝1， 即－＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)． [方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式． 1．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程． 解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)， 由题意，将代入y＝6x得2y′＝6×， 所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x. 2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换． 解：设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4. 3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标． 解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应点的坐标为P′(x′，y′)， 则所以4x′2＋9y′2＝36， 即＋＝1. 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1， 其焦点坐标为(±，0)． 突破点(二) 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 1．判断题 (1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.( ) (2)tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线．( ) (3)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2.填空题 (1)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________． 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为. 答案： (2)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为________． 解析：如图，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x.由图象可知圆在点M(2,0)处的切线的直角坐标方程为x＝2，即ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝2 (3)在极坐标系中A，B两点间的距离为________． 解析：法一：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)． ∴|AB|＝＝＝6. 答案：6 (4)圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ， 化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0. 圆心的坐标为，化成极坐标为. 答案：(答案不唯一) (5)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得2＝2＝4. 答案：4 极坐标与直角坐标的互化 1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程 2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程． (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤： [例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由得 则直线l与圆O公共点的一个极坐标为. [方法技巧] 1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的． (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值． 极坐标方程的应用 [例2] (2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求出圆C的直角坐标方程； (2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值． [解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0. (2)l：y＝2x关于点M(0，m)对称的直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，实数m的最大值为－2. [易错提醒] 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决． 1.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离． 解：由2ρsin＝，得2ρ＝，由坐标变换公式，得直线l的直角坐标方程为y＋x＝1，即x＋y－1＝0. 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，所以点A到直线l的距离d＝＝. 2.在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2. (1)求曲线C2的极坐标方程； (2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos＝的距离的最大值． 解：(1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4. 消去ρ1，得曲线C2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)． (2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.C2是以点(0,1)为圆心，以1为半径的圆(坐标原点除外)． 圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)， 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 当α＝－时，S取得最大值2＋. 所以△OAB面积的最大值为2＋. 2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2， 则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆． 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1. [课时达标检测] 1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C经过点P， 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离． 解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1. 3．(2018·扬州质检)求经过极点O(0,0)，A，B三点的圆的极坐标方程． 解：点O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)， 故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为3， 圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18， 即x2＋y2－6x－6y＝0， 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝6cos. 4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R. (1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标； (2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标． 解：(1)曲线C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而＋ρ2sin2θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1， 点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(cos θ，sin θ)， 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin， 当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周长的最小值为4， 此时点P的直角坐标为. 5．(2018·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标． 解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝kcos θ－ksin θ， 即ρ2＝kρcos θ－kρsin θ， 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0， 即2＋2＝k2， 所以圆心C的直角坐标为. 直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·－ρcos θ·＝4， 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0， 所以－|k|＝2. 即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3， 所以或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为. 6．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点(2,0)． (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； (2)设点Q和点G的极坐标分别为，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积． 解：(1)曲线C的极坐标方程化为ρ2sin2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为y2＝8x. 直线l的参数方程为(t为参数)． (2)点Q的直角坐标为(0，－2)． 因为直线l过点P(2,0)和Q(0，－2)， 所以直线l的倾斜角α＝. 所以直线l的参数方程为(t为参数)． 将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2＝8.整理，得t2－8t－32＝0. Δ＝(－8)2＋4×32＝256>0. 设t1，t2为方程t2－8t－32＝0的两个根， 则t1＋t2＝8，t1·t2＝－32， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝16. 由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2,0)． 点G到直线l的距离为d＝|PG|sin 45°＝4×＝2， 所以S△GAB＝×d×|AB|＝×16×2＝16. 7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为. (1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程． 解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos. (2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)， 又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点， 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)， 即(α为参数)， ∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1. 8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值． 解：(1)∵C1的参数方程为 ∴C1的普通方程为＋y2＝1. 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)， 将D 代入，得2＝2a×， ∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1， 即ρ2＝. ∴ρ＝， ρ＝＝. ∴＋＝＋＝. 第二节 参数方程 本节主要包括2个知识点： 1.参数方程； 2.参数方程与极坐标方程的综合问题. 突破点(一) 参数方程 1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)． (2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． (3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)． 1．判断题 (1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线．( ) (2)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为1.( ) 答案：(1)√ (2)× 2．填空题 (1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________． 解析：∵＝＝－，∴tan α＝－. 答案：－ (2)椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________. 解析：由(φ为参数)得，＋＝1，当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×＝. 答案： (3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________． 解析：由(θ为参数)消去参数θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)． 答案：y＝－2x2(－1≤x≤1) (4)椭圆(θ为参数)的离心率为________． 解析：由椭圆的参数方程可知a＝5，b＝2.故c＝＝，故椭圆的离心率e＝＝ . 答案： 参数方程与普通方程的互化 1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等． 2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值； (2)解题的一般步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数t； 第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t)); 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解． [例1] 将下列参数方程化为普通方程． (1)(t为参数)； (2)(θ为参数)． [解] (1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 又x＝，∴x≠0. 当t≥1时，0查看更多