【数学】2019届一轮复习北师大版选修4-4坐标系与参数方程学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版选修4-4坐标系与参数方程学案

选修4-4坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括2个知识点: 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2.极坐标系.‎ 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 ‎ 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎1.判断题 ‎(1)平面直角坐标系中点P(-2,3)在变换φ:的作用下得到的点为P′(-1,1).(  )‎ ‎(2)已知伸缩变换φ:经φ变换得到点A′(2,4),则原来点的坐标为A(4,-2).(  )‎ 答案:(1)√ (2)×‎ ‎2.填空题 ‎(1)直线l:x-2y+3=0经过φ:变换后得到的直线l′方程为________________.‎ 解析:设l′上的任一点P(x′,y′)由题得代入x-2y+3=0得x′-y′+3=0,直线l′的方程为x-y+3=0.‎ 答案:x-y+3=0‎ ‎(2)已知平面直角坐标系中点A(-2,4)经过φ变换后得A′的坐标为,则伸缩变换φ为________.‎ 解析:设伸缩变换φ: 则有解得∴φ: 答案:φ: 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 ‎[典例] 求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ ‎[解] 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),‎ 由题意,将代入x2-=1‎ 得-=1,‎ 化简得-=1,‎ 即-=1为曲线C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线,‎ 则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎[方法技巧]‎ 应用伸缩变换公式时的两个注意点 ‎(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P′的坐标(x′,y′),再利用伸缩变换公式建立联系.‎ ‎(2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x′,y′)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.  ‎ ‎1.求直线l:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l′的方程.‎ 解:设直线l′上任意一点P′(x′,y′),‎ 由题意,将代入y=6x得2y′=6×,‎ 所以y′=x′,即直线l′的方程为y=x.‎ ‎2.在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.‎ 解:设变换为代入第二个方程,得2λx-μy=4,与x-2y=2比较系数得λ=1,μ=4,即因此,经过变换后,直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4.‎ ‎3.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标.‎ 解:设圆x2+y2=36上任一点为P(x,y),伸缩变换后对应点的坐标为P′(x′,y′),‎ 则所以4x′2+9y′2=36,‎ 即+=1.‎ 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆+=1,‎ 其焦点坐标为(±,0).‎ 突破点(二) 极坐标系 ‎ ‎1.极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,点O叫做极点,自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ ‎(2)极坐标 一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎(3)点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.‎ 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.‎ ‎2.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x,y)‎ 极坐标(ρ,θ)‎ 互化公式 ‎1.判断题 ‎(1)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.(  )‎ ‎(2)tan θ=1与θ=表示同一条曲线.(  )‎ ‎(3)点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√‎ ‎2.填空题 ‎(1)点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为________.‎ 解析:因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.‎ 答案: ‎(2)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为________.‎ 解析:如图,∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2=2x.由图象可知圆在点M(2,0)处的切线的直角坐标方程为x=2,即ρcos θ=2.‎ 答案:ρcos θ=2‎ ‎(3)在极坐标系中A,B两点间的距离为________.‎ 解析:法一:在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.‎ 法二:A,B的直角坐标为A(1,-),B(-2,2).‎ ‎∴|AB|===6.‎ 答案:6‎ ‎(4)圆ρ=5cos θ-5sin θ的圆心的极坐标为________.‎ 解析:将方程 ρ=5cos θ-5sin θ两边都乘以ρ得:‎ ρ2=5ρcos θ-5ρsin θ,‎ 化成直角坐标方程为x2+y2-5x+5y=0.‎ 圆心的坐标为,化成极坐标为.‎ 答案:(答案不唯一)‎ ‎(5)在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.‎ 解析:直线ρsin=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得2=2=4.‎ 答案:4 极坐标与直角坐标的互化 ‎1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与x轴正半轴是否重合,若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,一定要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2=x2+y2将极坐标方程转化为直角坐标方程 ‎2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x,y分别用ρcos θ,ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程.‎ ‎(2)求直角坐标系中的点(x,y)对应的极坐标的一般步骤:‎ ‎ [例1] 在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ ‎[解] (1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,‎ 圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0.