【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(11)

【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(11)

‎1．随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 则E(5X＋4)等于(　　)‎ A．15　　　　　　　　　　 B．11‎ C．2.2 D．2.3‎ 答案　A 解析　∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.‎ ‎2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　A 解析　离散型随机变量X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，∴E(X)＝＝＝.‎ ‎3．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为(　　)‎ A．1 B．n C. D. 答案　C 解析　已知每一位学生打开柜门的概率为，∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×＋2×＋…＋n×＝，故选C.‎ ‎4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为(　　)‎ A．0.6，60 B．3，12‎ C．3，120 D．3，1.2‎ 答案　C 解析　X～B(5，0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120.‎ ‎5．(2019·银川一模)已知随机变量X的分布列如表所示，其中α∈(0，)，则E(X)＝(　　)‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎2‎ P cosα A.2 B．1或2‎ C．0 D．1‎ 答案　D 解析　由随机变量的分布列的性质，得＋＋cosα＝1，即sinα＋2cosα＝2，由得5cos2α－8cosα＋3＝0，解得cosα＝或cosα＝1(舍去)，则sinα＝，则E(X)＝－＋2cosα＝－×＋2×＝1.故选D.‎ ‎6．(2018·浙江)设0E(X)，故甲比乙质量好．‎ ‎9.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知X＝0，1，2，3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.‎ ‎10．(2019·合肥一模)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)‎ A. B. C．4 D. 答案　B 解析　由题意知，X的所有可能取值为3，4，5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝ ‎，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.‎ ‎11．(2019·山东潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 答案　B 解析　在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，未通过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C31××()2＝，P(X＝2)＝C32×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝.‎ ‎∴随机变量X分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎12．(2017·课标全国Ⅱ，理)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．‎ 答案　1.96‎ 解析　依题意，X～B(100，0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.‎ ‎13．(2015·重庆，理)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 综上可知，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．‎ ‎14．(2019·《高考调研》原创题)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，衡水市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．‎ ‎(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；‎ ‎(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的数学期望和方差．‎ 答案　(1)0.35　(2)5.64，2.989 2‎ 解析　(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知，得p＝＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P＝C32×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35.‎ ‎(2)由题意，知X～B(12，0.47)．‎ 所以X的数学期望E(X)＝12×0.47＝5.64，‎ X的方差D(X)＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.‎ ‎15．(2019·福建龙海二中摸底)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1－p若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．‎ ‎(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数X的分布列和数学期望．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)依题意，“三辆汽车中恰有一辆汽车被堵”包含只有甲被堵，只有乙被堵和只有丙被堵三种情形．‎ ‎∴C21×××(1－p)＋()2×p＝，即3p＝1，∴p＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.‎ P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝××＋C21×××＝，‎ P(X＝3)＝××＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎16．(2019·湖北潜江二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：‎ 投资股市：‎ 投资结果 获利40%‎ 不赔不赚 亏损20%‎ 概率 购买基金：‎ 投资结果 获利20%‎ 不赔不赚 亏损10%‎ 概率 p q ‎(1)当p＝时，求q的值；‎ ‎(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；‎ ‎(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．‎ 答案　(1)　(2)，所以p>.‎ 又因为p＋＋q＝1，q≥0，所以p≤，所以E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．‎ ‎(第二次作业)‎ ‎1．(2019·广东七校联考)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：‎ 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 ‎20万元 ‎15万元 ‎10万元 ‎7.5万元 若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．‎ 已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.‎ ‎(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；‎ ‎(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．‎ 答案　(1)‎ X ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎7.5‎ P ‎0.36‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.16‎ 预期收益为14.4万元．‎ ‎(2)当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．