2018-2019学年河北省大名县一中高二（清北班）上学期12月半月考数学（理）试题 （解析版）

2018-2019学年河北省大名县一中高二（清北班）上学期12月半月考数学（理）试题 （解析版）

‎2018-2019学年河北省大名县一中高二（清北班）上学期12月半月考理 科 数 学试题 ‎ 2018.12.28‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎3．函数的图象是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．在中，，，，则角等于（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在长方体中，，与所成的角为，‎ 则（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎14．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．‎ ‎15．已知，，则__________．‎ ‎16．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）证明：为等比数列；‎ ‎（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？‎ ‎18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：‎ ‎（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；‎ ‎（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，，两款车各100辆的资料如表：‎ 平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？‎ 参考数据：，，，．‎ 参考公式：相关系数；‎ 回归直线方程，其中，．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为．以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在有两个零点，求的取值范围．‎ ‎22.已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ 答 案 ‎ 2018.12.28‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】集合，，‎ ‎∴，故选C．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由题得，所以函数是偶函数，‎ 所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得，所以D错误，‎ 故答案为B．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】，‎ 则向量在向量方向上的投影为：．‎ 故选D．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，‎ 可得，解得，则双曲线的标准方程是．故选D．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】∵，，，∴由正弦定理得：．‎ 则，又∵，，∴或．‎ 故选A．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】输入，，，，；‎ ‎，，；‎ ‎，，；‎ ‎，结束运算，输出，故选C．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为．故答案为C．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】如图所示，连接，‎ ‎∵，∴是异面直线与所成的角，即，‎ 在中，，‎ 在中，有，即．故选D．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】函数 ‎，‎ 的图象向左平移个单位，得的图象，‎ ‎∴函数；‎ 又在上为增函数，∴，即，解得，‎ 所以的最大值为2．故选B．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】因为的图像关于对称，‎ 所以的图像关于对称，即为偶函数，‎ 因为，‎ 所以，所以，，‎ 因此，，，故选B．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】根据，由平面向量加法法则，‎ 则有为平行四边形的对角线，故，‎ 联立椭圆、直线方程，可得，‎ ‎∵，则 ， ， ‎ 可得，∴，故选A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】．‎ ‎【解析】的导数，‎ 则在处的切线斜率为，切点为，‎ 则在处的切线方程为，即为．‎ 故答案为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；‎ 由得，即直线的截距最大，也最大；‎ 平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，‎ 即；经过点时，截距最小，由，得，‎ 即，此时最小，为；‎ 即的取值范围是，故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵，，∴，‎ 则，解得．‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】四棱锥中，‎ 可得：；平面平面平面，‎ 过作于，则平面，‎ 设，故，‎ 所以，，‎ 在中，，则有，，‎ 所以的外接圆半径，‎ 将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，‎ 得外接球的半径，，‎ 所以．故答案为．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）证明：∵，，∴，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，即，，成等差数列．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）∵，，‎ ‎，．‎ ‎∴，‎ 所以两变量之间具有较强的线性相关关系，‎ 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴回归直线方程为．‎ ‎（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：‎ ‎∴（元）．‎ 款车的利润的分布列为：‎ ‎∴（元）．‎ 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择款车型．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得，，，，‎ 由为棱的中点，得．向量，，‎ 故，．‎ ‎（2），，，，‎ 由点在棱上，设，，‎ 故，‎ 由，得，‎ 因此，，即，‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 不妨令，可得为平面的一个法向量 取平面的法向量，则，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点的坐标为，‎ 则的中点的坐标为，点的坐标为．‎ ‎，，‎ 由，得，即，‎ 经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．‎ 所以轨迹的方程为．‎ ‎（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为、，圆心的坐标为．‎ 由，可得，∴，．‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴圆的半径．‎ 过圆心作于点，则．‎ 在中，，‎ 当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，‎ 所以的最大值为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：当时，函数．则，‎ 令，则，令，得．‎ 当时，，当时，‎ ‎∴在单调递增，∴．‎ ‎（2）解：在有两个零点方程在有两个根，‎ 在有两个根，‎ 即函数与的图像在有两个交点．，‎ 当时，，在递增 当时，，在递增 所以最小值为，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在有两个零点时，的取值范围是．‎ ‎22.【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以；‎ 当，不等式可化为，解得，无解；‎ 当时，不等式可化为，解得，所以 综上所述，．‎ ‎（2）因为，‎ 且的解集不是空集，‎ 所以，即的取值范围是．‎