‎ ‎(2)由得 则直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1.应用互化公式的三个前提条件 ‎(1)取直角坐标系的原点为极点.‎ ‎(2)以x轴的正半轴为极轴.‎ ‎(3)两种坐标系规定相同的长度单位.‎ ‎2.直角坐标化为极坐标时的两个注意点 ‎(1)根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.‎ ‎(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值.  ‎ 极坐标方程的应用 ‎[例2] (2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.‎ ‎[解] (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2-4x=0,故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.‎ ‎(2)l:y=2x关于点M(0,m)对称的直线l′的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,故直线l′上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点,故≤2,解得-2-≤m≤-2,于是,实数m的最大值为-2.‎ ‎[易错提醒]‎ 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.  ‎ ‎1.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,求点A到直线l的距离.‎ 解:由2ρsin=,得2ρ=,由坐标变换公式,得直线l的直角坐标方程为y+x=1,即x+y-1=0.‎ 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2,-2),所以点A到直线l的距离d==.‎ ‎2.在极坐标系中,直线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线C3:ρcos=的距离的最大值.‎ 解:(1)设P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有ρ1sin θ=2,ρρ1=4.‎ 消去ρ1,得曲线C2 的极坐标方程为ρ=2sin θ(ρ≠0).‎ ‎(2)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2.C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆(坐标原点除外).‎ 圆心到直线C3的距离d=,故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+.‎ ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律]‎ ‎                   ‎ ‎1.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,‎ 则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,‎ 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,‎ 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.‎ 所以a=1.‎ ‎[课时达标检测] ‎ ‎ 1.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ 解:在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).‎ 因为圆C经过点P,‎ 所以圆C的半径PC= =1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎2.设M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin=上的动点,求M,N的最小距离.‎ 解:因为M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin=上的动点,即M,N分别是圆x2+y2+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x2+y2+2y=0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x+y-1=0的距离减去半径,故最小值为-1=-1.‎ ‎3.(2018·扬州质检)求经过极点O(0,0),A,B三点的圆的极坐标方程.‎ 解:点O,A,B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),‎ 故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,圆心为(3,3),半径为3,‎ 圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18,‎ 即x2+y2-6x-6y=0,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上述方程,‎ 得ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0,‎ 即ρ=6cos.‎ ‎4.(2018·山西质检)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.‎ ‎(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.‎ 解:(1)曲线C:ρ2=,即ρ2+2ρ2sin2θ=3,从而+ρ2sin2θ=1.‎ ‎∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,‎ 点R的直角坐标为R(2,2).‎ ‎(2)设P(cos θ,sin θ),‎ 根据题意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,‎ ‎∴|PQ|+|QR|=4-2sin,‎ 当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4,‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎5.(2018·南京模拟)已知直线l:ρsin=4和圆C:ρ=2kcos(k≠0),若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.‎ 解:圆C的极坐标方程可化为ρ=kcos θ-ksin θ,‎ 即ρ2=kρcos θ-kρsin θ,‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,‎ 即2+2=k2,‎ 所以圆心C的直角坐标为.‎ 直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·-ρcos θ·=4,‎ 所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,‎ 所以-|k|=2.‎ 即|k+4|=2+|k|,‎ 两边平方,得|k|=2k+3,‎ 所以或 解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.‎ ‎6.