2018届二轮复习（理） 概 率学案（全国通用）
第2讲 概 率
1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用．
2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．
热点一 古典概型和几何概型
1．古典概型的概率
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率
P(A)＝.
例1 (1)有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设两男两女分别为a1，a2，b1，b2，则基本事件分别是(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a2)，(b1，a1)，(b1，b2)，(b2，a2)，(b2，a1)，(b2，b1)，基本事件总数n＝12，其中第二个上车的是女生的基本事件数m＝6，所以概率P＝，故选B.
(2)(2017届江西省重点中学盟校联考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过
C，M，D的抛物线方程为y2＝x，则图中阴影部分面积为2ʃdx＝＝，所以落在阴影部分的概率为P＝＝，故选D.
思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．
(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝，
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
故选C.
方法二 依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.故选C.
(2)RAND(0,1)表示生成一个在(0,1)内的随机数(实数)，若x＝RAND(0,1)，y＝RAND(0,1)，则x2＋y2<1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
答案 A
解析 此概率表示几何概型，如图，表示阴影的面积与第一象限正方形面积的比值，P＝＝，故选A.
热点二 相互独立事件和独立重复试验
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0
，<或＝)
答案 < <
解析 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0＜p1＜p2＜，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，
把方差看作函数y＝x(1－x)，当00，根据0＜p1＜p2＜知，D(ξ1)＜D(ξ2)．
3．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案 1.96
解析 由题意得X～B(100,0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
4．(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案
解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P(A)＝.
押题预测
1．某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为( )
A．200 B．400 C．600 D．800
押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注．
答案 A
解析 依题意得P(70≤ξ≤110)＝0.6，
P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，
于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有
0.2×1 000＝200(人)．
2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点．
答案
解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2＝C5＝C5＝.
3．(2017届天津市红桥区二模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)．
押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的均值．
解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P
E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
A组 专题通关
1．(2017·湖南省长沙市长郡中学模拟)小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色．将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C，与之同颜色的笔帽分别为a，b，c，则笔筒与笔帽的搭配方式分别有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6种情形，其中恰有两只笔和笔帽的颜色混搭的可能有(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)共3种情形，故所求事件的概率P＝＝，故选C.
2．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
3．(2017届广东汕头三模)现有编号为A，B，C，D的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书不被同一位同学分到的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 将4本书平均分给甲、乙两位同学，共有C＝6(种)不同的分法， A，B两本书不被同一位同学分到，则有AA＝4(种)分法，所以所求概率为＝，故选C.
4．抛掷两枚骰子，记事件A为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 抛掷两枚骰子，总共有6×6＝36(个)基本事件，事件AB包括：
(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个基本事件．
事件A包括：
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个基本事件．
由题意可得P(AB)＝，P(A)＝，
由条件概率公式可得P(B|A)＝＝.
故选D.
5．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为( )
A. B.
C. D．以上都不对
答案 A
解析 我们把从A到3的路线图(图略)单独画出来：分析可得，
从A到3共有C＝10(种)走法，每一种走法的概率都是5
，所以珠子从出口3出来的概率是C5＝.
故选A.
6.(2017·江西省赣中南五校联考)下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．
答案
解析 矩形面积为10，设阴影部分面积为S，
则＝，解得S＝.
7．(2017·浙江台州模拟)已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
则变量X的期望E(X)＝______，方差D(X)＝______.
答案 1
解析 由a＋＋＝1 ，解得a＝ ，
所以期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1 ，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
8．(2017届山西太原三模)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．
答案 0.4
解析 由题意可得：符合题意的模拟数据有
7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424
共8组，由古典概型公式可得该运动员射击4次至少击中3次的概率为P＝＝0.4.
9．(2017届黑龙江大庆三模
)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是________．
答案
解析 “男生甲被选中”记作事件A，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B，
则P(A)＝＝ ，P(AB)＝＝ ，
由条件概率公式可得P(B|A)＝＝ .
10．(2017届福建泉州模拟)某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(00)”为事件A，记“M(x，y)满足”为事件B，若P(B|A)＝1，则实数a的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
答案 A
解析 要使得P(B|A)＝1，则不等式x2＋y2≤a所表示的区域在不等式组
所表示的平面区域内，又圆x2＋y2＝a的圆心为(0,0)，半径为，
圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为
d1＝≥⇒a≤；
圆心(0,0)到直线5x－2y－4＝0的距离为
d2＝≥⇒a≤；
圆心(0,0)到直线2x＋y＋2＝0的距离为
d3＝≥⇒a≤.
因为d1
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