2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 函数的定义域解析式及分段函数
高考达标检测(四) 函数的定义域、解析式及分段函数
一、选择题
1.(2018·广东模拟)设函数 f(x)满足 f
1-x
1+x =1+x,则 f(x)的表达式为( )
A. 2
1+x B. 2
1+x2
C.1-x2
1+x2 D.1-x
1+x
解析:选 A 令1-x
1+x
=t,则 x=1-t
1+t
,代入 f
1-x
1+x =1+x,
得 f(t)=1+1-t
1+t
= 2
1+t
,即 f(x)= 2
1+x
,故选 A.
2.函数 f(x)= 1
ln2x+1
的定义域是( )
A.
-1
2
,+∞
B.
-1
2
,0 ∪(0,+∞)
C.
-1
2
,+∞
D.[0,+∞)
解析:选 B 由题意,得 2x+1>0,
2x+1≠1,
解得-1
2
0.
3.(2018·福建调研)设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R 都有 f(xy+1)=f(x)f(y)
-f(y)-x+2,则 f(2 017)=( )
A.0 B.1
C.2 017 D.2 018
解析:选 D 令 x=y=0,则 f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1×1-1-0+2=2,
令 y=0,则 f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
将 f(0)=1,f(1)=2 代入,可得 f(x)=1+x,
所以 f(2 017)=2 018.
4.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(1)=( )
A.2 B.0
C.1 D.-1
解析:选 A 令 x=1,得 2f(1)-f(-1)=4,①
令 x=-1,得 2f(-1)-f(1)=-2, ②
联立①②得 f(1)=2.
5.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
解析:选 B 设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,
∴
a+b+c=1,
a-b+c=5,
c=0,
解得
a=3,
b=-2,
c=0,
∴g(x)=3x2-2x.
6.(2018·青岛模拟)已知函数 f(x)= 2x,x≤0,
|log2x|,x>0,
则使 f(x)=2 的 x 的集合是( )
A.
1
4
,4 B.{1,4}
C. 1,1
4 D. 1,1
4
,4
解析:选 A 由题意可知,f(x)=2,即 2x=2,
x≤0
或 |log2x|=2,
x>0,
解得 x=1
4
或 4,故选 A.
7.(2018·莱芜模拟)已知函数 f(x)的定义域为[3,6],则函数 y= f2x
log
1
2 2-x
的定义域
为( )
A.
3
2
,+∞
B.
3
2
,2
C.
3
2
,+∞
D.
1
2
,2
解析:选 B 要使函数 y= f2x
log
1
2 2-x
有意义,需满足
3≤2x≤6,
log
1
2 2-x>0,
2-x>0
⇒
3
2
≤x≤3,
2-x<1,
2-x>0
⇒3
2
≤x<2.故选 B.
8.(2018·武汉调研)函数 f(x)= sinπx2,-10 对任意实数 x 恒成立,
若 k=0,不等式化为 4x+3>0,即 x>-3
4
,不合题意;
若 k≠0,则 k>0,
16-4kk+3<0,
解得 k>1.
∴实数 k 的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
11.具有性质:f
1
x =-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数:
①f(x)=x-1
x
;②f(x)=x+1
x
;③f(x)=
x,01.
其中满足“倒负”变换的函数是________.(填序号)
解析:对于①,f(x)=x-1
x
,f
1
x =1
x
-x=-f(x),满足题意;
对于②,f
1
x =1
x
+x=f(x)≠-f(x),不满足题意;
对于③,f
1
x =
1
x
,0<1
x<1,
0,1
x
=1,
-x,1
x>1,
即 f
1
x =
1
x
,x>1,
0,x=1,
-x,0a.
①若 a=0,则 f(x)的最大值为________;
②若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是________.
解析:当 x≤a 时,由 f′(x)=3x2-3=0,得 x=±1.
如图是函数 y=x3-3x 与 y=-2x 在没有限制条件时的图象.
①若 a=0,则 f(x)max=f(-1)=2.
②当 a≥-1 时,f(x)有最大值;
当 a<-1 时,y=-2x 在 x>a 时无最大值,且-2a>(x3-3x)max,
所以 a<-1.
答案:①2 ②(-∞,-1)
三、解答题
13.已知 f(x)=x2-1,g(x)= x-1,x>0,
2-x,x<0.
(1)求 f(g(2))与 g(f(2));
(2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式.
解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,
因此 f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2.
(2)当 x>0 时,g(x)=x-1,
故 f(g(x))=(x-1)2-1=x2-2x;
当 x<0 时,g(x)=2-x,
故 f(g(x))=(2-x)2-1=x2-4x+3.
所以 f(g(x))= x2-2x,x>0,
x2-4x+3,x<0.
当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0,
故 g(f(x))=f(x)-1=x2-2;
当-11 或 x<-1,
3-x2,-10.
解得 t>15+ 21
2
或 t<15- 21
2
,
从而 00,v(t)单调递增;
当 t∈(9,10)时,v′(t)<0,v(t)单调递减.
所以当 t=9 时,v(t)的最大值 v(9)= 1
240
×3×e9+50=150(亿立方米),
故一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米.
1.已知函数 f(x)= 2x-1,0≤x≤1,
fx-1+m,x>1
在定义域[0,+∞)上单调递增,且对于任意
a≥0,方程 f(x)=a 有且只有一个实数解,则函数 g(x)=f(x)-x 在区间[0,2n](n∈N*)
上的所有零点的和为( )
A.nn+1
2
B.22n-1+2n-1
C.1+2n2
2
D.2n-1
解析:选 B 因为函数 f(x)= 2x-1,0≤x≤1,
fx-1+m,x>1
在定义域[0,+∞)上单调递增,所
以 m≥1.
又因为对于任意 a≥0,方程 f(x)=a 有且只有一个实数解,且函数 f(x)
= 2x-1,0≤x≤1,
fx-1+m,x>1
在定义域[0,+∞)上单调递增,且图象连续,
所以 m=1.
如图所示,函数 g(x)=f(x)-x 在区间
[0,2n](n∈N*)上的所有零点分别为 0,1,2,3,…,2n,
所以所有的零点的和等于2n1+2n
2
=22n-1+2n-1.
2.设函数 f(x)= x-[x],x≥0,
fx+1,x<0,
其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[-1.5]=-
2,[2.5]=2,若直线 y=k(x-1)(k<0)与函数 y=f(x)的图象只有三个不同的交点,则 k 的取
值范围为( )
A.
-1
2
,-1
3 B.
-1
2
,-1
3
C.
-1,-1
2 D.
-1,-1
2
解析:选 C 作出函数 f(x)= x-[x],x≥0,
fx+1,x<0
的图象如图所示.
因为直线 y=k(x-1)(k<0)与函数 y=f(x)的图象只有三个不同的交点,
所以 k0-1<1,
k-1-1≥1,
解得-1
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