‎ 解析　(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6，‎ 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.‎ ‎∴基地收益X的分布列为 X ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎7.5‎ P ‎0.36‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.16‎ E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，‎ ‎∴基地的预期收益为14.4万元．‎ ‎(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，‎ 则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)，‎ 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．‎ ‎2．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．‎ 假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．‎ ‎(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示：‎ X1‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0.4‎ a b ‎0.1‎ 且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；‎ ‎(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎3　5　3　3　8　5　5　6　3　4‎ ‎6　3　4　7　5　3　4　8　5　3‎ ‎8　3　4　3　4　4　7　5　6　7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；‎ ‎(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；‎ ‎②“性价比”大的产品更具可购买性．‎ 答案　(1)a＝0.3，b＝0.2　(2)4.8　(3)乙厂的产品更具可购买性，理由略．‎ 解析　(1)∵E(X1)＝6，∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，由得 ‎(2)由已知，用这个样本的分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎∴E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.‎ ‎(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ ‎∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为＝1，‎ ‎∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为＝1.2，‎ 又1.2>1，∴乙厂的产品更具可购买性．‎ ‎3．(2019·武昌调研)某机构随机询问了72名不同性别的大学生，调查其在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：‎ 男 女 合计 看营养说明 ‎16‎ ‎28‎ ‎44‎ 不看营养说明 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 合计 ‎36‎ ‎36‎ ‎72‎ ‎(1)根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别和看营养说明有关系？‎ ‎(2)从被询问的28名不看营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生的人数ξ的分布列及数学期望．‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝.‎ 答案　(1)能　(2)分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 期望值为 解析　(1)由计算可得K2的观测值k＝≈8.416.‎ 因为8.416>7.879，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与看营说明有关系．‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎4．某中学共开设了A，B，C，D四门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．‎ ‎(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；‎ ‎(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；‎ ‎(3)求A选修课被这3名学生选择的人数X的分布列和数学期望．‎ 答案　(1)64　(2)　(3)E(X)＝ 解析　(1)每个学生有四个不同选择，根据分步计数原理，选法总数N＝4×4×4＝64.‎ ‎(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E，则P(E)＝＝，所以恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为.‎ ‎(3)方法一：X的所有可能取值为0，1，2，3，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 方法二：因为A选修课被每位学生选中的概率均为，没被选中的概率均为.‎ 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，)，‎ P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C31××()2＝，P(X＝2)＝C32×()2×＝，‎ P(X＝3)＝()3＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝3×＝.‎ ‎5．某手机游戏研发公司为进行产品改进，对游戏用户每天在线的时间进行调查，随机抽取50名用户对其每天在线的时间进行了调查统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，其中每天的在线时间4 h以上(包括4 h)的用户被称为“资深玩家”，根据频率分布直方图回答下列问题：‎ ‎(1)从所调查的“资深玩家”中任取3人再进行每天连续在线时间的调查，求抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5，6]内的概率；‎ ‎(2)为响应社会要求，公司拟对“资深玩家”进行防沉迷限时，使其每天的在线时间小于4 h，而公司每天对一个玩家限时0.5 h就会损失1元，在频率分布直方图中以各组区间的中点值代表该组的数据，以游戏用户在线时间的频率作为在线时间的概率，现从所有“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验，记该公司因限时试验损失的钱数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 答案　(1)　(2)分布列为 X ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P 期望值E(X)＝ 解析　(1)由题易知a＝1－0.10－0.20－0.30－0.20－0.08＝0.12，所以50名用户中，在线时间是[4，5)内的人数为0.12×50＝6，在线时间在[5，6]内的人数为0.08×50＝4，所以在所调查的50人中有10人是“资深玩家”．‎ 从“资深玩家”中任取3人共有C103＝120种情况，其中抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5，6]内的共有C42C61＋C43＝40种情况，记在所调查的“资深玩家”中任取3人，至少有2人的在线时间在[5，6]内为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)“资深玩家”中每天的在线时间在[4，5)内的概率P1＝＝，公司限时一天损失×1＝1(元)；‎ ‎“资深玩家”中每天的在线时间在[5，6]内的概率P2＝＝，公司限时一天损失×1＝3(元)．‎ 所以从“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验，X的所有可能取值为3，5，7，9，则P(X＝3)＝C33()3＝，P(X＝5)＝C32()2×＝，‎ P(X＝7)＝C31××()2＝，P(X＝9)＝C30()3＝.‎ X的分布列是 X ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P 所以X的数学期望E(X)＝3×＋5×＋7×＋9×＝.‎