【数学】2018届一轮复习苏教版（理）直线与圆、圆与圆的位置关系教案（江苏专用）
第46课 直线与圆、圆与圆的位置关系
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
直线与圆、圆与圆的位置关系
√
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d
r⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r2－r1|0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．
(2)(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________．
(1)相交 (2)3 [(1)法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴MN＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,10)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．
(2)由题意得圆N与圆M内切或内含，即MN≤ON－1⇒ON≥2，又ON≥OM－1，所以OM≥3.≥3⇒a≥3或a≤0(舍)．因此a的最小值为3.]
[规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
3．若两圆相交，则两圆心的连线垂直平分公共弦．
[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，
∴O1A⊥OA.
又∵OA＝，O1A＝2，
∴OO1＝5.
又A，B关于OO1对称，
∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．
又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.
∴AB＝4.]
直线与圆的综合问题
(2016·江苏高考改编)如图461，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
图461
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以01，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.
【导学号：62172252】
9 [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而C1C2＝＝5.
两圆外切得C1C2＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是________．
－4 [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，
得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，
所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]
4．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 [由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．
又圆的半径r＝OP＝，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
5．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________. 【导学号：62172253】
10 [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC＝
，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________．
x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]
7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
2 [如图，过点O作OD⊥AB于点D，则
OD＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝2OD＝2，即r＝2.]
8．(2017·南通模拟)过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________. 【导学号：62172254】
y＝－ [圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，
以＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.]
9．(2017·南京模拟)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__________.
2 [依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.
如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.]
10．(2017·徐州联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．
－ [圆心C(－2,0)，半径r＝2.
又圆C与直线l恒有公共点．
所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.
因此≤2，解得－≤k≤.
所以实数k的最小值为－.]
二、解答题
11．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l：mx－2y－(2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且·＝0，求实数m的值．
[解] (1)法一：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.
法二：线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，由解得M(2,2)．
所以圆M的半径r＝AM＝，
所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
(2)因为·＝0，所以∠PMQ＝.
又由(1)得MP＝MQ＝r＝，
所以点M到直线l的距离d＝.
由点到直线的距离公式可知，＝，解得m＝±.
12．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，
得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.
由d＝＝1，得k＝.
又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，
故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.
(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，
又点C到OA的距离d＝＝.
又OA＝＝.
所以S＝OAd＝.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)．若直线x－y＋m＝0上存在点P，使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________．
[－2，2] [法一：设满足条件PB＝2PA的P点坐标为(x，y)，则(x－4)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，化简得x2＋y2＝4.要使直线x－y＋m＝0有交点，则≤2.即－2≤m≤2.
法二：设直线x－y＋m＝0有一点(x，x＋m)满足PB＝2PA，则
(x－4)2＋(x＋m)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2.
整理得
2x2＋2mx＋m2－4＝0(*)
方程(*)有解，则△＝4m2－8(m2－4)≥0，
解之得：－2≤m≤2.]
2．(2017·泰州模拟)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．
9 [圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.]
3．如图462，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
图462
(1)求圆A的方程；
(2)当MN＝2时， 求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为R.
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
即kx－y＋2k＝0.
连结AQ，则AQ⊥MN
∵MN＝2，∴AQ＝＝1，
则由AQ＝＝1，得k＝，
∴直线l：3x－4y＋6＝0.
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
4．(2013·江苏高考)如图463，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
图463
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
[解] (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2
＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
整理，得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