已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ-8cos θ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中,倾斜角为α的直线l过点(2,0).‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;‎ ‎(2)设点Q和点G的极坐标分别为,(2,π),若直线l经过点Q,且与曲线C相交于A,B两点,求△GAB的面积.‎ 解:(1)曲线C的极坐标方程化为ρ2sin2θ-8ρcos θ=0,再化为直角坐标方程为y2=8x.‎ 直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)点Q的直角坐标为(0,-2).‎ 因为直线l过点P(2,0)和Q(0,-2),‎ 所以直线l的倾斜角α=.‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数).‎ 将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得2=8.整理,得t2-8t-32=0.‎ Δ=(-8)2+4×32=256>0.‎ 设t1,t2为方程t2-8t-32=0的两个根,‎ 则t1+t2=8,t1·t2=-32,‎ 所以|AB|=|t1-t2|===16.‎ 由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(-2,0).‎ 点G到直线l的距离为d=|PG|sin 45°=4×=2,‎ 所以S△GAB=×d×|AB|=×16×2=16.‎ ‎7.(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以C为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程);‎ ‎(2)在直角坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,-),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运动时,求点M的轨迹的普通方程.‎ 解:(1)如图,设圆C上任意一点A(ρ,θ),则∠AOC=θ-或-θ.‎ 由余弦定理得,4+ρ2-4ρcos=4,所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos.‎ ‎(2)在直角坐标系中,点C的坐标为(1,),可设圆C上任意一点P(1+2cos α,+2sin α),‎ 又令M(x,y),由Q(5,-),M是线段PQ的中点,‎ 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数),‎ 即(α为参数),‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.‎ ‎8.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B,若A,B都在曲线C1上,求+的值.‎ 解:(1)∵C1的参数方程为 ‎∴C1的普通方程为+y2=1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos θ(a为半径),‎ 将D 代入,得2=2a×,‎ ‎∴a=2,∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,‎ ‎∴C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为+ρ2sin2θ=1,‎ 即ρ2=.‎ ‎∴ρ=,‎ ρ==.‎ ‎∴+=+=.‎ 第二节  参数方程 本节主要包括2个知识点: 1.参数方程; 2.参数方程与极坐标方程的综合问题.‎ 突破点(一) 参数方程 ‎ ‎1.参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数:并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.‎ ‎2.直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为 (φ为参数).‎ ‎1.判断题 ‎(1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线.(  )‎ ‎(2)直线y=x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(  )‎ 答案:(1)√ (2)×‎ ‎2.填空题 ‎(1)若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为________.‎ 解析:∵==-,∴tan α=-.‎ 答案:- ‎(2)椭圆C的参数方程为(φ为参数),过左焦点F1的直线l与C相交于A,B两点,则|AB|min=________.‎ 解析:由(φ为参数)得,+=1,当AB⊥x轴时,|AB|有最小值.∴|AB|min=2×=.‎ 答案: ‎(3)曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C的普通方程为________.‎ 解析:由(θ为参数)消去参数θ得y=-2x2(-1≤x≤1).‎ 答案:y=-2x2(-1≤x≤1)‎ ‎(4)椭圆(θ为参数)的离心率为________.‎ 解析:由椭圆的参数方程可知a=5,b=2.故c==,故椭圆的离心率e== ‎.‎ 答案: 参数方程与普通方程的互化 ‎1.参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法;④平方后再加减消元法等.其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧,三角恒等式消元法常利用公式sin2θ+cos2θ=1等.‎ ‎2.普通方程化为参数方程 ‎(1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值;‎ ‎(2)解题的一般步骤 第一步,引入参数,但要选定合适的参数t;‎ 第二步,确定参数t与变量x或y的一个关系式x=f(t)(或y=φ(t)); ‎ 第三步,把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y=g(t)(或x=ψ(t)),问题得解.‎ ‎[例1] 将下列参数方程化为普通方程.‎ ‎(1)(t为参数);‎ ‎(2)(θ为参数).‎ ‎[解] (1)∵2+2=1,‎ ‎∴x2+y2=1.‎ ‎∵t2-1≥0,∴t≥1或t≤-1.‎ 又x=,∴x≠0.‎ 当t≥1时,00,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以 又直线l过点P(3,),‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.‎ ‎2.(2018·郑州模拟)将曲线C1:x2+y2=1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2,A为C1与x轴正半轴的交点,直线l经过点A且倾斜角为30°,记l与曲线C1的另一个交点为B,与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C,D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程;‎ ‎(2)求|AC|-|BD|.‎ 解:(1)由题意可得C2:+y2=1,对曲线C1,令y=0,得x=1,所以l:(t为参数).‎ ‎(2)将代入+y2=1,‎ 整理得5t2+4t-4=0.‎ 设点C,D对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,‎ 且|AC|=t1,|AD|=-t2.