高考数学复习 17-18版 第5章 第22课 同角三角函数的基本关系及诱导公式

高考数学复习 17-18版 第5章 第22课 同角三角函数的基本关系及诱导公式

第22课 同角三角函数的基本关系及诱导公式 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 同角三角函数的基本关系 ‎√‎ 三角函数的诱导公式 ‎√‎ ‎1．同角三角函数的基本关系式 ‎(1)平方关系 sin2α＋cos2α＝1；‎ ‎(2)商数关系 tan α＝.‎ ‎2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos_α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan_α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)‎ ‎(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)‎ ‎(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)‎ ‎(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于________．‎ ‎－　[∵sin α＝，α是第二象限角，‎ ‎∴cos α＝－＝－.]‎ ‎3．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为________．‎ ‎－　[sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝＝＝－.]‎ ‎4．(2016·四川高考)sin 750°＝________.‎ 　[sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝.]‎ ‎5．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.‎ ‎－　[因为sin＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.]‎ 同角三角函数基本关系式的应用 ‎　(1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为________．‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝________.‎ ‎(1)　(2)　[(1)∵＜α＜，‎ ‎∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，‎ ‎∴cos α－sin α＞0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(2)∵tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.]‎ ‎[规律方法]　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．‎ ‎3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎[变式训练1]　(1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于________. ‎ ‎【导学号：62172123】‎ ‎－1　[由 消去sin α得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即(cos α＋1)2＝0，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，‎ ‎∴tan α＝tan＝－1.]‎ ‎(2)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.‎ ‎－　[∵tan＝，∴＝，解得tan θ＝－.‎ ‎∴(sin θ＋cos θ)2＝ ‎＝＝＝.‎ ‎∵θ为第二象限角，tan θ＝－，‎ ‎∴2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－.]‎ 诱导公式的应用 ‎　(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．‎ ‎(2)(2017·南通一模)已知sin＝，则sin＋sin2的值是________．‎ ‎(1){－2,2}　(2)　[(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎(2)sin＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋1－sin ‎2＝.]‎ ‎[规律方法]　1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．‎ ‎2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．‎ ‎[变式训练2]　已知cos＝，则cos－sin2的值为________. 【导学号：62172124】‎ ‎－　[∵cos＝cos ‎＝－cos＝－，‎ sin2＝sin2＝sin2 ‎＝1－cos2＝1－2＝，‎ ‎∴cos－sin2＝－－＝－.]‎ 同角关系式与诱导公式的综合应用 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎(2)(2017·南京模拟)已知cos＝2sin，则的值为________．‎ ‎(1)－　(2)　[(1)由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.‎ tan＝tan＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ ‎(2)∵cos＝2sin，‎ ‎∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，‎ 代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.‎ ＝ ‎＝＝cos2α－＝.]‎ ‎[规律方法]　利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．‎ ‎(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．‎ ‎[变式训练3]　已知sin α＝，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.‎ 　[∵sin α＝，α是第二象限角，‎ ‎∴cos α＝－，‎ ‎∴tan α＝－，故tan(π－α)＝－tan α＝.]‎ ‎[思想与方法]‎ 三角函数求值与化简的常用方法 ‎(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝进行弦、切互化．‎ ‎(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．‎ ‎(3)巧用“‎1”‎的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan等．‎ ‎(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．‎ ‎2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．‎ 课时分层训练(二十二)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．若cos α＝，α∈，则tan α等于________．‎ ‎－2　[∵α∈，‎ ‎∴sin α＝－＝－＝－，‎ ‎∴tan α＝＝－2.]‎ ‎2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于________. ‎ ‎【导学号：62172125】‎ 　[∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.]‎ ‎3．(2017·苏州期中)已知sin α＝，且α∈，则tan α＝________.‎ ‎－　[∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－.‎ ‎∴tan α＝＝－.]‎ ‎4．若sin＝，则cos＝________.‎ 　[cos＝cos ‎＝sin＝.]‎ ‎5．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则tan α＝________.‎ ‎ 【导学号：62172126】‎ ‎－　[由 消去cos α整理，得 ‎25sin2α－5sin α－12＝0，‎ 解得sin α＝或sin α＝－.‎ 因为α是三角形的内角，‎ 所以sin α＝.‎ 又由sin α＋cos α＝，得cos α＝－，‎ 所以tan α＝－.]‎ ‎6．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝________.‎ ‎0　[原式＝cos α＋sin α ‎＝cos α＋sin α ‎＝cos α＋sin α ‎＝0.]‎ ‎7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.‎ ‎44．5　[因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，‎ 设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，‎ 则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°‎ 两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.]‎ ‎8．(2017·苏北四市调研)＝________.‎ 　[原式＝＝‎ ＝‎ ＝.]‎ ‎9．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________. ‎ ‎【导学号：62172127】‎ ‎－　[∵sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴2sin θcos θ＝.又0＜θ＜，‎ 故sin θ－cos θ＝－＝‎ ‎－＝－.]‎ ‎10．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝________.‎ ‎2　[由题意可得tan θ＝2，‎ 原式＝＝＝2.]‎ 二、解答题 ‎11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.‎ ‎[解]　原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°‎ ‎＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°‎ ‎＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°‎ ‎＝×＋×＋1＝2.‎ ‎12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)sin2α＋sin 2α.‎ ‎[解]　由已知得sin α＝2cos α.‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知tan x＝sin，则sin x＝________.‎ 　[因为tan x＝sin，所以tan x＝cos x，所以sin x＝cos2x，sin2x＋sin x－1＝0，解得sin x＝，‎ 因为－1≤sin x≤1，所以sin x＝.]‎ ‎2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝________.‎ 　[由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得 f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)‎ ‎＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，‎ 所以f＝f ‎＝f＝f ‎＝f＋sinπ.‎ 因为当0≤x＜π时，f(x)＝0，‎ 所以f＝0＋＝.]‎ ‎3．已知f(α)＝.‎ ‎(1)化简 f(α)；‎ ‎(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．‎ ‎[解]　(1)f(α)＝ ‎＝ ‎＝－cos α.‎ ‎(2)∵cos＝－sin α＝，‎ ‎∴sin α＝－，‎ 又α是第三象限角，∴cos α＝－＝－，‎ 故f(α)＝.‎ ‎4．已知f(x)＝(n∈Z)．‎ ‎(1)化简f(x)的表达式；‎ ‎(2)求f＋f的值．‎ ‎[解]　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝sin2x；‎ 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝‎ ‎＝＝ ‎＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.‎ ‎(2)由(1)得f＋f ‎＝sin2＋sin2 ‎＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.‎