又|AB|=2|OA|cos 30°=,‎ 故|AC|-|BD|=|AC|-(|AD|-|AB|)=|AC|-|AD|+|AB|=t1+t2+=.‎ 突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题  ‎ 将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起,考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意:,(1)解题时,易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时,要注意选取直角坐标系还是极坐标系,建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择,注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程,常设曲线上任意一点P(ρ,θ),利用解三角形的知识,列出等量关系式,特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起,解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时,要注意其中x,y的取值范围,即注意两者的等价性.‎ 参数方程与极坐标方程的综合问题 ‎[典例] (2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=4.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到曲线C2上点的距离的最小值.‎ ‎[解] (1)由曲线C1:得 曲线C1的普通方程为+y2=1.‎ 由曲线C2:ρsin=4得ρ(sin θ+cos θ)=4,‎ 即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.‎ ‎(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点,‎ 椭圆上的点P(cos α,sin α)到直线x+y-8=0的距离为 d==,‎ 所以当sin(α+φ)=1时,d取得最小值.‎ ‎[方法技巧]‎ 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.‎ ‎(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.  ‎ ‎1.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ .‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0‎ 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ ‎2.(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,π≤α≤2π),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos=t.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数t的取值范围.‎ 解:(1)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=t,∴曲线C2的直角坐标方程为x+y-t=0.‎ ‎(2)曲线C1的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1(0≤x≤2,0≤y≤1),为半圆弧,‎ 如图所示,曲线C2为平行于直线x+y=0的直线,或为直线x+y=0,‎ 当直线C2与曲线C1相切时,由=1,‎ 解得t=2-或t=2+(舍去),‎ 当直线C2过A,B两点时,t=1,‎ 由图可知,当2-0,‎ 故tan α=.所以直线l的斜率为.‎ ‎5.(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中,C1:(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0.‎ ‎(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(2)若P,Q分别为C1,C2上的动点,且|PQ|的最小值为2,求k的值.‎ 解:(1)由可得其普通方程为y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为k的直线.‎ 由ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0可得其直角坐标方程为x2+y2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为1的圆.‎ ‎(2)因为圆心(-5,3)到直线y=k(x-1)的距离d==,故|PQ|的最小值为-1,故-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-.‎ ‎6.(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)直线l与曲线C交于B,D两点,当|BD|取到最小值时,求a的值.‎ 解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,‎ 即ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程:x2+y2=6y,‎ 配方为:x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得:x-ay+a+1=0.‎ ‎(2)由直线l经过定点P(-1,1),此点在圆的内部,‎ 因此当CP⊥l时,|BD|取到最小值,‎ 则kCP·kl=×kl=-1,‎ 解得kl=-.‎ ‎∴=-,解得a=-2.‎ ‎7.(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点M是曲线C1上任意一点,点N是曲线C2上任意一点,求|MN|的取值范围.‎ 解:(1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ,‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2x.‎ ‎(2)将曲线C2的方程化为标准形式为(x-1)2+y2=1,它表示圆心为C2(1,0),半径r=1的圆.‎ 由题意,|MN|max=|MC2|max+r,|MN|min=|MC2|min-r.设M(4cos φ,3sin φ).‎ 则|MC2|2=(4cos φ-1)2+(3sin φ-0)2=7cos2φ-8cos φ+10.‎ 当cos φ=时,|MC2|=;‎ 当cos φ=-1时,|MC2|=25.‎ ‎∴|MN|max=|MC2|max+r=6,|MN|min=|MC2|min-r=-1,‎ ‎∴|MN|∈.‎ ‎8.极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,与x轴的交点为F,求+的值.‎ 解:(1)由ρsin2θ=8cos θ,得ρ2sin2θ=8ρcos θ,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0),将直线l的方程代入y2=8x,得(tsin α)2=8(2+tcos α),整理得sin2α·t2-8cos α·t-16=0.‎ 由已知sin α≠0,Δ=(-8cos α)2-4×(-16)sin2α=64>0,‎ ‎∴t1+t2=,t1t2=-<0,‎ 故+=+ ‎=== ‎= =.‎
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